陳勇　李志文　陳俊希

摘 要： 本文通過對(duì)復(fù)合函數(shù)由外向內(nèi)地剝離分析，借助一階微分形式不變性，提出了次外層微分法，以簡捷有效地解答高等數(shù)學(xué)教材中可通過湊微分法得解的不定積分問題.

關(guān)鍵詞： 復(fù)合函數(shù)次外層 微分形式不變性 次外層微分法

不定積分湊微分法是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重難點(diǎn)內(nèi)容.其基本原理[1]是：設(shè)f（u）具有原函數(shù)F（u），u=g（x），可導(dǎo)，則有？蘩f[g（x）]g′（x）dx=？蘩f[g（x）]dg（x）=？蘩f（u）du=F（u）+C=F[g（x）+c].該方法是將一階微分形式不變性利用到求不定積分中，先湊出被積函數(shù)f[g（x）]g′（x）中復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的中間變量g（x）的微分dg（x），再借助基本積分公式，求得一些較復(fù)雜函數(shù)的不定積分.

一、傳統(tǒng)教法效果不佳

以上求解中，例1和例2都是通過了兩次湊微分運(yùn)算后才得解.

由于湊微分是微分逆運(yùn)算，對(duì)初學(xué)者而言，其求導(dǎo)和微分都還不十分熟練.如果再要求其進(jìn)行求導(dǎo)和微分的反向運(yùn)算，這種非常規(guī)的反動(dòng)作，就會(huì)使其感到十分別扭.從實(shí)踐教學(xué)反饋來看，學(xué)生對(duì)一些簡單題目，比如被積函數(shù)中所含的復(fù)合函數(shù)只有二層時(shí)，還可以容易求得結(jié)果，但面對(duì)多層復(fù)合函數(shù)情形，多數(shù)同學(xué)便束手無策，不知該如何下手，而且一次又一次地湊微分運(yùn)算，學(xué)生極易將積分公式和微分公式混淆，導(dǎo)致作業(yè)錯(cuò)誤率極高，學(xué)習(xí)效率低下.學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的普遍反映是學(xué)習(xí)難度大，方法不易掌握.

二、微分形式不變性引發(fā)的新思路

微分形式不變性[3]的基本原理是：設(shè)y=f（u），則dy=f′（u）du，其中u是自變量，設(shè)y=f（u），u=g（x）則dy=df（u）=f[g（x）]g（x）dx=f′（u）du，其中u是中間變量.可見，無論u是自變量還是中間變量，y=f（u）的微分形式不變，都是f′（u）du，類似地，多層復(fù)合函數(shù)f（u）的微分形式也是df（u）=f′（u）du.

這就提示我們，可對(duì)？蘩f[g（x）]g′（x）dx中被積函數(shù)所含復(fù)合函數(shù)f（g（x））的結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行分析，將f[g（x）]由外向內(nèi)地剝離，找到次外層u=g（x）再通過計(jì)算次外層微分du，找平積分式，最后利用常見的基本積分公式求得結(jié)論.

這樣做的好處是，次外層是在由外向內(nèi)的剝離過程中直接找出來的，而不是由里向外一層層湊微分得到的.這就避免了別扭且容易犯錯(cuò)的湊微分運(yùn)算，只需將找出來的次外層u，直接放到d的右邊，便可省事不費(fèi)力地得到夢寐以求的？蘩f（u）du.當(dāng)然，要想準(zhǔn)確解題，還需對(duì)次外層u進(jìn)行微分計(jì)算，并將新的積分式做還原處理，以使前后積分式相等.這種方法可簡稱為“次外層微分法”，一般地，可以按照“找、微、還、用”四步驟進(jìn)行解題：①找：找復(fù)合函數(shù)f（u）的次外層u；②微：計(jì)算次外層微分du；③還：對(duì)新積分式做系數(shù)處理，使之與原積分式相等；④用：利用常見的基本積分公式求得結(jié)論.

在次外層微分法的四步驟中，能否迅速準(zhǔn)確地找到次外層u成為解題的關(guān)鍵，其要點(diǎn)是：復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的次外層u=g（x）常位于被積函數(shù)的分母上、根號(hào)下、括號(hào)內(nèi)等部位，也可能次外層u=g（x）就是含在被積函數(shù)中的最復(fù)雜的那個(gè)函數(shù)式，如反（反三角函數(shù)）、對(duì)（對(duì)數(shù)函數(shù)）、冪（冪函數(shù)）、指（指數(shù)函數(shù)）、三（三角函數(shù)）等.

三、應(yīng)用舉例

1.找分母

四、結(jié)語

實(shí)踐教學(xué)中，為了幫助學(xué)生掌握次外層微分法的解題技巧，常需對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下三方面針對(duì)性的訓(xùn)練：1.熟練計(jì)算復(fù)合函數(shù)微分；2.熟記并靈活運(yùn)用基本積分公式（u為自變量或中間變量）；3.迅速準(zhǔn)確地找出復(fù)合函數(shù)次外層.學(xué)會(huì)方法后，學(xué)生一般都能一步到位地迅速解題，學(xué)習(xí)效果事半功倍，同時(shí)教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生將次外層微分法和湊微分法進(jìn)行比較，令其加深對(duì)微分和湊微分互逆運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，充分理解復(fù)合函數(shù)既能由內(nèi)向外組裝，又可由外向內(nèi)剝離的結(jié)構(gòu)分析特征，更好地融合微積分知識(shí)，牢固掌握不定積分這部分內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版上冊）.高等教育出版社，2007.4，第六版.

[2]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分.高等教育出版社，2009.4，第2版.

[3]李軍英，劉碧玉，韓旭里.微積分（上冊）（第二版）.北京：科學(xué)出版社，2008.7，第二版.