曾小平 劉長紅

國際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就趨勢研究（The Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱TIMSS），是由國際教育成就評價協(xié)會（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement，簡稱IEA）組織的大型國際教育評價研究項目。該研究的目的在于，評價各國中小學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就的發(fā)展趨勢，研究各國數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就同文化背景、教育制度等影響因素的關(guān)系，幫助各國提升數(shù)學(xué)和科學(xué)教育質(zhì)量。

TIMSS自1995年起，每4年進行一次，第五次已于2011年完成[1];第六次將于2015年進行，主要針對四年級、八年級學(xué)生進行。下面我們對TIMSS 2015數(shù)學(xué)評價框架（TIMSS 2015 ?Mathematics Framework[2]）中四年級的數(shù)學(xué)內(nèi)容作詳細介紹，相信對數(shù)學(xué)教育評價會有所啟發(fā)。

一、TIMSS數(shù)學(xué)評價概要

TIMSS認(rèn)為數(shù)學(xué)教育對學(xué)生的發(fā)展極為重要，所有的孩子都能從學(xué)習(xí)與形成堅實的數(shù)學(xué)技能中獲益。因為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以提高他們解決問題的技能，并培養(yǎng)他們的恒心與毅力。數(shù)學(xué)是日常生活中計算、理財和建筑等活動的工具，同時也是工程、建筑、會計、銀行、商業(yè)、醫(yī)藥、生態(tài)和航空航天等諸多職業(yè)的基礎(chǔ)。此外，在科技發(fā)達的信息社會中，數(shù)學(xué)對于經(jīng)濟與金融來說也是至關(guān)重要的。

TIMSS四年級數(shù)學(xué)評價框架盡量貼近各參與國家和地區(qū)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，尤其關(guān)注當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育研究與改革。比如，美國的“共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”（Common Core State Standards for Mathematics[3]）、新加坡的“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”（Mathematics Syllabi）和中國香港的“數(shù)學(xué)課程指引”（Mathematics Curriculum Guide）。

TIMSS重點評價基礎(chǔ)知識的掌握和數(shù)學(xué)思考的過程。TIMSS 2015四年級數(shù)學(xué)重視數(shù)學(xué)問題解決的評價，有三分之二的問題考查學(xué)生的推理和運用技能。評價包括知識和認(rèn)知兩個領(lǐng)域，“知識領(lǐng)域”（Content Domains）側(cè)重對代數(shù)與幾何的評價，“認(rèn)知領(lǐng)域”（Cognitive Domains）側(cè)重對推理的評價。

二、數(shù)學(xué)評價的知識領(lǐng)域

TIMSS 2015四年級數(shù)學(xué)評價框架的“知識領(lǐng)域”包含“數(shù)”“幾何形體與測量”和“數(shù)據(jù)呈現(xiàn)”三個區(qū)域，各區(qū)域所占比重分別為50%、35%和15%。其中，“數(shù)”和“數(shù)據(jù)呈現(xiàn)”分別相當(dāng)于我國數(shù)學(xué)課程中的“數(shù)與運算”和“概率與統(tǒng)計”。

（一）數(shù)（Number）

TIMSS 2015認(rèn)為整數(shù)及其運算是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)生要能夠使用合理的形式進行運算，并能借助運算解決問題。由于物體和數(shù)量并不總是整數(shù)，學(xué)生還要認(rèn)識到，分?jǐn)?shù)也是計算的基礎(chǔ)，學(xué)生要比較熟悉分?jǐn)?shù)與小數(shù)。此外，代數(shù)知識在小學(xué)已有滲透，學(xué)生需要理解簡單方程中的未知量，還要初步理解變量之間的相互關(guān)系。

在四年級的“數(shù)”領(lǐng)域，TIMSS 2015重點評價“數(shù)與運算”中基礎(chǔ)知識的理解與基本技能的掌握，該領(lǐng)域由“整數(shù)”“分?jǐn)?shù)與小數(shù)”和“符號、方程和關(guān)系”三個部分構(gòu)成，評價比重分別為25%、15%和10%。

1.整數(shù)

說明位置值，識別和書寫數(shù)字的拓展形式，能使用文字、語言和符號表征整數(shù);整數(shù)的大小比較;整數(shù)的四則運算;解決特定情境中涉及測量、貨幣和簡單比例等內(nèi)容的問題;辨認(rèn)奇數(shù)與偶數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)。

2.分?jǐn)?shù)與小數(shù)

認(rèn)識分?jǐn)?shù)可以表示整體中的某些部分、集合中的某些部分或者數(shù)軸上的一個點，能使用語言、數(shù)字和模型來表征分?jǐn)?shù);分?jǐn)?shù)的相等與大小比較，分?jǐn)?shù)的加減運算（包括在具體問題情境中的加減運算）;用語言、數(shù)字和模型解釋小數(shù)的位值制，小數(shù)的相等與大小比較，小數(shù)的加減運算（包括在具體問題情境中的加減運算）。（注：四年級的分?jǐn)?shù)只限于分母是2、3、4、5、6、8、10、12的分?jǐn)?shù)，小數(shù)只限于一位小數(shù)和兩位小數(shù)。）

3.符號、方程和關(guān)系

發(fā)現(xiàn)算式中缺失的數(shù)字或者運算符號（比如，確定17+x=29中的x是多少）;使用算式和符號表征未知的問題情境;識別和使用已知模式中的數(shù)量關(guān)系（比如，根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出后面一項，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律）。

（二）幾何形體與測量（Geometric Shapes and Measures）

TIMSS 2015認(rèn)為，我們生活在不同形狀與不同大小的物體構(gòu)成的世界里，幾何有助于我們發(fā)現(xiàn)和理解形狀和大小的關(guān)系。學(xué)習(xí)幾何重在培養(yǎng)空間觀念，學(xué)生要能夠按要求畫出幾何圖形，能夠在解決問題中分析和使用幾何關(guān)系，學(xué)生要會使用工具和儀器來測量長度、角度、面積和體積，并利用公式計算長方形與正方形的周長和面積。

該領(lǐng)域包括“點、線和角”與“平面圖形與立體圖形”兩個部分，僅涉及測量、坐標(biāo)平面、線和角，還包含物體的體積與表面積。

1.點、線和角

測量與估計長度;識別和畫出平行與垂直的直線;識別、比較和畫出不同類型的角（比如，直角、銳角和鈍角）;利用直角坐標(biāo)系確定平面上的點。

2.平面圖形與立體圖形

描述和比較圖形的基本屬性（包括線和旋轉(zhuǎn)對稱性）;確定立體圖形某個側(cè)面的形狀特征;計算多邊形的周長和長、正方形的面積，利用密鋪方法估算圖形的面積，利用填充方法估計立體圖形的體積。（注：四年級的平面圖形涉及三角形、四邊形和圓，立體圖形涉及長方體、正方體、圓柱和圓錐。）

（三）數(shù)據(jù)呈現(xiàn)（Data Display）

TIMSS 2015認(rèn)為，我們置身于信息社會的海量數(shù)據(jù)當(dāng)中，互聯(lián)網(wǎng)、報紙、雜志、教科書、參考資料和文章等以圖表的形式向我們提供了大量數(shù)據(jù)。四年級學(xué)生要能夠面對簡單的情境和給出的數(shù)據(jù)，閱讀和識別各種形式的數(shù)據(jù)。同時，四年級學(xué)生還要能夠以圖表的形式組織和表征數(shù)據(jù)，能夠?qū)Ρ葦?shù)據(jù)的特征，進而得出合理的結(jié)論。

該領(lǐng)域包含一個主題，即“閱讀、解釋和表征”。具體要求是：對統(tǒng)計表、象形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖中提供的數(shù)據(jù)進行閱讀、解釋和表征;挖掘數(shù)據(jù)中隱含的信息來解決問題（比如，在解決問題和執(zhí)行計算中使用數(shù)據(jù)，組合數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)得出結(jié)論）。

三、數(shù)學(xué)評價的認(rèn)知領(lǐng)域

TIMSS 2015四年級數(shù)學(xué)評價框架的“認(rèn)知領(lǐng)域”包括“知道”“運用”和“推理”三個層次，各層次所占比重分別為40%、40%和20%。

（一）知道（Knowing）

“知道”層次，涵蓋了學(xué)生需要知道的數(shù)學(xué)事實、概念和程序。該層次包含“回憶”“辨認(rèn)”“分類/排序”“計算”“提取”和“測量”六個層級，各層級含義見表1。

表1 “知道”的六個層級

回憶 回憶定義、術(shù)語、數(shù)的性質(zhì)、測量單位、幾何性質(zhì)和符號。

辨認(rèn) 辨認(rèn)數(shù)、表達式、數(shù)量和形狀，辨認(rèn)數(shù)學(xué)上相等的量。比如，辨認(rèn)相等的分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)，辨認(rèn)簡單幾何圖形。

分類/

排序 根據(jù)屬性對數(shù)、表達式、數(shù)量和形狀進行分類。

計算 整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和代數(shù)式的加、減、乘、除運算、混合運算。

提取 從圖像、表格、測量儀器和其他資料中提取數(shù)據(jù)。

測量 選擇測量單位和測量儀器進行測量。

數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力和數(shù)學(xué)情境的推理，依賴于熟悉的數(shù)學(xué)概念和熟練的數(shù)學(xué)技能。比如，學(xué)生能夠回憶更多的相關(guān)知識，能夠明白更廣泛的概念，能夠解決更大范圍的問題。

如果缺少基礎(chǔ)知識、符號表示和空間關(guān)系，那么學(xué)生很難進行有目的的數(shù)學(xué)思維。因為它們是基本的數(shù)學(xué)語言、基本的數(shù)學(xué)概念、基本的數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想的載體。

程序（算法，回憶和執(zhí)行一定行動）架起基礎(chǔ)知識與運用數(shù)學(xué)解決問題，尤其是那些人們在日常生活中遇到的問題之間的橋梁。學(xué)生需要高效和準(zhǔn)確地使用多種計算程序和工具，來解決一般的典型問題，而不只是個別問題。

（二）運用（Applying）

“運用”層次，著重于評價學(xué)生運用知識和概念的理解來解決問題或回答問題的能力。該層次包含“確定”“表征/建模”和“實施”三個層級，各層級含義見表2。

表2 “運用”的三個層級

確定 使用通常方法，確定有效的/適當(dāng)?shù)牟僮鳌⒉呗院凸ぞ邅斫鉀Q問題。

表征/

建模 利用表格或圖表展示數(shù)據(jù);在問題情境中建立等式和不等式、幾何圖形、圖表建立模型，對數(shù)學(xué)圖形和關(guān)系進行等價表征。

實施 利用熟悉的概念和程序，實施策略和行動來解決問題。

“運用”層次涉及數(shù)學(xué)在一定背景和范圍內(nèi)的應(yīng)用，要求學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)事實、概念、程序和問題解決。學(xué)生需要借助數(shù)學(xué)事實、技能和程序的知識與對數(shù)學(xué)概念的理解來進行數(shù)學(xué)表征，數(shù)學(xué)思想是進行數(shù)學(xué)思考和交流的核心，而創(chuàng)造等價表征的能力是在數(shù)學(xué)上取得成功的基礎(chǔ)。

解決問題是“運用”的核心，重點是熟悉日常任務(wù)。問題可能來源于現(xiàn)實生活，也可能來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部，比如數(shù)或代數(shù)表達式、函數(shù)、方程、幾何圖形和統(tǒng)計數(shù)據(jù)等。

（三）推理（Reasoning）

“推理”層次，側(cè)重評價學(xué)生對非常規(guī)問題的解決方案，比如不熟悉的情況、復(fù)雜的環(huán)境和多步驟的問題。該層次包括“分析”“整合/綜合”“評價”“結(jié)論”“概括”和“論證”六個層級，各層級含義見表3。

表3 “推理”的六個層級

分析 在數(shù)、表達、數(shù)量和形狀中確定、描述或使用關(guān)系之間的關(guān)系。

整合/

綜合 聯(lián)系不同知識單元、相關(guān)表征和程序來解決問題。

評價 評價解決問題的不同策略和方案。

結(jié)論 在信息和證據(jù)的基礎(chǔ)上做出有效的結(jié)論。

概括 得到更一般的或者更廣泛的結(jié)論。

論證 為方法和策略提供數(shù)學(xué)支持。

“推理”需要邏輯性和系統(tǒng)性思維，它包括：基于模式和規(guī)律的直覺與演繹推理;在新穎的或者陌生的情境下尋找解決現(xiàn)實問題或者純粹數(shù)學(xué)問題的方案。這兩種情況都需要轉(zhuǎn)換知識與技能以面對新的情境，而推理是其中的共同特點。

“推理”中列舉的很多認(rèn)知技能都會在思考和解決新穎的或者陌生的問題中表現(xiàn)出來。這是數(shù)學(xué)教育價值的外在表現(xiàn)，然而更多的是對學(xué)習(xí)者思維的內(nèi)在影響。比如，推理不僅需要觀察和猜想能力，還需要基于特定假設(shè)、規(guī)則和正確結(jié)果的邏輯演繹推理能力。

四、四年級數(shù)學(xué)的評價樣題

在TIMSS 2015數(shù)學(xué)評價框架的“附錄”中，給出了一些評價樣題。通過這些樣題，我們可以更好地了解TIMSS 2015四年級數(shù)學(xué)評價的形式、理念與重點。

1.如圖1所示，某人以固定的速度從A地騎車去B地，2小時后她來到一個路牌前。此人以同樣的速度騎車，再有多長時間可以到達B地？（）

圖1

A. 小時 ? ? ? B.2小時 ? ? ? C.3小時 ? ? ? D.3小時

2.某人有12個蘋果，她吃了一些，還剩下9個。下面哪個算式更能夠表達這件事情？（）

A.12+9=□ ? ? ? ? ?B.9=12+□

C.12-□=9 ? ? ? ?D.9-□=12

3.甲吃了塊蛋糕，乙吃了塊蛋糕，他們一共吃了多少蛋糕？

答案_______。

4.下面選項中，哪一個折疊之后，能成為右邊的盒子？（ ? ）

5.如圖2所示，某人在墻角堆了一些盒子，每個盒子的大小都是一樣的。他一共用了多少個盒子？ （ ? ）

圖2

A.25 ? ? ? B.19 ? ? ? C.18 ? ? ? D.13

6.某人調(diào)查了她的朋友們最喜歡的顏色，得到了以下信息（見表4）。然后，她畫出圖來表示這些信息，請幫助她把圖畫完。

表4 最喜歡的顏色統(tǒng)計圖表

顏色 最喜愛

的人數(shù)

紅 4

綠 2

藍 6

黃 7

（參考答案1.C;2.C; 3.?塊; 4.D ;5. C;6.略 。）

通過這些樣題，我們可以體會到TIMSS 2015四年級數(shù)學(xué)評價的側(cè)重點是：重視對學(xué)生問題解決過程的評價，重視評價學(xué)生數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運用的能力，重視評價學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握和數(shù)學(xué)思考的過程。

【參考文獻】

[1]曾小平等. TIMSS2011數(shù)學(xué)評價：“框架”“結(jié)果”與“啟示”[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（6）：79-84.

[2] TIMSS 2015 Mathematics Framework [EB/OL]. http：//timssandpirls.bc.edu/timss2015/frameworks.html.

[3] 曾小平，劉效麗. 美國“共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”的背景、內(nèi)容、特色與啟示[J]. 課程·教材·教法，2011，31（7）：92-96.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ? 100048）