羅雪飛

摘 要 通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行分析與應(yīng)用，有助于提高學(xué)生對(duì)圖表等數(shù)學(xué)形式的分析能力，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的綜合與深化。

關(guān)鍵詞 模型構(gòu)建 表達(dá)式數(shù)學(xué)模型 指數(shù)增長(zhǎng)

中圖分類號(hào) G633.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 B

表達(dá)式數(shù)學(xué)模型最典型的例子是浙科版必修三“種群的增長(zhǎng)方式”中“指數(shù)增長(zhǎng)”這一內(nèi)容的模型教學(xué)。通過(guò)“種群的特征”一節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道出生率和死亡率直接決定種群個(gè)體數(shù)量大小，年齡結(jié)構(gòu)（指各個(gè)年齡組個(gè)體數(shù)量在種群中所占的比例關(guān)系）預(yù)測(cè)未來(lái)種群個(gè)體數(shù)量，性別比率對(duì)種群個(gè)體數(shù)量有一定的影響，那么種群數(shù)量在怎樣的條件下會(huì)出現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)呢？

1 構(gòu)建表達(dá)式

教師播放細(xì)菌分裂的錄像或演示細(xì)菌分裂的計(jì)算機(jī)模擬動(dòng)畫(huà)，學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行演算。教師提示：在自然界中細(xì)菌無(wú)處不在，某些細(xì)菌的大量繁殖會(huì)導(dǎo)致疾病。假如現(xiàn)有一種細(xì)菌，在適宜的溫度、濕度等環(huán)境下，每20 min左右分裂繁殖一代。引導(dǎo)學(xué)生思考：細(xì)菌的繁殖方式是怎樣的？72 h后，由一個(gè)細(xì)菌分裂產(chǎn)生的后代數(shù)量是多少？n代后細(xì)菌數(shù)量是多少？

細(xì)菌的繁殖方式為二分裂。細(xì)菌每20 min分裂繁殖一代，72 h后將由1個(gè)細(xì)菌變成2216個(gè)，n代細(xì)菌數(shù)量為2n個(gè)。

以上種群是個(gè)例，其他生物種群的起始數(shù)量不一定是1，下一代也不一定是上一代的2倍，而且繁殖周期通常要長(zhǎng)，那么，如何建構(gòu)適用于更多種群的一般表達(dá)式？

教師給出任務(wù)：已知食物、空間充足，某種群的起始數(shù)量為N0，t為時(shí)間，Nt表示t年后該種群的數(shù)量。假設(shè)種群數(shù)量每年以一定的倍數(shù)增長(zhǎng)，第二年是第一年的λ倍。你能建構(gòu)出這個(gè)種群增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？請(qǐng)?jiān)囋嚳窗伞?/p>

Nt=N0λt。

N0為起始數(shù)量，t為時(shí)間，Nt表示t年后人口的數(shù)量，λ為年均增長(zhǎng)倍數(shù)。

2 表達(dá)式成立的條件

種群數(shù)量的增長(zhǎng)受多種因素的影響。氣候是對(duì)種群影響最強(qiáng)烈的外源性因素，特別是極端的溫度和濕度。如連續(xù)幾天的38℃高溫?？梢砸鹧料x(chóng)種群數(shù)量的急劇下降。食物不足時(shí)，種群內(nèi)部會(huì)發(fā)生激烈斗爭(zhēng)，使很多個(gè)體不能存活或不能生殖。病原物和寄生物的致病力和傳播速度是隨著種群密度的增加而增加的。種群密度越大，移殖增長(zhǎng)的作用也越強(qiáng)，對(duì)種群數(shù)量調(diào)節(jié)起著重要作用。動(dòng)物的領(lǐng)域行為對(duì)種群密度也具有明顯的調(diào)節(jié)作用。嚙齒動(dòng)物在種群密度過(guò)大時(shí)，會(huì)引起雌鼠排卵功能減退，容易流產(chǎn)，母鼠泌乳過(guò)程受到抑制，對(duì)仔鼠照顧不良、行為反常、好斗等。這些生理變化會(huì)使鼠的生殖力下降、死亡率增加和遷出率上升，因而導(dǎo)致種群數(shù)量迅速下降。種群數(shù)量增長(zhǎng)要符合上述表達(dá)式模型，必須是在資源無(wú)限、空間無(wú)限和不受其他生物制約的理想條件下。

3 模型的分析

在上述理想條件下，種群會(huì)呈指數(shù)增長(zhǎng)。指數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)是：起始增長(zhǎng)很慢，但隨著種群基數(shù)的加大，增長(zhǎng)會(huì)越來(lái)越快，每單位時(shí)間都按種群的一定百分?jǐn)?shù)或倍數(shù)增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)勢(shì)頭強(qiáng)大。將表達(dá)式數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為曲線型數(shù)學(xué)模型將有利于對(duì)模型的分析。

以橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為種群數(shù)量，指數(shù)增長(zhǎng)曲線很像英文字母J，又稱“J”形增長(zhǎng)曲線，如圖1所示。

種群增長(zhǎng)速率=（現(xiàn)有個(gè)體數(shù)-原有個(gè)體數(shù)）/增長(zhǎng)時(shí)間（有單位，如個(gè)/年）。

種群增長(zhǎng)率=（現(xiàn)有個(gè)體數(shù)-原有個(gè)體數(shù)）/原有個(gè)體數(shù)×100（無(wú)單位）。

指數(shù)增長(zhǎng)的種群增長(zhǎng)速率、增長(zhǎng)率分別如何變化？

以上述表達(dá)式為例：

Nt=N0λt

N0為起始數(shù)量，t為時(shí)間，Nt表示t年后人口的數(shù)量，λ為年均增長(zhǎng)倍數(shù)。

種群年增長(zhǎng)速率=Nt—Nt-1=N0λt-N0λt-1=N0λt-1（λ-1）

種群年增長(zhǎng)率=（Nt—Nt-1）/Nt-1=（N0λt-N0λt-1）/ N0λt-1=（λ-1）

如果把以上表達(dá)式轉(zhuǎn)化成曲線圖，則可以更直觀地感受到種群指數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)，如圖2所示。

4 模型的應(yīng)用

生態(tài)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，東方田鼠種群遷入初期種群數(shù)量很少，一個(gè)月內(nèi)隨著水稻和蘆葦?shù)茸魑锓N植面積的不斷擴(kuò)大而迅速增長(zhǎng)。為研究東方田鼠的種群數(shù)量的變化規(guī)律，生態(tài)學(xué)家構(gòu)建了表達(dá)式數(shù)學(xué)模型：Nt=N0λt，該數(shù)學(xué)表達(dá)式成立的前提條件是什么？從環(huán)境容納量的角度思考，提出兩項(xiàng)控制東方田鼠數(shù)量的有效措施。

題中的情況應(yīng)該屬于物種入侵，典型的J型增長(zhǎng)曲線，那么相對(duì)應(yīng)的假設(shè)就是東方田鼠生存的空間和食物是足夠的，且當(dāng)?shù)氐臍夂蜻m宜，缺少天敵。第二問(wèn)也就迎刃而解了。

高中生物學(xué)教材中，這種表達(dá)式數(shù)學(xué)模型涉及到的知識(shí)點(diǎn)有很多。脫氧核苷酸序列與遺傳信息的多樣性，堿基與氨基酸對(duì)應(yīng)關(guān)系，調(diào)查人群中的遺傳病，用數(shù)學(xué)方法討論基因頻率的變化，探究自然選擇對(duì)種群基因頻率的影響等。教師把數(shù)學(xué)的思維引入到生物學(xué)科，不僅能讓學(xué)生感受到生物學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)，也能讓學(xué)生感受到不同學(xué)科知識(shí)時(shí)間的交叉與融合。

不難想象，地球上哪怕有一種生物按指數(shù)增長(zhǎng)無(wú)限增長(zhǎng)下去，這種生物最終就會(huì)把其他生物從地球上排擠掉，同時(shí)自己也走向毀滅。即使在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)也常常會(huì)造成種群“爆炸”或“害蟲(chóng)猖獗”的毀滅性后果。