唐金春

思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn)，它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質.函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學的始終.函數(shù)的定義域是構成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數(shù)題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數(shù)學思維品質十分有益.

一、函數(shù)關系式與定義域

函數(shù)關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數(shù)的關系式時必須考慮所求函數(shù)關系式的定義域，否則所求函數(shù)關系式可能是錯誤的.如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關系式.

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）

故函數(shù)關系式為：S=x（50-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關系式還不完整，缺少自變量x的范圍，也就說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0

即函數(shù)關系式為：S=x（50-x）（0

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現(xiàn)出較好的思維嚴密性.

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯栴}.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.如：

例2：求函數(shù)y=x■-2x-3在[-2，5]上的最值.

解：∵y=x■-2x-3=（x■-2x+1）-4=（x-1）■-4

∴當x=1時，y■=-4

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數(shù)最值的思路來做的，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板的一種表現(xiàn)，也說明學生的思維缺乏靈活性.

其實以上結論只是對二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-■

（2）當-■>p時，y=f（x）在[p，q]上單調遞減函數(shù)f（x）■=f（p），f（x）■=f（q）；

（3）當p≤-■≤q時，y=f（x）在[p，q]上最值情況是：

f（x）■=f（-■）=■，

f（x）■=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5

∴f（-2）=（-2）■-2×（-2）-3=-3

f（5）=5■-2×5-3=12

∴f（x）■=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

∴函數(shù)y=x■-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.

這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出思維的靈活性.

三、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當定義域和對應法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時，應注意函數(shù)定義域.如：

例3：求函數(shù)y=4x-5+■的值域.

錯解：令t=■，則2x=t■+3

∴y=2（t■+3）-5+t=2t■+t+1=2（t+■）■+■≥■

故所求的函數(shù)值域是[■，+∞）.

剖析：經(jīng)換元后，應有t≥0，而函數(shù)y=2t■+t+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以當t=0時，y■=1.

故所求的函數(shù)值域是[1，+∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要.若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產(chǎn)生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性.

四.函數(shù)單調性與定義域

函數(shù)單調性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調性必須在給定的定義域區(qū)間上進行.如：

例4：指出函數(shù)f（x）=log■（x■+2x）的單調區(qū)間.

解：先求定義域：

∵x■+2x>0

∴x>0或x<-2

∴函數(shù)定義域為（-∞，-2）∪（0，+∞）.

令u=x■+2x，知在x∈（-∞，-2）上時，u為減函數(shù)，

在x∈（0，+∞）上時，u為增函數(shù).

又∵f（x）=log■u在[0，+∞）是增函數(shù).

∴函數(shù)f（x）=log■（x■+2x）在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù).

即函數(shù)f（x）=log■（x■+2x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞），單調遞減區(qū)間是（-∞，-2）.

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調性，就說明學生對函數(shù)單調性的概念一知半解，沒有理解.在做練習或作業(yè)時，只是對題型，套公式，而沒有領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性.

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.如：

例5：判斷函數(shù)y=x■，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：∵2∈[-1，3]而-2？埸[-1，3]

∴定義域區(qū)間[-1，3]關于坐標原點不對稱

∴函數(shù)y=x■，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)

若學生按照以上過程解完這道題目，就能很好地體現(xiàn)出解題思維的敏捷性.

如果學生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性就會得出如下錯誤結論：

∵f（-x）=（-x）■=-x■=-f（x），

∴函數(shù)y=x■，x∈[-1，3]是奇函數(shù).

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因.

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能引導學生精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析的能力，有利于培養(yǎng)學生的思維品質，從而不斷提高學生的思維能力，進而有利于培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性.

參考文獻

[1]王岳庭主編.數(shù)學教師的素質與中學生數(shù)學素質的培養(yǎng)論文集.北京：海洋出版社.

[2]田萬海主編.數(shù)學教育學.浙江：浙江教育出版社.

[3]莊亞棟主編.高中數(shù)學教與學（99.2、99.6）.揚州：中學數(shù)學教與學編輯部出版.