李萍萍

摘 要： 排列組合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，由于題目靈活多樣，解題方法獨(dú)特，有利于訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，解決排列組合問(wèn)題要將側(cè)重點(diǎn)放在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查上.

關(guān)鍵詞： 排列組合 分類計(jì)數(shù)原理 分步計(jì)數(shù)原理

一

著名的數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過(guò)程中，提高他們的才智與推理能力.”基于這一想法，筆者通過(guò)對(duì)一道典型例題的變式研究，以培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

人教版《數(shù)學(xué)》選修2-3第18頁(yè)有這樣一道例題：有5本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？

解決這個(gè)問(wèn)題是很容易的，答案是A . 就這個(gè)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生變換問(wèn)題條件嘗試設(shè)計(jì)一系列新問(wèn)題.

（一）將送的書(shū)變化

將5本不用的書(shū)改為相同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？

答案：C.

（二）將送書(shū)的方法改變

1.有5本不同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，共有多少種不同的送法？

答案：每本書(shū)有3種不同的送法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有3×3×3×3×3=3種不同的送法.

2.有5本不同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，每人至少1本，共有多少種不同的送法？

答案：送書(shū)的方案有兩種：1人得3本，2人各1本；1人得1本，2人各2本.

故共有C·A+·A種送法.

3.有5本不同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，其中至少有1人得2本，共有多少種不同的送法？

答案：由分步計(jì)數(shù)原理可分3步：先選人，有C種；再選書(shū)，有C種；其余3本書(shū)全部給其他2人有2種送法，共有C·C·2種方法.

4.有5本不同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，知某個(gè)確定的人得2本，共有多少種不同的送法？

答案：這里的某個(gè)確定的人是指定某人，得2本什么書(shū)不確定，共有C·2.

5，有5本不同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，其中要有1人得2本指定的書(shū)，共有多少種不同的送法？

答案：共有C·2種方法.

6.有5本不同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，已知某人得2本指定的書(shū)，共有多少種不同的送法？

答案：已經(jīng)確定某人得2本指定的書(shū)，剩下的3本書(shū)分給剩余的2人，共有種方法.

（三）將送的書(shū)改變，送書(shū)的方法也改變

1.有5本相同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，共有多少種不同的送法？

答案：由分類計(jì)數(shù)原理分三類：

有1人得書(shū)：有C種分法.

有2人得書(shū)：將5本書(shū)分2堆，有2種分法，即4，1和2，3，每種分法送其中2人均有A種送法，故共有C（A+A）種送法.

有3人得書(shū)：將5本書(shū)分3堆，有2種分法，即2，2，1和3，1，1，每種分法送給3人均有C種送法，共有C+C種送法.

故共有C+C（A+A）+C+C種送法.

2.有5本相同的書(shū)，全部送給3名同學(xué)，每人至少1本，共有多少種不同的送法？

答案：相當(dāng)于在5本書(shū)的4個(gè)間隔中插入2個(gè)隔板，形成3堆，有C種送法.

二

在排列組合的問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)碰到很多與體育比賽有關(guān)的問(wèn)題，我們因?yàn)閷?duì)體育賽事比較陌生，總是會(huì)犯一些錯(cuò)誤.下面結(jié)合一些常見(jiàn)的體育賽制及其對(duì)應(yīng)的排列組合問(wèn)題加以分析.

（一）單循環(huán)賽：就是任何兩方之間都只比賽一次.

（二）雙循環(huán)賽：就是任何兩方之間都要分主、客場(chǎng)兩次比賽.

如：學(xué)校舉行籃球比賽先分甲乙兩組進(jìn)行單循環(huán)賽，甲組各8個(gè)隊(duì)，乙組6個(gè)隊(duì)，各組選出前4名后，8個(gè)隊(duì)進(jìn)行雙循環(huán)賽，共有多少場(chǎng)比賽？

解析：對(duì)于甲組，比賽場(chǎng)數(shù)是從8個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)即C=28（場(chǎng)）.

對(duì)于乙組，比賽場(chǎng)數(shù)是從6個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)即C=15（場(chǎng)）.

而對(duì)于第二階段的比賽，比賽的場(chǎng)數(shù)是從8個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即A=56（場(chǎng)）

故共有C+C+A=99（場(chǎng)）比賽.

（三）淘汰賽：就是每場(chǎng)比賽將直接淘汰一支隊(duì)伍（或選手）.

淘汰賽一般比較適合于參賽隊(duì)伍（或選手）比較多的比賽，其比賽賽程可以縮短，但這種比賽帶有比較大的偶然性，有時(shí)不能客觀地反映出比賽各方的真實(shí)實(shí)力，容易產(chǎn)生“黑馬”.淘汰賽在一些大型國(guó)際比賽中經(jīng)常被采用或部分采用.

如：8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在廣州參加比賽，分成兩組，每組4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名和另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三名和第四名，比賽共有多少場(chǎng)？

解析：每組單循環(huán)賽共有2C場(chǎng)比賽，每組第一名和另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，有2場(chǎng)比賽，最后角逐冠、亞軍和角逐第三、四名，有2場(chǎng)比賽.

所以共有2C+2+2=16場(chǎng)比賽.

（四）擂臺(tái)賽：是一種有著悠久歷史的比賽賽制，目前在圍棋比賽和其他一些帶有古老性質(zhì)的比賽中時(shí)有出現(xiàn)，其賽制比較特別，在其他場(chǎng)合出現(xiàn)的不太多，考試涉及較少.

（五）對(duì)抗賽：就是雙方的隊(duì)員一對(duì)一同時(shí)進(jìn)行比賽.是考察比賽雙方整體實(shí)力的一種賽制，同時(shí)是對(duì)比賽雙方排兵布陣能力的總體考查.

如：甲隊(duì)和乙隊(duì)進(jìn)行中國(guó)象棋對(duì)抗賽，雙方各出5名隊(duì)員進(jìn)行比賽，問(wèn)總共有多少種不同的對(duì)陣形勢(shì)？

解析：把其中一隊(duì)的5名隊(duì)員排成一列，第一名隊(duì)員可以從另一隊(duì)的5名隊(duì)員中任選一名對(duì)陣，第二名隊(duì)員可以從另一隊(duì)的剩下的4名隊(duì)員中任選一名對(duì)陣，以此類推，可得總共有A=120種不同的對(duì)陣形式.

排列組合問(wèn)題聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)有趣，但有時(shí)不易掌握，歸根究底，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是加法原理和乘法原理的靈活應(yīng)用，通過(guò)多向思考能更好地熟悉和掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈泉.排列、組合問(wèn)題的類型及解答策略.數(shù)理化解題研究（高中版），2011（05）.