劉同仁

摘 要： 高中數(shù)學(xué)中的探索型問題又叫開放型題，是新課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)背景下數(shù)學(xué)高考的熱點之一，所占比例呈逐年上升趨勢，這使此種題目受關(guān)注程度大幅提高.探索型問題因為沒有完備的條件或者沒有確定結(jié)論，命題形式比較新穎，自由度較大，需要對題目里給出的各個信息認(rèn)真觀察、分析、概括、猜想，得出相應(yīng)的結(jié)論并給出正確的證明，解決這類問題，涉及的知識面廣，對學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的能力有較高要求.本文針對這類題目給出了簡要說明，不足之處，敬請各位指教.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 探索型問題 解決方法

通常情況下，有些題目只有已知，然而無確定結(jié)果，有的無明確結(jié)論，要靠解題的人運用查看、研究、總結(jié)出結(jié)果；又或知道了題目的確定結(jié)果，可是已知不充分或不知道，要靠探索人覓求充足的已知條件再給出合理解釋，這樣的題目被稱做開放型問題.已知不充分及沒有明確結(jié)果是這種題目的普遍特點.探索型問題在數(shù)學(xué)高考試題里比重較大，而且呈現(xiàn)出上升的勢頭，使此種題目日益受到重視.因為探索中所占題目自身的特點，解答這類題目，涉及的知識面廣泛，對考生通過數(shù)學(xué)思維方式考慮問題、處理問題的能力有較高需求.伴隨提高學(xué)生能力的思想在我國的大力推進(jìn)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平成為教學(xué)的重點，從而開放型題目就成為增強考生的開創(chuàng)意識，提升數(shù)學(xué)思想水平、理解題目及處理題目水平的理想題目.在考試?yán)锲毡榇嬖诘拈_放型題目，從出題特征的角度，可分為條件探索型、結(jié)果探索型、存在性探索型、完全探索型等，下面對這幾種題目分別作分析.

一、條件探索型問題

此種題目的特點就是對某個明確的結(jié)果來說，已知不確定需要研究，或者已知的增加或減少需要明確，抑或是需要確定已知是否正確.解答此種題目的方式就是從結(jié)果入手探尋已知，先找出使結(jié)果正確必須具備的前提，然后經(jīng)過驗證尋求使結(jié)果正確的具有充分性的理由.這種探索型的問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見，是深入開展探索型問題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)高中生探究意識、創(chuàng)新能力的有效途徑與載體.

例1：若函數(shù)f（x）=αsin（-x）-bcos（x-），（ab≠0）為奇函數(shù)，（a，b）可以為（？搖？搖）.這道題目就是典型的條件探索型問題，它的結(jié)論明確即函數(shù)是奇函數(shù)，需要找出使得結(jié)論成立的充分條件，我們可以把題設(shè)和結(jié)論都看作已知條件，用演繹推理的方法找出題目需要的條件.

【解析】由奇函數(shù)的定義列出關(guān)系式，展開整理可得a=b，（ab≠0），因此有序數(shù)對可以是（1，1）（2，2）…只要滿足a=b，（ab≠0）的都是正確答案.由于奇函數(shù)的特殊性質(zhì)，這道題又能以賦值之方法處理，即f（0）=0.

本題主要運用奇函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)和差角的正余弦公式，通過計算和驗證，找出問題的答案，這就是條件探索型題目的常用解決方法.

二、結(jié)論探索型問題

這類題目的特點是已知確定但是無結(jié)果，或者是結(jié)果是否正確要求答題人判斷.處理此種題目的方式就是通過研究結(jié)果，然后對結(jié)果進(jìn)行證明.也就是解決問題時通常以特例情況為切入點，運用查看、研究、整理、辨析等手段先猜想出一個結(jié)論，然后進(jìn)行普遍情況的研究和論證.

例2：已知函數(shù)f（x）=x++αlnx（x>0），（1）若f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，確定α的范圍；（2）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上有意義，并且在該區(qū)間內(nèi)任取的兩個數(shù)x、x以下不等式[f（x）+f（x）]≥f（）都成立，就說函數(shù)y=f（x）是區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.當(dāng)a≤0時，試分析f（x）是不是“凹函數(shù)”，就你的分析給出證明.這道題目就是結(jié)論探索型問題，它的條件很明確，給出了凹函數(shù)的定義，需要解題者探索結(jié)論，我們可以通過分析、計算、歸納，判斷等手段找出結(jié)論并加以證明.

【解析】（1）由題意可得，要使函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，必須使導(dǎo)函數(shù)大于零在指定區(qū)間恒成立，通過整理可以找出a要滿足的關(guān)系.a需大于其最大值，由單調(diào)性可知其最大值為零，所以a≥0；（2）證明：由題目中給出的已知條件及均值定理相關(guān)知識可以得出滿足凹函數(shù)定義的關(guān)系式，由題可得此函數(shù)是凹函數(shù).

這類結(jié)論探索型題目，需要解題者能夠靈活運用數(shù)學(xué)知識，從題目的情境中研究探索結(jié)論，對于培養(yǎng)高中生思維的靈活性大有裨益.

三、探究是否存在題型

這類題目的特點是以結(jié)果存在為前提，判斷尋求的結(jié)果存在與否.

例3：假設(shè)A是x=1上一動點，直線l經(jīng)過點A且和x軸互相垂直，l與x軸的交點為D，M為直線l上一點，并且|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）.A點在圓上運動時，點M的運動軌跡為C.（1）求C的方程，指出C是哪類圓錐曲線，求焦點；（2）經(jīng)過坐標(biāo)原點并且斜率是k的直線和C相交于點P，Q，當(dāng)中點P位于第一象限，且在y軸的投影是點N，直線QN與C相交于H.能否有m，能對所有的k>0，全有PQ⊥PH？如果有，求出m；如果沒有，說出原因.這道題目要找m的值是否存在，我們可以先假設(shè)有這樣的m，然后通過一系列計算推理，得出要找的結(jié)論.

【解析】（1）根據(jù)題設(shè)分析關(guān)系，列出方程計算整理得到A點橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)的表達(dá)式，因為A點在單位圓上運動，把它代入單位圓方程可得要求C的方程得到點M所滿足關(guān)系式，從而根據(jù)所學(xué)知識對它的軌跡進(jìn)行具體描述.

（2）解法1：設(shè)出直線QN的斜截式方程，把它代入曲線C化簡得出一個關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題目找出這個方程的解，并根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系整理可得點H橫坐標(biāo).因為點H在直線QN上，所以列出關(guān)系式，得到對應(yīng)向量坐標(biāo)，再利用向量垂直數(shù)量積是0得到的值，所以存在m，能使在它相應(yīng)的圓錐曲線上，對所有的k>0，全有PQ⊥PH.

解法2：由于P，H這兩個點都在曲線C上，因此它們都滿足曲線方程.兩個式子相減可以得出坐標(biāo)間的關(guān)系式，根據(jù)題目已知條件，依據(jù)點P在第一象限可以得出，該點H也落于第一象限內(nèi)，而且P，H這兩個點并不重合，于是可得，再根據(jù)兩直線平行斜率相等，垂直斜率之積等于-1可以通過計算得出m的值，所以存在m，能使在它相應(yīng)的圓錐曲線x=1上，對所有的k>0，全有PQ⊥PH.

這道題目考點是求軌跡、直線和橢圓的相互位置及兩條直線互相垂直或兩個向量互相垂直的充分必要條件，這種存在性的問題，得出的結(jié)果有兩個可能性：假如具有存在性，要給出合理解釋；假如不具備存在性，找出相矛盾的例子解釋即可.

四、全開放探索型問題

條件和結(jié)論都不完備或都不確定的是全開放型問題，解決這種問題的方法也是開放型的，解題者對題目開展非常詳細(xì)具體的分析探索，才可以找出解答題目的方案.

例4：α、β為不重合的兩個平面，m、n為平面α和平面β以外的兩條不重合的直線，根據(jù)以下四個條件：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，拿其中的3個當(dāng)成已知條件，剩下的一個當(dāng)成問題的結(jié)果，找出正確的答案寫在橫線上.這道題提供了四個題設(shè)，題目讓當(dāng)中的3個作為已知，剩下的一個作為結(jié)果，我們可以采用列舉的方法找出所有可能性一一檢驗.

【解析】根據(jù)題目要求能夠得出全部四個命題，根據(jù)所學(xué)立體幾何知識可以得出，其中哪些是正確的，哪些是不正確的.只要寫出正確答案之一，此題就獲得了完美解答.

這道題的已知及結(jié)果均不確定，因此該題目是一個已知和結(jié)果都不確定的完全探索型問題，它可以構(gòu)成的命題不止一個，正確答案也不唯一，解題者只需找出一個符合題意的結(jié)論就可以.這種題目的處理方法也存在不確定因素.

探索型問題沒有完備的條件或確定的結(jié)論，它的這一特征決定了在解決這類問題時對數(shù)學(xué)知知識的掌握，數(shù)學(xué)思想的運用，以及創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維都有較高的要求.在解決這類題目時常用下列方法：直擊目標(biāo)；特殊值判斷；猜想證明；數(shù)形結(jié)合……要正確解決探索性問題，不僅需要在平時的學(xué)習(xí)中注重基礎(chǔ)知識的掌握，還要注重方法的總結(jié)及能力的培養(yǎng).

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