張敏 姜琴

摘 要： 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布是概率論中的教學(xué)難點(diǎn)內(nèi)容，在教學(xué)中，很多教師普遍弱化該章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，但是作為二維隨機(jī)變量教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，不能忽略該知識(shí)點(diǎn)的講解.本文就如何講好二維隨機(jī)變量和函數(shù)、商函數(shù)分布內(nèi)容談?wù)務(wù)J識(shí).

關(guān)鍵詞： 概率論 二重積分 卷積公式 商分布函數(shù) 斜率

在概率論教學(xué)中，二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布是教師公認(rèn)難講的內(nèi)容，工科類高校對(duì)這部分的處理，很多是弱化該內(nèi)容的教學(xué)，甚至不講或少講，或以不是考查重點(diǎn)一筆帶過.筆者認(rèn)為，該章內(nèi)容雖然比較難，但是作為隨機(jī)變量的重要組成部分，不能忽略知識(shí)講解.

在二維隨機(jī)變量相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，會(huì)用到高等數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容，譬如求積分、求級(jí)數(shù)和、求導(dǎo)數(shù)等一系列知識(shí)，特別是在求二重積分時(shí)，如何確定積分的上下界，成為概率論的教學(xué)難點(diǎn)內(nèi)容.因此在求二維隨機(jī)變量在平面區(qū)域上概率時(shí)，就需要對(duì)二重積分的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)，再進(jìn)入二維隨機(jī)變量和函數(shù)和商函數(shù)分布的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生知識(shí)的銜接，降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

1.二維隨機(jī)變量在某區(qū)域上的概率與二重積分

二維隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度函數(shù)中有條重要的性質(zhì)：點(diǎn)（X，Y）落在xoy平面上G區(qū)域上的概率為P{（X，Y）∈G}= f（x，y）dxdy，因此求區(qū)域上的概率就是求區(qū)域上的二重積分，但是在積分時(shí)，我們除了要考慮積分區(qū)域G的范圍，還要考慮到被積函數(shù)f（x，y）可能自身也有范圍要求.

2.回顧區(qū)域上的二重積分

在教二維隨機(jī)變量函數(shù)分布時(shí)，會(huì)用到大量二重積分的知識(shí).首先要幫助學(xué)生回顧二重積分類型和方法，這樣有助于學(xué)生知識(shí)的銜接，降低學(xué)習(xí)的難度.二重積分化為兩次定積分的計(jì)算的關(guān)鍵是確定上下限，上限大于下限，內(nèi)層積分上下限應(yīng)為外層積分變量函數(shù)，外層的上下限應(yīng)為常數(shù).

3.和函數(shù)卷積公式的運(yùn)用

除了上述兩種情況外，兩個(gè)線段再也沒有交集，z的其他范圍可以不用考慮，因此

4.商分布的教學(xué)

在商分布的概率密度函數(shù)推導(dǎo)的過程中，學(xué)生比較難看得懂，教師也覺得非常不好講解.下面就求解過程詳細(xì)分析，根據(jù)分布函數(shù)定義有

z<0的積分區(qū)域 z>0的積分區(qū)域

我們可以把Y/X=k看成直線y=kx的斜率，Y/X≤Z？圳K≤z，斜率k小于z（任意給定的實(shí)數(shù)），那么z的取值有兩種：第一種z<0，如左圖，k0時(shí)，如右圖，k0時(shí)滿足條件的范圍如右圖所示的區(qū)域，也是對(duì)于二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)的內(nèi)容，更多的是和高等數(shù)學(xué)二重積分的內(nèi)容緊密地聯(lián)系在一起，由于學(xué)生對(duì)二重積分知識(shí)的漸忘，不熟悉，不確定，更增加了學(xué)習(xí)隨機(jī)變量函數(shù)分布的難度，因此及時(shí)回顧相關(guān)的高數(shù)知識(shí)，再配以畫圖分析，幫助確定積分的上下限，可以大大降低知識(shí)理解難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

參考文獻(xiàn)：

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此課題為南華大學(xué)2013年校級(jí)教改課題2013XJG59