程慧剛

【摘要】 進(jìn)入21世紀(jì)，現(xiàn)行高中的各門學(xué)科都進(jìn)行了新教材改革，數(shù)學(xué)科也不例外，新教材有的放矢的刪除了一些傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容，如余切函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，同時(shí)也增添了不少現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，如三視圖、定積分等，新舊內(nèi)容的更替使得我們對(duì)待一些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)需要與時(shí)俱進(jìn)，更新自己的知識(shí)與思想，進(jìn)行重新認(rèn)識(shí)與思考?！皬?fù)合函數(shù)”的單調(diào)性的判斷就是值得我們重新認(rèn)識(shí)與商討的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】 復(fù)合函數(shù) 單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2015）04-034-02

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復(fù)合函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常遇到的一類函數(shù)。縱觀近十年的高考數(shù)學(xué)試題，復(fù)合函數(shù)已成為高考命題的熱點(diǎn)。事實(shí)上，學(xué)好復(fù)合函數(shù)對(duì)深化函數(shù)概念，提高學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要意義。但高中數(shù)學(xué)課本中沒(méi)有對(duì)復(fù)合函數(shù)作全面的介紹，教師雖然就題論題點(diǎn)點(diǎn)滴滴地介紹了一些復(fù)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，但大多數(shù)高中學(xué)生尤其是高一學(xué)生還是感到茫然。因此，在復(fù)合函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教師很有必要對(duì)復(fù)合函數(shù)中有關(guān)高考要求的知識(shí)點(diǎn)，加以歸納、整理，使之系統(tǒng)化，從而對(duì)學(xué)生比較全面地掌握復(fù)合函數(shù)有重要作用。

一、復(fù)合函數(shù)的概念

已知函數(shù)y=f（u）和函數(shù)u=g（x），若滿足u=g（x）的值域A是函數(shù)y=f（u）的定義域B的子集，那么x在定義域內(nèi)的任意一個(gè)值可以唯一地確定一個(gè)y值（在其值域內(nèi)），則y=fg（x）叫做y=f（u）與u=g（x）的復(fù)合函數(shù)。其中u=g（x）為內(nèi)函數(shù)，y=f（u）為外函數(shù)。例如y=lg（x2-2x）可以看作由y=lgu與y=x2-2x復(fù)合而成，其中y=x2-2x為內(nèi)函數(shù)，y=lgu為外函數(shù)。

二、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

1.利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷：設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镮

若對(duì)于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1f（x2），就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。

2.利用單調(diào)性有關(guān)結(jié)論

若u=g（x）、y=f（u）對(duì)所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則y=fg（x）為減函數(shù)；若u=g（x）、y=f（u）對(duì)所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=fg（x）為增函數(shù)。

3.求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)分別大于零、小于零解出x的范圍

三、教學(xué)策略

先由簡(jiǎn)單函數(shù)圖象抽象得出函數(shù)單調(diào)性概念得到方法1，進(jìn)而通過(guò)講解例題1，分析單調(diào)性判斷的實(shí)質(zhì)舉例2補(bǔ)充說(shuō)明，發(fā)現(xiàn)方法2，以例3強(qiáng)化理解、識(shí)記（均可在高一教學(xué)中完成）。待到高二學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后，拿出簡(jiǎn)便方法3，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)單調(diào)性判斷的徹底掌握。

四、教學(xué)實(shí)施

例1.討論函數(shù)f（x）=1-x2的單調(diào)性。

解：定義域{x|（1≤x≤1}，在[（1，1]上任取x1，x2且x1

f（x2）=1-x22f（x1）=1-x21

則f（x1）-f（x2）=1-x21-1-x22=（1-x21）-（1-x22）1-x21+1-x22

=x22-x211-x21+1-x22=（x2+x1）（x2-x1）1-x21+1-x22

∵x10，另外，恒有1+x21+1+x22>0

∴若（1≤x1

若00，則f（x1）（f（x2）>0，f（x1）>f（x2）

∴在[（1，0]上f（x）為增函數(shù)，在[0，1]上為減函數(shù)。

例2.求函數(shù)y=（12）x2-2x的單調(diào)區(qū)間。

解：設(shè)x2-2x=u，u（x）在x≤1時(shí)是減函數(shù)，在x≥1時(shí)是減函數(shù)。由y=（12）u是減函數(shù)，因此，當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，x↑u（x）減u↓y（u）減y↑；

當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，x↑u（x）增u↑y（u）減y↓；

∴函數(shù)y=（12）x2-2x的遞增區(qū)間為（-∞，1]，遞減區(qū)間為[1，+∞）.

據(jù)例1歸納，①?gòu)?fù)合函數(shù)為兩個(gè)減函數(shù)復(fù)合：那么隨著自變量x的增大，y值也在不斷的增大，函數(shù)為增函數(shù)；一個(gè)減函數(shù)與一個(gè)增函數(shù)復(fù)合：隨著自變量x的增大，y值也在不斷的減小，函數(shù)為減函數(shù)。

②復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)減函數(shù)的復(fù)合：那么隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大，內(nèi)層函數(shù)的y值就在不斷的減小，而內(nèi)層函數(shù)的x值就是整個(gè)復(fù)合函數(shù)的自變量x。因此，即當(dāng)內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大時(shí)，內(nèi)層函數(shù)的y值就在不斷的減小，即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的中間變量x不斷減小，又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)也為減函數(shù)，所以整個(gè)復(fù)合函數(shù)的y值就在增大。因此可得“同增”。

若復(fù)合函數(shù)為一增一減兩個(gè)函數(shù)復(fù)合：假設(shè)內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，則隨著內(nèi)層函數(shù)自變量x的增大，內(nèi)層函數(shù)的y值也在不斷的增大，即整個(gè)復(fù)合函數(shù)的中間變量x不斷增大，又因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為減函數(shù)，所以整個(gè)復(fù)合函數(shù)的y值就在減小。反之亦然，因此可得“異減”。

例3.求f（x）=log（-x2+4x-3）0.4的單調(diào)區(qū)間

解：由-x2+4x-3>01

令u（x）=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，可知u（x）在（1，2）遞增，在（2，3）遞減。

∵0<0.4<1，∴y=logu0.4是減函數(shù)，f（x）在（1，2）遞減，在（2，3）遞增

例4.已知f（x）=8+2x-x2，g（x）=f（2-x2），求g（x）的單調(diào)區(qū)間。

方法一：設(shè)u=2-x2，即g（x）=f（u），利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)行判斷。

解：設(shè)u=2-x2，則g（x）=f（u）=8+2u-u2

∵u=-x2+2在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，又y=8+2u-u2=-（u-1）2+9在（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)。

當(dāng)u<1時(shí)，有2-x2<1x>1x>1或x〈-1；

當(dāng)u>1時(shí)，有2-x2>1x<1-1〈x〈1

∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1）與（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）與（1，+∞）.

方法二：直接求出g（x）的解析式求其一階導(dǎo)數(shù)g′（x），令g′（x）>0、g′（x）<0解出x的范圍表示為區(qū)間即為相應(yīng)的遞增區(qū)間、遞減區(qū)間。

解：g（x）=f（2-x2）=8+2（2-x2）+（2-x2）2=-x4+2x2+8，g′（x）=-4x3+4x

令g′（x）>0x<-1或01.

∴g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1）與（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）與（1，+∞）.