蘇長青，孫業(yè)翔，屈力剛，葉柏超，陳靖樂（.沈陽航空航天大學(xué)安全工程學(xué)院，遼寧沈陽036；.沈陽航空航天大學(xué)航空制造工藝數(shù)字化國防重點學(xué)科實驗室，遼寧沈陽036）

基于三坐標(biāo)測量機的采樣點數(shù)及其分布策略研究

蘇長青1，孫業(yè)翔2，屈力剛2，葉柏超2，陳靖樂2
（1.沈陽航空航天大學(xué)安全工程學(xué)院，遼寧沈陽110136；2.沈陽航空航天大學(xué)航空制造工藝數(shù)字化國防重點學(xué)科實驗室，遼寧沈陽110136）

在測量過程中，圓柱度是經(jīng)常需要測量及評價的形狀誤差參數(shù)，測量點數(shù)的選取會對其測量精度和測量成本造成一定的影響.綜合考慮了徑向諧波誤差、軸向誤差、特征尺寸、特征形狀位置等影響測量結(jié)果的因素，提出了一種測量時確定采樣點數(shù)的公式，并應(yīng)用Hamme rsley序列、Halton序列、葉序理論來確定其坐標(biāo)分布情況.在測量機中進行了實際測量，結(jié)果表明，結(jié)合3種成熟的布點策略，利用所提出的公式得到的采樣精度均高于測量機自身軟件的采樣精度.

圓柱度；采樣點數(shù)公式；分布策略；采樣精度

隨著現(xiàn)代制造業(yè)的飛速發(fā)展，人們對零件精度的要求越來越高，質(zhì)量檢驗作為產(chǎn)品制造的“眼睛”，成為工業(yè)生產(chǎn)中極為重要的一環(huán).三坐標(biāo)測量機已成為質(zhì)量檢測環(huán)節(jié)中至關(guān)重要的設(shè)備，它不僅可用于評價零件的尺寸公差、形狀誤差和位置誤差，還可以與上游設(shè)計、制造環(huán)節(jié)實現(xiàn)數(shù)據(jù)傳遞和數(shù)字驅(qū)動的基于MB D的數(shù)字化檢測，形成設(shè)計、制造、檢測的數(shù)字化閉環(huán)控制系統(tǒng)［1］.

三坐標(biāo)測量機通過在產(chǎn)品上自動或半自動地采集測量點，利用測量軟件算法來進行誤差計算，測量結(jié)果主要由測量點的數(shù)量及其分布情況來決定.一些學(xué)者在研究了G P S（幾何產(chǎn)品技術(shù)規(guī)范）的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于特征的采樣策略，完善了現(xiàn)有的評價標(biāo)準(zhǔn).他們根據(jù)具體的圓柱特征，提出了采樣密度與采樣頻率的概念［2-3］.這種方法的優(yōu)點是方法簡單，便于工程實現(xiàn)，但也存在著布點策略單一，測量精度偏低的不足.另一些學(xué)者則是在研究了實際零件的誤差來源和精度影響因素的基礎(chǔ)上，利用采樣定理和諧波分析等方法研究了測量點數(shù)與測量精度的關(guān)系［4］.這種方法的優(yōu)點是測量精度高，布點策略較為靈活，但算法較復(fù)雜，測量效率較低.

三坐標(biāo)測量機對圓柱度誤差進行測量時，會采用分層布點的方式，而分層布點后的采樣點不能同時滿足徑向圓度和軸向直線度的測量精度和效率要求.針對此問題，本文提出了一種確定采樣點數(shù)的數(shù)學(xué)模型，綜合考慮了軸向采樣點和徑向采樣點，并基于Hammersley序列、Halton序列及葉序理論確定了采樣點的分布，較好地克服了測量機自身軟件采樣的缺點，為圓柱度測量時采樣點的選取提供了新的思路.

1　測量點數(shù)的數(shù)學(xué)模型

1.1徑向采樣點數(shù)的確定

目前國內(nèi)外公認(rèn)的采樣點數(shù)確定依據(jù)是Nyquist采樣定理［5］.在實際測量過程中，圓柱的徑向誤差是由被測表面輪廓的極值點來決定的，故在測量時采樣點應(yīng)盡量接近這些極值點.

圖1　采樣周期與極值點位置的關(guān)系Fig.1Relation of sampling period and the extreme value point position

如圖1所示，首先考察第一極值點A附近采樣情況.假設(shè)在被測圓柱表面一個諧波變化周期內(nèi)采樣N個點（N≥2），諧波幅值為Cm，則采樣點位置變化最大值為2π/N［6-7］.從E點開始采樣，且A點落在δ和δ+1之間（δ=1，2，3，…，N），則δ點處采樣值與極值點A處采樣值之差為：

δ+1點采樣值與A處采樣值之差為：

但在實際測量過程中，采樣點的位置是隨機的，設(shè)采樣點實際位置與理論位置的偏差為ΔX，為消除測量誤差ΔX，設(shè)ΔYδ與ΔYδ+1相等，則：

此時極值點A處附近的測量極限誤差為：

同理可得第二極值點B處的測量極限誤差為：

因此圓柱徑向圓度的測量極限誤差為：

1.2軸向采樣點數(shù)的確定

在軸向采樣的過程中，為保證圓柱素線和軸線采樣精度要求，采樣時應(yīng)考慮以下幾方面因素：

（1）圓柱的長徑比.設(shè)圓柱的長徑比為i，當(dāng)i ＞1時，圓柱素線與軸線之間的平行度公差值必須相應(yīng)大于其圓度公差值；當(dāng)i≤1時，圓柱素線與軸線之間的平行度公差值必須相應(yīng)小于等于其圓度公差值.

（2）圓柱的柱面面積.在圓柱軸向采樣時，圓柱面的面積也是需要考慮的主要因素之一.圓柱的柱面面積越大，為保證采樣精度，則單位面積所需采樣點數(shù)越多.設(shè)圓柱的柱面面積為S，則S =πDH.

（3）測量機測針紅寶石球直徑d.測量機在測量零件時，測頭傳感器記錄的是紅寶石球的球心位置，因此在無工裝的情況下，測量的有效范圍P=H-，如圖2b所示.因此紅寶石球直徑越大，測量機的2有效測量范圍就越小.當(dāng)工裝對其測量范圍無影響時，則測量機的有效測量范圍如圖2a所示.

圖2　測量機有效測量范圍Fig.2Effective measurement range of coordinate measuring machine

綜上所述，圓柱的徑向采樣點數(shù)N1與圓柱長徑比i、圓柱表面積S、測針紅寶石球直徑d之間的關(guān)系為：

圓柱素線的直線度也是圓柱軸向誤差的主要影響因素，如圖3所示.由前述分析可知其測量精度要求和測量點數(shù)滿足下列公式［8］：

式中：Δ Y為理論直線度誤差；Cm為誤差諧波分量最大振幅；M為在最大諧波分量下一個周期內(nèi)的采樣點數(shù).

式中：N2為在整個測量行程內(nèi)所需測量點數(shù)；K為獲得最大諧波分量的諧波次數(shù).

圖3　圓柱素線直線度示意圖Fig.3Schematic diagram of straightness of cylindrical generatrix

假設(shè)特征尺寸因素與特征形位因素對軸向采樣精度的影響程度相同，則式（10）即為軸向采樣點數(shù)公式：

1.3圓柱總采樣點數(shù)

設(shè)圓柱總采樣點數(shù)為N；軸向采樣點數(shù)為N軸，軸向誤差對圓柱度影響因數(shù)為φ1；徑向采樣點數(shù)為N徑，徑向誤差對圓柱度影響因數(shù)為φ2，則圓柱總采樣點數(shù)為：

φ1和φ2的選取與軸向公差、徑向公差對圓柱度的影響程度有關(guān)，選取原則為：

（1）當(dāng)軸向公差大于徑向公差時，軸向公差對圓柱度誤差的影響程度高于徑向公差，應(yīng)選取φ1＞φ2.

（2）當(dāng)軸向公差小于徑向公差時，軸向公差對圓柱度誤差的影響程度小于等于徑向公差，應(yīng)選取φ1≤φ2.

2測量點的布置策略

2.1Hammersley序列及Halton序列布點

對于每個非負(fù)整數(shù)k和素數(shù)p，定義［9］：

其中：ai∈［0，p-1］.

定義方程φp（k）為：

由式（12），（13）可推得：φp（k）∈［0，1］.

在d維采樣空間中，設(shè)由互異的素數(shù)序列p1，p2，p3，…，pd-1定義序列φp1（k），φp2（k），φp3（k），…，φpd-1（k），第k個點的Hammersley序列為：

在Hammersley序列中，將第一項k/n去除后剩下項的集合即為Halton序列［10］.

2.2葉序理論布點

葉序理論是以斐波那契數(shù)列為基礎(chǔ)來研究植物葉片沿徑向排布情況的一種理論，其特點就是測量點按照葉序分布，其表達式為［11］：

φ=n·α，ρ=R，H=h·n（14）

式中：n為圓柱表面上點的序數(shù)；（ρ，φ，H）為第n個點的柱坐標(biāo)；α為序數(shù)相鄰兩點之間的發(fā)散角；h為沿圓柱軸向測量的序數(shù)相鄰兩點之間的垂直距離.

3　試驗驗證

應(yīng)用?？怂箍礖EXAGON-GLBALPERFORMANCE測量機，如圖4所示；選取紅寶石球直徑為4mm的測針對φ=15，H=20的待測特征進行測量，測量情況如圖5所示；測量結(jié)果如表1所示.

由表1可知，當(dāng)K=2時，徑向諧波幅值C2= 0.162773，將C2與精度要求ΔY=0.1mm代入式（6）中，可得在整個測量行程內(nèi)徑向測量點數(shù)為N徑=KM=2×3.9=7.8，故可取N徑=8.同理可得精度要求ΔY=0.05mm，圓柱軸向在整個測量行程內(nèi)的測量點數(shù)N2=KM=1×3=3.

將待測圓柱的長徑比i，側(cè)面積S，紅寶石球直徑d代入式（7）中可得N1=10.23.將N1和N2代入式（10）中，可得軸線方向所需的測量采樣點數(shù)（11）中，即可得到圓柱在測量時所需要的總的測量采樣點數(shù).根據(jù)φ1和φ2的選取原則，可取φ1=2，φ2=1.5，故圓柱所需總的測量點數(shù)為26個.

表1　徑向和軸向各次諧波幅值Tab.1Every harmonic amplitude of radial and axial directions

圖4　測量設(shè)備與試件Fig.4Measuring equipment and experimental part

圖5　測量點分布示意圖Fig.5Schematic diagram of measuring point distribution

在待測圓柱上分別采用Hammersley序列、Halton序列、葉序理論進行測量點的布置，選取測量點數(shù)為10，15，20，25，26，30，35，40，45，50個時測量機所測得的圓柱度誤差如圖6和表2所示.

圖6　各布點方法圓柱度誤差測量結(jié)果的比較Fig.6Comparison of measurements results using different sampling methods

表2　不同布點方式在三坐標(biāo)測量機中圓柱度誤差的測量結(jié)果Tab.2Measurement results of coordinate measuring machine using different sampling methods

4　結(jié)語

（1）圓柱采樣點公式為N=φ1N軸+φ2N徑，其中φ1，φ2分別為軸向和徑向精度要求對采樣點數(shù)的影響程度.

（2）按照H ammersley序列、Halton序列及葉序理論進行測量點的布置時，采樣精度均高于測量軟件的布點策略.

（3）本文所提出的數(shù)學(xué)模型適用于大量同批次零件檢測時測量點的選取，可明顯提高批量檢測的效率和準(zhǔn)確性.

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Sampling points and distribution strategy for coordinate measuring machines

SUChang-qing1，SUNYe-xiang2，QULi-gang2，YEBai-chao2，CHENJing-le2
（1.School of Safety Engineering，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China；2.Key Laboratory of Fundamental Science for National Defense of Aeronautical Digital Manufacturring Process，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China）

Due that the cylindricity is frequently used as a measurement and evaluation parameter for shape error，the number selection of measurement points impacts the measurement precision and cost.By comprehensively considering such impact factors as radial harmonic error，axial error，feature size，feature shape location，a formula is proposed to determine sampling points.The coordinate distribution is obtained using the Hammersley sequence，Halton sequence and phyllotaxis theories.With practical measurement on measuring machine，it is indicated that the sampling precision with integration of three stationing strategies is higher than the attached software of measuring machine

cylindricity；sampling point number formula；distribution strategy；sampling precision

T P 391.7；TH 721

A

1672-5581（2015）06-0566-05

蘇長青（1979-），男，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士后.主要研究方向為機械系統(tǒng)可靠性及優(yōu)化設(shè)計、復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模擬仿真、數(shù)字化檢測技術(shù).E-mail：sucq@sau.edu.cn