孫西洋

【關鍵詞】數學邏輯;教學反思;解題方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】

筆者在指導學生復習“函數的零點”時曾經與學生共同評析一道例題。在處理此題時，筆者堅持學生自主探究、合作交流的教學模式，充分挖掘學生的潛能，有力地促進了學生個性的發(fā)展。

巧合的是，在隨后南京市舉行的期中考試中，有一道題的設置與筆者所說的例題非常相似。但從考試的結果來看，超出一半的學生的解題過程不完整。例題如下：

已知函數f（x）=+k，k為實數，是否存在實數a，b（a

回顧上課片段，我留了5分鐘時間讓學生思考、討論、交流、嘗試解答。在此期間，我認真巡視課堂，聆聽學生的想法，了解學生對相關知識的掌握和運用情況。我找到并展示一種通性解法的學生的解答過程，又通過投影展示了另一個學生的解法，以便歸納總結。

生1：假設存在實數a，b（a

師：在解決函數問題時，應該充分考慮函數的哪些性質？

生1：函數f（x）在定義域[-2，+∞]上是增函數。

所以

生1：看到（*）式中有3個陌生的字母，心里發(fā)怵，不知道該怎么做下去。

生：是呀，（*）式到底是關于哪個量的方程？

師：解決問題的終極目標是什么？

生：目標是求出參數k的取值范圍。方程+k=x，[-2，+∞）（**）應有兩個不相等的實根。

生：方程左邊是無理式，右邊是有理式。

生1：（在師生共同努力下，生1的思路開朗）令=t≥0，則x=t2-2，于是方程t2-t-2-k=0在[0，+∞]上有兩個不等的實根，即函數g（t）=t2-t-2-k在[0，+∞）上有兩個零點。

作出函數圖象可知，函數圖像的對稱軸是t=。

f（0）=-2-k≥0△=（-1）2+4（2+k）>0

解得

師：順利解決（*）式的關鍵是什么？

生：要根據條件與結論的關系，時刻明確目標，才會明確解題方向。

然后教師通過投影展示學生2的解法，其解法如下：

因為函數f（x）在定義域[-2，+∞）上是增函數。所以

方程

應該有兩個不等的根，即函數g（x）=-x與y=-k在[-2，+∞）上有兩個不同的交點。

令g′（x）=0得x=-，當x∈（-2，-）時，g′（x）>0。

當x>-時，g′（x）<0。所以函數g（x）在[-2，-）上是增函數，在（-，+∞）上是減函數。

所以函數的最大值是g（-）=，而g（-2）=2，作出函數y=-x圖像，可知：當2≤-k<即k∈（-，-2]時，直線y=-k與函數y=-x有兩個交點。

大家普遍反映學生1的解法簡單，但需要運用的知識比較多，計算比較復雜，計算量也比較大。學生2的解法簡單、明快，但是技巧性比較強。

為什么在課堂上很順利，到了考試卷上學生會犯糊涂呢？為了探明這個問題的根源，筆者對做錯的學生進行了問卷調查。

一、原因分析

1.源于教師的因素。

學生普遍反映，在課堂上他們還沒有形成解題思路，老師就講評了。上課時，學生只是通過自己的努力做出來的，沒有認真聽講。教師只注重講解將（*）式轉化為方程+k=x在給定區(qū)間上有兩個不同的解，（**）式化歸為有理方程t2-t-2-k=0在[0，+∞）上有兩個不等的實根，在與兩個函數圖象有兩個交點等關鍵步驟的處理上跨度較大，加上教師給學生思考與動手演算的時間較少，所以很難掌握。另外教師課后沒有運用配套練習讓學生及時進行強化，隨著時間的推移，學生逐漸淡忘。

2.源于學生的因素。

學生因素分為兩方面。一方面是學生的習慣，課堂上聽得很好，由于沒有課堂筆記，沒有及時反思、歸納，導致“懂而不會”。僅僅局限于一聽就懂、一看就會，重技能、輕過程，缺乏計算的嚴謹性、完整性。另一方面，學生缺乏信心，認為自己基礎比較薄弱。簡單解法容易想到，但是計算過程比較復雜;復雜的方法技巧太強，于是產生畏難情緒。因此兩種方法很難掌握。

二、深度反思，追溯“缺失”

1.學生主體性的缺失。

課堂，是學生的課堂。作為教師，首先要認識到，每名學生的潛力都是無窮的，應讓學生大膽地參與，且留出更多的時間給學生真正參與解題。教師的主導作用秒殺了學生的思想源頭，掐斷了學生思維的生長點，致使大多數學生停留在欣賞的思維層面。如果在學生1的解題過程中，教師能鼓勵更多學生大膽地展示自己的想法，讓他們在討論中受到啟發(fā)，并談談在形成的多種解法中遇到的挫折，以及在思維的碰撞中理性思維的回歸過程，那么便能充分調動學生學習的積極性、創(chuàng)造性，發(fā)揮他們的主體性。

2.解題方法的缺失。

教學不是教師的一言堂。學生獲取知識本來就應該在不斷探索和交流中進行。在解題活動中匯總，難免會有學生給出錯誤解答或提供連教師都沒有預先想到的“通解”“妙法”。教師要善于抓住教育資源和學生的解題需求，不能一味地把學生往自己預設好的解題思路上拽。

3.解題步驟的“缺失”。

注重思路、方法的評析，忽視運算的準確性、完整性和書寫的邏輯性、研究性，是造成本題講解一個“缺失”。如在問卷調查中有學生指出：老師只注重講解（*）（**）式的處理，但是對解題過程中的幾個關鍵步驟幾乎沒有提及，特別是學生1的解法省略的中間步驟正是學生最期望看到的。

數學家羅素說：“數學是符號及邏輯?！崩}的評析應重視算理的選擇和運算過程的準確性，注重表述的邏輯性和條理性，解題過程應簡潔而不失嚴謹。

三、完善理念，修正“缺失”

1.樹立以學定教的教學理念。

作為教學的設計者必須考慮學生的學情與需要。

然而在本例的教學設計中，筆者只是根據主導性需求設計教學目標，幾乎沒有顧及學生的需要。這樣的教學設計，沒有真正體現以學生為本，表面上很熱鬧，其實給學生課后留下了更多的疑問。

2.解題過程要順應學生的思維。

蘇教版高中《數學》編寫組成員張乃達曾說：“明明知道結論（思路），就是要忍住不講;另一方面，有些教師也讓學生思考、板演。但由于對學生的思路不理解，或者學生沒有按照教師所講的規(guī)范去思考，就將學生的思維成果一帶而過，繼而批評學生沒有掌握學習的內容?！?/p>

在問卷調查中有學生指出：（*）（**）式的處理很巧妙，當時給我們的印象很深刻，老師又急忙講解下一題了。后來，通過與學生交流得知，他們熱衷于用以下方法解決問題。

方程+k=x在[-2，+∞）上有兩個不同的解等價于函數y=與函數y=x-k的圖象有兩個交點。

當直線y=x-k經過點（-2，0）時，兩曲線有兩個交點。

當直線y=x-k與曲線y=相切時，切點為A（m，n），則=1，解得m=-，此時切點為A（-，）。在直線y=x-k上，解得k=-，畫出函數圖象，可知k∈（-，-2]。

如果在解題過程中，堅持“基于學生的理解”的原則，多了解學生的解法和錯誤，并與他們一起討論、辨析、尋求解法，考試的效果可能會好得多。

3.解題過程要關注學生的多維感受。

教師在授課過程中，不僅要用巧妙的思維來吸引學生的眼球，更要關注對學情的掌握，關注學生對知識的感知所達到的程度，關注學生理解的難點在何處，關注學生在理解和化解難點上需要教師怎樣的幫助，而不是脫離學生的感受，一成不變地實施教學。

教育家布魯姆說：“我們無法預料教學所產生的全部范圍，如果沒有預料不到的成果，教學也就不成為一種藝術了。”教師在追溯缺失的多元目標的教學設計的同時，要化遺憾為精彩、化缺失為藝術，讓學生的思維自然流淌的同時，也能提升教師自身的教學業(yè)務能力。