胡雨欣, 寇春海, 葛富東

(東華大學(xué) a. 理學(xué)院; b. 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620)

Banach空間中分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性

胡雨欣a, 寇春海a, 葛富東b

(東華大學(xué) a. 理學(xué)院; b. 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620)

運(yùn)用非緊性測(cè)度和Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理,研究了Banach空間中的分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的存在性.

分?jǐn)?shù)階微分方程; 存在性; 非緊性測(cè)度; Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理

近30年來，分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)從純數(shù)學(xué)范疇逐步滲透到眾多學(xué)科和工程應(yīng)用領(lǐng)域，在材料力學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、控制、多孔介質(zhì)、電化學(xué)、黏彈性理論等方面都有廣泛的應(yīng)用.人們對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程基本理論的研究不再僅限于歐幾里德空間,對(duì)于Banach空間中分?jǐn)?shù)階微分方程基本理論的研究也越來越多,主要圍繞解的存在唯一性展開.關(guān)于Banach空間中非線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的局部存在性問題,已有初步的研究成果,其研究方法一般是將分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化成等價(jià)的Volterra積分方程,在適當(dāng)?shù)腂anach空間中,運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理證明其存在性[1-8].而Banach空間中分?jǐn)?shù)階微分方程解的全局存在性問題尚未得到實(shí)質(zhì)性的解決[9].

文獻(xiàn)[8]研究了如下形式的分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的局部存在性問題:

文獻(xiàn)[9]研究了如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的全局存在性問題：

本文主要討論如下分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題：

(1)

其中:1<β<2, x0, x1∈E, f:R+×E→E是一個(gè)連續(xù)映射,(E, ‖·‖)是某個(gè)實(shí)Banach空間.這里運(yùn)用非緊性測(cè)度和Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理,建立系統(tǒng)(1)在無窮區(qū)間上解存在的充分條件.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1.1[10]函數(shù)x:R+→R的β階(β>0)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中:x使得上式在R+是逐點(diǎn)有定義的,Γ為Gamma函數(shù).

定義1.2[10]函數(shù)x:R+→R的β階(β>0)Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為

其中:n=[β]+1,t>β>0,x使得上式在R+是逐點(diǎn)有定義的.

注1.1對(duì)于值域?qū)儆贐anach空間的抽象函數(shù)x,前面定義中的積分要在Bochner意義下考慮.

引理1.1[10]對(duì)β>0,有

由引理1.1，經(jīng)過簡(jiǎn)單的推算可以得到初值問題(1)等價(jià)的積分方程為

(2)

(3)

定義1.3稱f: R+×E→E滿足Caratheodory條件,如果

(1) ?u∈E,t→f(t,u)在R+上強(qiáng)可測(cè)；

(2) 對(duì)于幾乎所有的t∈R+,u→f(t,u)在E上連續(xù).

下面給出非緊性測(cè)度的定義及其部分性質(zhì)，更多內(nèi)容請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[12-13].

設(shè)θ為Banach空間E的零元.記以x為中心,半徑為r的閉球?yàn)锽(x,r),特別的,記B(θ,r)為Br.

定義1.4非空有界子集D?E的Kuratowski非緊性測(cè)度α(D)定義為

α(D)=inf{d>0:

集合D能被有限個(gè)直徑小于d的集合所覆蓋}

根據(jù)定義易知，對(duì)于任意有界子集D,Y?E,Kuratowski非緊性測(cè)度α滿足下列性質(zhì)：

(1) 正則性.α(D)=0當(dāng)且僅當(dāng)D是相對(duì)緊集，特別的，單元素集的非緊性測(cè)度為0.

(2) 單調(diào)性.D?Y?α(D)≤α(Y).

這里分別記α,αC,αX表示空間E,C(I,E),X中有界集的Kuratowski非緊性測(cè)度，可以得出以下幾個(gè)引理.

引理1.2[13-14]若H?C(I,E)是有界且等度連續(xù)的，那么α(H(t))在I上連續(xù)且滿足

∫Iα(H(t))dt

引理1.3[13](Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理)假設(shè)X是一個(gè)Banach空間,D?X是一個(gè)非空有界閉凸子集,如果算子T:D→D是嚴(yán)格收縮的,那么算子T在D中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2　主要結(jié)果證明

為了采用Darbo不動(dòng)點(diǎn)定理研究式(1)解的存在性,先將式(1)轉(zhuǎn)換為等價(jià)的算子積分方程.由式(2)易知,式(1)的解在E中的存在性問題可以轉(zhuǎn)換為下列算子T： E→E的不動(dòng)點(diǎn)問題

假設(shè)映射f滿足下列條件:

(A1) 映射f滿足Caratheodory條件;

成立，其中0<λ<1.

定理2.1如果分?jǐn)?shù)階初值問題式(1)滿足上述假定條件,那么,在E中至少存在一個(gè)解.

為了證明定理2.1,先給出以下幾個(gè)引理.

證明根據(jù)定義,由條件(A1)可得算子T是連續(xù)的.此外,對(duì)任意x∈Br?X,即存在常數(shù)r>0，滿足‖x‖X≤r.這里有Tx(t)∈E,由條件(A2)可知

‖x0‖+‖x1‖M1+

‖x0‖+‖x1‖M1+

‖x0‖+‖x1‖M1+r+

因此,T在Br上是有界的.

對(duì)任意的ε>0,當(dāng)x∈Br時(shí),由條件(A2)可知,存在常數(shù)L1>0,使得

(4)

(5)

(6)

(7)

因此,對(duì)于任意的t1,t2≥N,根據(jù)式(4)～(7)得

根據(jù)引理1.2,?ε>0, ?N>0,當(dāng)t1,t2≥N時(shí),對(duì)任意的x∈Br,都有

其中:diamX是X的有界子集的直徑.

?Tx1,Tx2∈TBri,t≥N,有

下面給出定理2.1的證明.

‖x0‖+‖x1‖M1+

‖x0‖+‖x1‖M1+

(8)

事實(shí)上,當(dāng)t≤N時(shí),由引理2.1可知，算子T是等度連續(xù)的,所以由引理1.2,有

根據(jù)引理2.1, ?ε>0, ?N>0,當(dāng)t1,t2≥N時(shí),對(duì)任意的x∈D,都有

因此，當(dāng)t>N時(shí)，

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Existence of Solutions for Fractional Differential Equations in a Banach Space

HUYu-xina,KOUChun-haia,GEFu-dongb

(a. College of Science; b. College of Information Science and Technology, Donghua University, Shanghai 201620, China)

By utilizing the techniques of measures of noncompactness and the Darbo’s fixed point theorem, the existence of solutions of initial value problem for fractional differential equations in a Banach space is investigated.

fractional differential equations; existence; measure of noncompactness; Darbo’s fixed point theorem

1671-0444(2015)06-0867-06

2014-06-05

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(CUSF-DH-D-2014061)

胡雨欣(1989-),女, 山西平遙人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程. E-mail：huyuxin2012@126.com

寇春海(聯(lián)系人),男,教授,E-mail：kouchunhai@dhu.edu.cn

O 175.6

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