梁立孚，宋海燕，郭慶勇

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

從十八世紀(jì)開(kāi)始，在力學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)了與牛頓的矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的另一力學(xué)體系，即Lagrange于1788年在巴黎正式出版的不朽名著《Mecanique Analytique(分析力學(xué))》［1］。這個(gè)體系的特點(diǎn)是對(duì)能量與功的分析代替對(duì)力與力矩的分析。1834年和1843年W.R.Hamilton建立了Hamilton原理和正則方程，把分析力學(xué)推進(jìn)一步［2］。

如何將經(jīng)典分析動(dòng)力學(xué)應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的問(wèn)題，一直是各國(guó)學(xué)者關(guān)注的研究課題，經(jīng)過(guò)200多年的努力，取得豐碩的研究成果。由這些研究成果明確地反映出，應(yīng)用Hamilton原理的論述很多，而應(yīng)用 Lagrange方程的論述較少。這是因?yàn)樵诮?jīng)典分析動(dòng)力學(xué)中，Lagrange方程式是以離散的質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系為對(duì)象建立的，如何應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，仍然是國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷探索的重要課題［3-7］。

通過(guò)多年的研究，積累了不少成功的和失敗的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在一定的意義上說(shuō)，Lagrange方程和Hamilton原理都涉及變分學(xué)，Lagrange本人又是變分學(xué)的奠基人之一，從變分學(xué)的基本理論研究做起，或許是一條可行的途徑。本文作者提出變分的逆運(yùn)算變積概念，建立了變積方法，得到錢偉長(zhǎng)院士的親自推薦［8］。應(yīng)用變積方法，與胡海昌院士一起，建立了一般力學(xué)三類變量的廣義變分原理［9］。劉高聯(lián)院士也充分肯定了變積方法［10］。這些研究使得微積分學(xué)中的積分、微分和導(dǎo)數(shù)在變分學(xué)中都有了對(duì)應(yīng)的概念——變積、變分和變導(dǎo)，從而初步地將變分學(xué)擴(kuò)充為變積分學(xué)。本文應(yīng)用變導(dǎo)的概念和運(yùn)算法則，通過(guò)研究Lagrange方程中的求導(dǎo)的性質(zhì)，逐步地將Lagrange方程應(yīng)用于彈性動(dòng)力學(xué)，進(jìn)而應(yīng)用于剛彈耦合動(dòng)力學(xué)。應(yīng)用Lagrange方程，建立了剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程。

1 Lagrange方程中的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)

為了說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，首先，明確變導(dǎo)的概念。

設(shè)有定積分形式的泛函:

自變函數(shù)為y(x)，自變量為x。對(duì)式(1)進(jìn)行變分運(yùn)算可得

由于δy任意性，式(2)可以變換為

在微分學(xué)中，函數(shù)的微分表示為dy，自變量的微分表示為dx，微商表示為又稱導(dǎo)數(shù)。在變分學(xué)中，泛函的變分表示為δV，可變函數(shù)的變分表示為δy，變商表示為又稱變導(dǎo)。

接下來(lái)，分析Lagrange方程中的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。經(jīng)典分析動(dòng)力學(xué)中的Lagrange方程表示為

其中，q=q(t)為廣義坐標(biāo)，一般分析動(dòng)力學(xué)中均把其處理為廣義坐標(biāo)列陣［q1(t)q2(t)q3(t)…qi(t)…qn(t)］T，i=1，2，3，…，i，…，n。在變分學(xué)中，基本上存在三級(jí)變量—自變量、可變函數(shù)和泛函。簡(jiǎn)單函數(shù)和泛函的區(qū)別在于:簡(jiǎn)單函數(shù)是自變量的函數(shù)，而泛函是可變函數(shù)的函數(shù)，獨(dú)立自主地變化的可變函數(shù)稱為自變函數(shù)。明確了變分學(xué)中的三級(jí)變量，對(duì)區(qū)分微積分中的導(dǎo)數(shù)和變積分學(xué)中的變導(dǎo)很有幫助。對(duì)自變量求導(dǎo)為微積分中的導(dǎo)數(shù)，而對(duì)可變函數(shù)的求導(dǎo)則為變積分中的變導(dǎo)。

這里指出，Lagrange J.L.已經(jīng)注意到微分符號(hào)用“d”和變分符號(hào)用“δ”，而且應(yīng)用了符號(hào)中的對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)在文獻(xiàn)［1］中，Lagrange方程表示為

進(jìn)一步，將變量ξ變換為q則有式(4)。

變積分學(xué)中的變導(dǎo)和微積分學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，有時(shí)相同、有時(shí)不同，這類問(wèn)題，在后面研究具體問(wèn)題時(shí)可以明顯的表達(dá)出來(lái)。

2 Lagrange方程應(yīng)用于彈性動(dòng)力學(xué)

彈性動(dòng)力學(xué)的動(dòng)能可以表示為

彈性動(dòng)力學(xué)的勢(shì)能可以表示為

位移邊界條件為

其中，u為位移，為邊界位移，a為剛度系數(shù)，t為時(shí)間，ρ為物質(zhì)密度，?為Hamilton算子，f為單位體積力，T為單位面積力，V為體積，Sσ為應(yīng)力邊界面，Su為位移邊界面。

Lagrange方程表示為

可見(jiàn)，這里對(duì)動(dòng)能求變導(dǎo)的運(yùn)算法則與微積分中求導(dǎo)數(shù)的法則相同。勢(shì)能的變導(dǎo)項(xiàng)的推導(dǎo)較為復(fù)雜，與微積分中求導(dǎo)數(shù)的法則不盡相同:

由于

應(yīng)用Green定理

將式(16)和式(9)代入式(15)，然后將式(15)代入式(14)，則得

將相關(guān)各式代入Lagrange方程，可得

寫成微分形式，可得彈性動(dòng)力學(xué)控制方程的一種表達(dá)形式

此外,學(xué)生作為案例教學(xué)的最大受益方,其教學(xué)效果與所選擇的案例類型間存在著密切聯(lián)系,而實(shí)際教學(xué)過(guò)程中學(xué)生能力鍛煉程度及綜合素質(zhì)提升程度,無(wú)法脫離詳細(xì)的分析、調(diào)查、測(cè)試及評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)的支持。按評(píng)價(jià)方法類型,案例教學(xué)效果評(píng)價(jià)方法可分為考試測(cè)試、調(diào)查問(wèn)卷、一對(duì)一訪談及教學(xué)過(guò)程客觀評(píng)價(jià)。

位移邊界條件為式(9)。

3 Lagrange方程應(yīng)用于剛彈耦合動(dòng)力學(xué)

以飛行器為例，同樣是一個(gè)飛行器，當(dāng)研究它的軌道動(dòng)力學(xué)時(shí)可以簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)模型，當(dāng)研究它的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)時(shí)可以簡(jiǎn)化為剛體模型，當(dāng)研究它的機(jī)械振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)時(shí)可以簡(jiǎn)化為彈性體模型，當(dāng)對(duì)它的軌道、姿態(tài)、機(jī)械振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)以及它們之間的耦合效應(yīng)進(jìn)行全面研究時(shí)，則簡(jiǎn)化為剛彈耦合模型。

3.1 剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)能

因?yàn)檫@類問(wèn)題的變量多、公式復(fù)雜，以下采用實(shí)體張量符號(hào)書寫。對(duì)于所研究的物體，如圖1所示。

圖1 e坐標(biāo)系和b坐標(biāo)系Fig.1 e coordinate system and b coordinate system

假設(shè)圖中的e坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，b坐標(biāo)系為連體坐標(biāo)系(一般為非慣性坐標(biāo)系)。物體上任意一點(diǎn)的總矢徑為R=Xc+x+u，其中，Xc為質(zhì)心矢徑，x是把物體視為剛體時(shí)由質(zhì)心到剛體中任意一點(diǎn)的矢徑，u為把物體視為彈性體時(shí)該點(diǎn)的彈性位移，設(shè)Xc+x=X。

將物體視為剛體時(shí)的轉(zhuǎn)角為θ，可以認(rèn)為是偽坐標(biāo)?？梢?jiàn)，對(duì)于剛彈耦合體，除了剛體速度外，還有變形體速度(其中，×表示矢量的叉乘符號(hào))，這里應(yīng)當(dāng)注意到變形體速度與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的交聯(lián)。應(yīng)用Coriolis轉(zhuǎn)動(dòng)定理，注意到的力學(xué)模型中，矢量x的模為剛體質(zhì)心到任意點(diǎn)的距離，而剛體中任意兩點(diǎn)間的距離都是常量，因此，故有，總之

由于

因此，剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)能可以表示為

或者

因?yàn)椋?1］

所以，剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)能又可以寫為

式中:Hc為對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩，J為對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;m為質(zhì)量。

3.2 剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的勢(shì)能

參照彈性力學(xué)中的做法，剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的勢(shì)能一部分為

位移邊界條件為

剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的勢(shì)能另一部分為由于作用于剛體的外力主矢和外力主矩引起的勢(shì)能

兩部分勢(shì)能的和為

3.3 應(yīng)用Lagrange方程建立剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程

Lagrange方程為

推導(dǎo)計(jì)算Lagrange方程中的有關(guān)動(dòng)能的各項(xiàng):

推導(dǎo)計(jì)算Lagrange方程中的有關(guān)勢(shì)能的各項(xiàng):

應(yīng)用Green定理

將式(41)代入式(40)，考慮到邊界條件(28)，可得

將以上的推導(dǎo)結(jié)果代入Lagrange方程中，可得

這就是剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用變導(dǎo)的概念和運(yùn)算法則，研究了 Lagrange方程中的求導(dǎo)的性質(zhì)，并成功地將Lagrange方程應(yīng)用于彈性動(dòng)力學(xué)。根據(jù)功能原理和能量守恒定律，應(yīng)用Lagrange方程，建立了剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程。應(yīng)用Lagrange方程解決了多個(gè)彈性動(dòng)力學(xué)和剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的理論與應(yīng)用問(wèn)題。

［1］LAGRANGE J L.Analytical mechanics［M］.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers Group，1997:169-183.

［2］HAMILTON W R.On a general method in dynamics［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society，1834(Part I):247-308，1835(Part II):95-144.

［3］汪家訸.分析動(dòng)力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1958:426-487.

［4］沈惠川.彈性力學(xué)的Lagrange形式:用Routh方法建立彈性有限變形問(wèn)題的基本方程［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1998，18(1):78-88.SHEN Huichuan.Lagrange formalism of elasticity:building the basic equationson finite-deformation problemsby Routh's method［J］.Acta Mathematica Scientia，1998，18(1):78-88.

［5］繆炳祺，曲廣吉，夏邃勤，等.柔性航天器動(dòng)力學(xué)建模的偽坐標(biāo)形式Lagrange方程［J］.中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2003(2):1-5，57.MIAO Bingqi，QU Guangji，XIA Suiqin，et al.Lagrange's equations in quasicoordinates for dynamics modeling of flexible spacecraft［J］.Chinese Space Science and Technology，2003(2):1-5，57.

［6］SOUCHET R .Continuum mechanics and Lagrange equations with generalised coordinates［J］.International Journal of Engineering Science，2014，76:27-33.

［7］HERBERT G.，CHARLES P，JOHN S.Classical Mechanics［M］.3rd ed.Beijing:Higher Education Press，2005:449-600.

［8］LIANG Lifu，SHI Zhifei.On the inverse problem in calculus of variations［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1994，15(9):815-830.

［9］LIANG Lifu，HU Haichang.Generalized variational principle of three kinds of variables in general mechanics［J］.Science in China(A)，2001，44(6):770-776.

［10］梁立孚.變分原理及其應(yīng)用［M］.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社，2005:序言1-2.

［11］LIANG Lifu，SONG Haiyan.Non-linear and non-conservative quasi-variational principle of flexible body dynamics and application in spacecraft dynamics［J］.Science China Physics，Mechanics and Astronomy，2013，56(11):2192-2199.