尹德俊

摘 要 分析數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的地位、設(shè)計(jì)方法，介紹數(shù)學(xué)建模融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的可能性，并介紹一個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)引入數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)案例。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)改革

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2015）13-0092-03

當(dāng)前，隨著全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展和普及，國家認(rèn)識到數(shù)學(xué)建?；顒拥闹匾?，開始向中學(xué)普及數(shù)學(xué)建?；顒印ＴS多高中學(xué)校已經(jīng)開始想方設(shè)法將數(shù)學(xué)建?；顒右敫咧袛?shù)學(xué)課程教學(xué)中去，使得數(shù)學(xué)建?；顒尤谌敫咧袛?shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)迫在眉睫。高中數(shù)學(xué)建模活動也在有條不紊地發(fā)展，在新版的高中數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)隨處可見數(shù)學(xué)建?；顒拥挠白?，但對于高中數(shù)學(xué)建模融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中來的研究卻不多，也缺少很多實(shí)際依據(jù)。在國家需要的人才以應(yīng)用型人才為主的前提下，很多學(xué)校在嘗試教學(xué)改革，特別是數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，將數(shù)學(xué)建?；顒右胝n堂教學(xué)，但高中的數(shù)學(xué)建?；顒雍徒虒W(xué)任重道遠(yuǎn)，在實(shí)施數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程中受到諸多因素的影響。

首先，現(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)大綱中還沒有涉及數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，更別說是數(shù)學(xué)建模的課時(shí)安排。當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)建模課程沒有教材，數(shù)學(xué)建模教材大都是針對于大學(xué)生的，教材中使用的數(shù)學(xué)知識相對于高中學(xué)生來說是非常深奧的，這讓數(shù)學(xué)教師在授課和具體實(shí)施數(shù)學(xué)建模活動時(shí)毫無目的，無法下手。

第二，對于高中數(shù)學(xué)建模的專項(xiàng)研究剛剛起步，高中數(shù)學(xué)教師對于數(shù)學(xué)建?；顒記]有概念，對數(shù)學(xué)建模的意識和方法都不甚了解。

第三，對于高中數(shù)學(xué)建模課程的評價(jià)體系沒有建立，在以應(yīng)試教育的高考決定成敗的時(shí)代，讓高中學(xué)生花費(fèi)時(shí)間去進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒邮遣滑F(xiàn)實(shí)的，學(xué)生也不會同意。

筆者在嘗試將數(shù)學(xué)建模融入高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中有了一定的認(rèn)識和了解，對此進(jìn)行總結(jié)。

1 數(shù)學(xué)建?；顒釉诟咧袛?shù)學(xué)課程教學(xué)中的地位

高中數(shù)學(xué)建模活動是高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的一種新思路、新方法，其背景是社會生活中的實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)知識與其結(jié)合在一起，讓高中學(xué)生去思考、解決，豐富了高中學(xué)生的知識，增強(qiáng)了學(xué)生的想象能力，讓高中學(xué)生將理論與實(shí)際結(jié)合在一起，提高了高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓高中學(xué)生運(yùn)動所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，創(chuàng)造性地以自己的思維方式解決問題，認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值所在。高中數(shù)學(xué)建模活動能夠提高高中學(xué)生主動用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決社會生活問題的意識，所以國家出臺的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》強(qiáng)調(diào)：高中的數(shù)學(xué)課程需提供數(shù)學(xué)基本內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景以及應(yīng)用價(jià)值，適當(dāng)開展高中數(shù)學(xué)建模的活動[1]。

2 數(shù)學(xué)建模活動在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的過程設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)建?；顒邮巧鐣F(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)情境教學(xué) 高中數(shù)學(xué)建模活動就是以社會實(shí)際問題為背景，圍繞該問題進(jìn)行數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題的結(jié)合，從而開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)，其主要目的是為高中學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)社會實(shí)際情境。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)情境是練習(xí)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容與社會生活問題的紐帶，是高中學(xué)生主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的橋梁，是深化高中學(xué)生思維的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)使得高中學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，從而主動去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，使得高中學(xué)生更容易解決社會實(shí)際問題。

在學(xué)習(xí)代數(shù)中的函數(shù)知識時(shí)，可以將貸款問題引入數(shù)學(xué)課堂，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模情境教學(xué)；在學(xué)習(xí)立體幾何問題時(shí)，可以將測算降雨量問題引入數(shù)學(xué)課堂，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模情境教學(xué)；在學(xué)習(xí)橢圓方程時(shí)，可以將物理問題——行星運(yùn)動軌跡引入數(shù)學(xué)課堂，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模情境教學(xué)。將數(shù)學(xué)建模活動代入課堂，對高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和解決社會實(shí)際問題的能力都提出更高的要求。在此，數(shù)學(xué)教師在上課前可以提前布置任務(wù)，比如為飲料罐設(shè)計(jì)一個(gè)最省材料的圓柱罐形，讓學(xué)生課下思考和討論，等上課時(shí)教師與學(xué)生再共同建立一定條件下的數(shù)學(xué)模型：體積固定不變，計(jì)算表面積最小時(shí)，圓柱罐高和底面直徑的具體數(shù)值。

數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)建模問題都是取自現(xiàn)實(shí)，且符合高中學(xué)生水平的問題 在高中階段，數(shù)學(xué)建?；顒拥慕虒W(xué)目的是讓高中學(xué)生樹立數(shù)學(xué)建模的意識，能夠進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的存在。因此，為了培養(yǎng)高中學(xué)生解決社會現(xiàn)實(shí)問題的意識，提高高中學(xué)生解決社會現(xiàn)實(shí)問題的能力，在高中數(shù)學(xué)課程中設(shè)置數(shù)學(xué)建?；顒?，數(shù)學(xué)建模的素材非常重要，盡量不要做加工，拿到實(shí)際問題直接讓學(xué)生去處理解決，讓高中學(xué)生真實(shí)感覺到數(shù)學(xué)建模的重要性和趣味性。但同時(shí)也要考慮到高中學(xué)生的能力水平和數(shù)學(xué)知識水平，選擇合適的、與生活關(guān)系密切的題材帶入數(shù)學(xué)教學(xué)中，但不要簡單地用數(shù)學(xué)應(yīng)用題代替。

把高中生非常關(guān)心的社會問題設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)建模問題，代入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中 長久以來，很多人認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了算數(shù)沒有別的用處，認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)純粹就是提高計(jì)算能力，根本與實(shí)際問題結(jié)合不起來。而當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考也確實(shí)如此，基本上就是搞難題，搞偏題，讓數(shù)學(xué)成為演題、運(yùn)算的過程，無法與其他學(xué)科聯(lián)系，導(dǎo)致高中學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中沒有用處。但是，事實(shí)上數(shù)學(xué)是非常有用的，與現(xiàn)實(shí)生活中幾乎每一個(gè)問題都緊密相連，比如：家庭收入、銀行存款等都可以設(shè)想為一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)問題；蓋房成本、人口控制等都可以設(shè)計(jì)為一個(gè)求最值問題；學(xué)校食堂吃飯問題可以設(shè)計(jì)為排列組合問題；等等。這些實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題后，使得當(dāng)學(xué)生在生活中遇到的時(shí)候就會想起數(shù)學(xué)，就會覺得數(shù)學(xué)是非常有用的，是最接近于生活的，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的欲望，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

3 將數(shù)學(xué)建?；顒哟敫咧袛?shù)學(xué)教學(xué)課堂的案例——幾類函數(shù)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)[2]

課堂教學(xué)目標(biāo) 學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)四類函數(shù)的基本內(nèi)容，使學(xué)生了解它們的應(yīng)用，建立超市銷售的函數(shù)模型。

課堂教學(xué)重點(diǎn) 一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、計(jì)算及應(yīng)用。

課堂教學(xué)難點(diǎn) 構(gòu)造函數(shù)模型，并一一進(jìn)行比較，確定最優(yōu)的函數(shù)模型。endprint

課堂教學(xué)用具 電腦、黑板、粉筆、畫圖軟件。

課堂教學(xué)過程

1）所用數(shù)學(xué)知識點(diǎn)講解。教師對該節(jié)課用到的知識點(diǎn)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)進(jìn)行講解。

2）設(shè)置情境，引入數(shù)學(xué)建模實(shí)際問題。給出現(xiàn)實(shí)問題：某家超市對某種品牌的方便面銷售情況進(jìn)行調(diào)查，1—4月的銷售量分別為1萬袋、1.2萬袋、1.3萬袋、1.37萬袋，其銷售狀況良好，現(xiàn)在估計(jì)一下以后幾個(gè)月的銷售量，以便廠家供貨。

3）對實(shí)際問題進(jìn)行分析。在此，高中學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的基本內(nèi)容，對其性質(zhì)和圖像都有了了解。但是該銷售量預(yù)測的問題，僅用這些數(shù)學(xué)知識是無法解決的，這些數(shù)學(xué)知識解決該問題的基礎(chǔ)。該問題可以通過分析假設(shè)將其抽象化，看成一個(gè)數(shù)學(xué)的問題，對其作出正確的評估，讓學(xué)生更好地掌握這些函數(shù)的內(nèi)容。

4）對問題進(jìn)行假設(shè)分析，建立幾類函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并對其進(jìn)行比較。觀察前四個(gè)月的銷售量，對其銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以期望找到估計(jì)后來月份銷售量的方法。在此，在平面中建立直角坐標(biāo)系，將這些數(shù)據(jù)描繪到直角坐標(biāo)系中去，畫出散點(diǎn)圖，對散點(diǎn)進(jìn)行連接，根據(jù)連接的圖形觀察是否符合所學(xué)四種函數(shù)的圖形。

一次函數(shù)：f（x）=kx+b（b≠0）

二次函數(shù)：g（x）=ax2+bx+c（a≠0）

冪函數(shù)：

指數(shù)函數(shù)：n（x）=abx+c

將實(shí)際的預(yù)測后幾個(gè)月的銷售量問題與四種函數(shù)結(jié)合，確定它們之間的聯(lián)系?，F(xiàn)把四個(gè)月的銷售量的對應(yīng)數(shù)據(jù)寫成坐標(biāo)的形式：

A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）

將四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)利用Excel作出散點(diǎn)圖（圖1），利用已知四個(gè)函數(shù)，計(jì)算出剩余點(diǎn)的誤差，利用最小的誤差函數(shù)估計(jì)后面幾個(gè)月的銷售量情況。

①將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式f（x）=kx+b（b≠0）中，可得：

f（x）=0.1x+1

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入得f（1）=1.1，該點(diǎn)的誤差為0.1；將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得f（4）=1.4，其誤差為0.03。

②將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式g（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，可得：

g（x）=-0.05x2+0.35x+0.7

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得g（4）=1.3，其誤差為0.07。

③將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)表達(dá)式中，可得：

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得m（3）=1.3，其誤差為0.05；將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得m（4）=1.48，其誤差為0.11。

④將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入指數(shù)函數(shù)表達(dá)式n（x）=abx+c中，可得：

n（x）=-0.85×（0.5）x+1.4

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得n（4）=1.35，其誤差為0.02。

對上面的四個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行比較，根據(jù)誤差最小的原則，選擇最好的函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)模型。

5）將該函數(shù)模型進(jìn)行應(yīng)用推廣。

某商店在2009—2013年四年的交易額總量分別為25.9萬元、30.6萬元、38萬元、48.9萬元?，F(xiàn)在要求：①建立一個(gè)合適的函數(shù)模型，估計(jì)該商店以后的交易額總量，并用2014年（66.8萬元）、2015年（85萬元）兩年的交易額總量檢驗(yàn)誤差大小，確定最好的函數(shù)模型；②求出該商店交易額總量的平均增長率；③按照①②分別預(yù)測2016年該商店的交易額總量，并討論哪種估計(jì)結(jié)果最準(zhǔn)確？

4 結(jié)論

把數(shù)學(xué)建模活動引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中來，有利于學(xué)生掌握高中數(shù)學(xué)知識，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識引用到解決社會現(xiàn)實(shí)問題中去。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭珺影.數(shù)學(xué)建模在高中教學(xué)的應(yīng)用[J].才智，2009（35）.

[2]李濤.中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)之研究[D].山東：魯東大學(xué)2013.endprint