徐　立，鄭培亮，李　倩，黃振宇

叉指狀微小力裝置力學(xué)特性的數(shù)值模擬與分析

徐立1，2，鄭培亮1，2，李倩2，黃振宇1，2

（1.廣東省現(xiàn)代幾何與力學(xué)計(jì)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州510405；2.廣東省計(jì)量科學(xué)研究院，廣東廣州510405）

針對(duì)電容式微小力裝置極板間距測(cè)量誤差對(duì)輸出結(jié)果影響較大問題，采用理論分析與數(shù)值模擬相結(jié)合，分析一種能大幅減小極板間距測(cè)量不確定度對(duì)輸出微小力影響的新型叉指狀微小力裝置。重點(diǎn)探討不同叉指重疊長(zhǎng)度、加載電壓、間距和厚度等條件下，裝置輸出微小力特性。結(jié)果表明：叉指參數(shù)滿足一定關(guān)系，叉指重疊長(zhǎng)度變化對(duì)輸出微小力幾乎無(wú)影響；輸出微小力與加載電壓平方以及叉指厚度成正比；隨著叉指間隙增大，輸出微小力迅速減小。該裝置對(duì)簡(jiǎn)化電容式微小力源裝置極板間距測(cè)量與位置控制附加機(jī)構(gòu)、微小力源裝置設(shè)計(jì)均具有參考價(jià)值。

叉指電容；力學(xué)特性；數(shù)值模擬；微小力

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2015.09.026

0引言

力是最基本的物理量之一，經(jīng)過(guò)數(shù)十年的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外已建立起比較完善的計(jì)量溯源體系。目前建立的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)包括大力值（1～20MN）和中小力值（10N～1MN）；對(duì)小力和微力的計(jì)量目前尚未建立相應(yīng)量值溯源體系，應(yīng)用中一般以標(biāo)準(zhǔn)砝碼重力來(lái)衡量［1-3］。對(duì)微小力測(cè)量與量值溯源技術(shù)，各國(guó)計(jì)量科研機(jī)構(gòu)均在進(jìn)行研究。美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院（NIST）基于電力學(xué)原理，利用靜電力方式獲得微小標(biāo)準(zhǔn)力，其標(biāo)稱范圍可達(dá)10nN～10mN，通過(guò)與1mg、10mg標(biāo)準(zhǔn)砝碼自重相比較，相對(duì)誤差為10-4量級(jí)［4］。德國(guó)國(guó)家物理技術(shù)研究院（PTB）同樣采用靜電力原理，研制小于10μN(yùn)電容式微小力測(cè)試系統(tǒng)，其分辨率可達(dá)10-12N［5］。英國(guó)國(guó)家物理實(shí)驗(yàn)室（NPL）也采用靜電力平衡原理，通過(guò)平面鏡差分干涉儀測(cè)量電介體受外力時(shí)在電容兩極間移動(dòng)距離，來(lái)測(cè)量1nN～1μN(yùn)微小力［6］。中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院采用圓柱狀電容結(jié)合柔性鉸鏈方式，對(duì)微小力量值溯源進(jìn)行研究［7］。然而，世界各國(guó)對(duì)微小力計(jì)量溯源體系建立相對(duì)滯后，微小力測(cè)量并無(wú)統(tǒng)一、可靠的量值溯源方法［8-9］。

目前，各國(guó)科研機(jī)構(gòu)在微小力量值溯源研究中均采用基于靜電力的電容式裝置。由于電容裝置極板間距對(duì)輸出結(jié)果影響較大，為保證輸出微小力準(zhǔn)確性，需對(duì)極板位置進(jìn)行精確控制且對(duì)極板間距進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量，因此這類裝置均配備高準(zhǔn)確度極板位置控制系統(tǒng)與間距測(cè)量系統(tǒng)，裝置結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且成本較高［10-11］。

針對(duì)這一問題，本文采用理論分析與數(shù)值模擬相結(jié)合，提出一種能大幅減小極板間距離控制及測(cè)量不確定度對(duì)輸出微小力影響的新型叉指狀微小力裝置，其叉指重疊長(zhǎng)度對(duì)輸出微小力值影響小，無(wú)需配備高準(zhǔn)確度位置控制系統(tǒng)與間距測(cè)量系統(tǒng)便能得到準(zhǔn)確微小力輸出。為微小力量值溯源中簡(jiǎn)化微小力源測(cè)量和位置控制附加裝置設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1　新型叉指狀微小力發(fā)生裝置結(jié)構(gòu)

1.1叉指電容器結(jié)構(gòu)

如圖1所示，新型叉指狀電容結(jié)構(gòu)由相互交叉的兩叉指狀電容構(gòu)成（A與B叉指）。每個(gè)叉指電容包含有若干金屬叉指（圖中為5根），每根叉指都被固定于絕緣樹脂材料底座上，并呈平行排列，各金屬叉指之間通過(guò)底座中導(dǎo)線聯(lián)通。

當(dāng)叉指狀電容A和B上施加電壓U時(shí)，各根金屬叉指將產(chǎn)生一個(gè)靜電場(chǎng)，從而相互產(chǎn)生靜電力作用，對(duì)外表現(xiàn)為兩叉指狀電容器（A和B）間的相互吸引靜電力。該結(jié)構(gòu)加工簡(jiǎn)單，且在兩叉指之間能產(chǎn)生微小靜電力。

圖1　新型叉指裝置結(jié)構(gòu)示意圖

1.2靜電力分析簡(jiǎn)化模型

根據(jù)叉指電容結(jié)構(gòu)，A、B叉指狀電容器分別由5根尺寸相同矩形金屬叉指組成。A、B間施加電壓時(shí)，每根叉指均產(chǎn)生相應(yīng)靜電場(chǎng)，且叉指電容器間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，還將產(chǎn)生磁場(chǎng)力作用。為降低問題分析難度，將圖1結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，由于A、B叉指電容器有周期對(duì)稱性，可選其中一個(gè)單元（圖2中虛線框內(nèi)）進(jìn)行分析，根據(jù)該單元金屬叉指間靜電力特性便能獲得整個(gè)裝置靜電力分布情況。叉指電容器各部分參數(shù)如圖2所示。

圖2　裝置簡(jiǎn)化模型及尺寸參數(shù)

2　新型叉指裝置的靜電力理論分析

根據(jù)Johnson W A等［12］分析，兩組叉指間參數(shù)滿足關(guān)系c=d=g時(shí)，兩組叉指間微小靜電力為

叉指為圖2所示位置時(shí)，x0/g＞Δ+，式（1）簡(jiǎn)化為

式（2）表明：叉指間整體靜電力僅與加載電壓U、介電常數(shù)ε0及叉指間位置參數(shù)g、x0有關(guān)。叉指間位置參數(shù)g、x0與叉指安裝準(zhǔn)確度相關(guān)，只要保證安裝準(zhǔn)確度，便能輸出微小力準(zhǔn)確度。此外，若g、x0滿足1.0245-g/（πx0）趨近于1，則輸出微小力僅與加載電壓U和介電常數(shù)ε0相關(guān)。

3　叉指狀電容裝置靜電力數(shù)值模擬分析

本文借助有限元分析中高階有限元方法研究新型叉指電容裝置力學(xué)特性，主要針對(duì)裝置間整體微小靜電力進(jìn)行分析。采用高階有限元方法逼近真實(shí)解的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需用戶嚴(yán)格控制網(wǎng)格大小，即可獲得要求準(zhǔn)確度，且該方法自適應(yīng)細(xì)分網(wǎng)格提供的誤差估計(jì)比其他靜電場(chǎng)分析方法更為準(zhǔn)確，最重要一點(diǎn)是該方法能計(jì)算局部和總體場(chǎng)情況，并得到所需準(zhǔn)確度結(jié)果，是計(jì)算本文所研究叉指間輸出整體靜電力最佳途徑。

3.1有限元模型的建立與網(wǎng)格劃分

為便于與理論計(jì)算值進(jìn)行分析，同時(shí)節(jié)省計(jì)算時(shí)間并提高模型計(jì)算準(zhǔn)確度，數(shù)值模擬時(shí)，選擇圖2的簡(jiǎn)化模型進(jìn)行分析。

圖3（a）為裝置簡(jiǎn)化模型有限元建模及網(wǎng)格劃分圖，外圍圓形區(qū)域?yàn)閲@在叉指電容器周圍遠(yuǎn)場(chǎng)空氣域。圖3（b）為圍繞在叉指電容附近及叉指間空氣域，由于應(yīng)用中關(guān)注叉指電容間靜電力，因此將叉指周圍空氣域進(jìn)行分層網(wǎng)格化和局部細(xì)化。同時(shí)，為模擬叉指頂端實(shí)際情況，建模時(shí)對(duì)頂端進(jìn)行圓弧倒角與局部網(wǎng)格加密細(xì)化處理（如圖3（c）所示）。

3.2叉指狀微小力裝置力學(xué)特性分析

重疊長(zhǎng)度2x0、加載電壓U、叉指間隙2 g、叉指厚度2 d等參數(shù)對(duì)叉指狀微小力裝置力學(xué)特性影響分析如下：

1）重疊長(zhǎng)度2x0對(duì)裝置力學(xué)特性影響

叉指狀電容裝置重疊長(zhǎng)度2x0類似于平行板電容器極板間距離，其變化對(duì)裝置輸出微小力的影響直接關(guān)系到該裝置在微小力量值溯源中的應(yīng)用。圖4為裝置輸出微小力隨叉指重疊長(zhǎng)度變化情況。重疊長(zhǎng)度較大時(shí)（2x0>4mm），輸出微小靜電力隨重疊長(zhǎng)度變化較小。叉指重疊長(zhǎng)度由4mm變到16mm時(shí)，根據(jù)式（2）計(jì)算出微小靜電力變化為5.0%，而數(shù)值模擬結(jié)果輸出靜電力變化僅為0.8%。若重疊長(zhǎng)度由8mm變化到12mm時(shí)，理論計(jì)算出微小力變化1.3%，數(shù)值模擬結(jié)果顯示微小力變僅為0.8%。由此可見，采用叉指狀電容裝置，叉指重疊長(zhǎng)度在一定范圍內(nèi)，即使重疊長(zhǎng)度出現(xiàn)一定變化，裝置輸出微小力仍能保持不變。

圖3　模型的建立與網(wǎng)格的劃分

因此，叉指重疊長(zhǎng)度在一定范圍內(nèi)，裝置輸出微小力不隨重疊長(zhǎng)度的變化而變化。由于重疊長(zhǎng)度對(duì)輸出微小力影響很小，測(cè)量重疊長(zhǎng)度時(shí)，采用一般儀器得到誤差較大的數(shù)據(jù)也能準(zhǔn)確計(jì)算輸出微小力；在位置控制時(shí)，采用一般調(diào)節(jié)裝置即使重疊長(zhǎng)度出現(xiàn)微小變化，其輸出微小力仍保持不變。若該裝置應(yīng)用于微小力源中，則無(wú)需借助復(fù)雜精密儀器獲得高準(zhǔn)確度叉指重疊距離，也能準(zhǔn)確計(jì)算出輸出微小力；同時(shí)，無(wú)需采用超高準(zhǔn)確度位置調(diào)節(jié)裝置對(duì)叉指間重疊長(zhǎng)度進(jìn)行準(zhǔn)確調(diào)節(jié)，便可得到準(zhǔn)確微小力輸出值。該結(jié)構(gòu)這一特性極大地降低了極板間距離測(cè)量和位置控制不確定度對(duì)輸出微小力的影響。

從圖中還可以看出，叉指重疊長(zhǎng)度較?。?x0＜4mm），裝置輸出微小力將急速下降。因此，在設(shè)計(jì)和使用過(guò)程中，叉指重疊長(zhǎng)度不能太小，一般情況下滿足x0/g＞1.5時(shí)，則可認(rèn)為重疊長(zhǎng)度對(duì)輸出微小力的影響較小。

圖4　重疊長(zhǎng)度2x0對(duì)輸出微小力影響

圖5　加載電壓U對(duì)輸出微小力影響

2）加載電壓U對(duì)裝置力學(xué)特性影響

根據(jù)理論分析，叉指狀微小力裝置其他結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變，裝置輸出微小靜電力與加載電壓的平方成正比。圖5為改變加載電壓，經(jīng)理論計(jì)算與數(shù)值模擬的裝置輸出微小力特性。由圖可知，輸出微小靜電力理論計(jì)算值為一條二次曲線，隨加載電壓增加，輸出微小靜電力不斷增大。數(shù)值模擬結(jié)果與理論計(jì)算值分布趨勢(shì)完全相同，數(shù)值也吻合較好，數(shù)值模擬結(jié)果略小于理論分析值。在所分析加載電壓區(qū)間內(nèi)（50～1000V）兩者最大誤差＜0.9%。通過(guò)圖5也驗(yàn)證了理論式（2）的可靠性。

圖6　叉指間隙2g對(duì)輸出微小力影響

圖7　輸出微小力與叉指厚度間關(guān)系

3）叉指間隙2g對(duì)裝置力學(xué)特性影響

圖6為叉指間隙變化時(shí)裝置的微小力輸出值。為便于與式（2）計(jì)算結(jié)果比較，先分析滿足式（2）參數(shù)要求（c=d=g）時(shí)，裝置輸出微小力隨叉指間隙變化情況。因要求c=d=g，故數(shù)值模擬時(shí)，在改變叉指間隙2 g同時(shí)改變叉指尺寸。

根據(jù)式（2），叉指間距增大，1.0245-g/（πx0）逐漸減小，但減小幅度非常微小，此時(shí)輸出微小力幾乎不變。圖6中也可看出這一特性：理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果均呈水平直線分布，叉指間隙由0.6mm增加到1.4mm，理論計(jì)算結(jié)果得到輸出微小力降低幅度僅為2.5%；而根據(jù)數(shù)值模擬，其輸出微小靜電力變化幅度僅為1.8%。由此表明，滿足式（2）參數(shù)要求（c=d=g）時(shí)，叉指間隙對(duì)裝置輸出微小力影響很小。從圖中還可看出，數(shù)值模擬結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果非常接近，其最大誤差在±1.1%以內(nèi)，再次證明了理論公式（2）的有效性。

僅改變叉指間隙，其他參數(shù)不變，此時(shí)叉指參數(shù)已不滿足式（2）要求，無(wú)法通過(guò)式（2）計(jì)算理論值，只能借助數(shù)值模擬方法計(jì)算裝置輸出微小力（圖6方點(diǎn)所示）。由圖可見，叉指間隙增大，裝置輸出微小力不斷降低；在0.4～1.0mm區(qū)間內(nèi)，輸出微小力迅速降低，當(dāng)叉指間隙＞1.0mm，輸出微小力降低幅度逐漸減緩。結(jié)果表明，叉指間隙越小，間隙變化對(duì)輸出微小力影響越明顯，要獲得較大力值，須減小叉指間隙。當(dāng)叉指間隙增大到一定程度時(shí)，間隙變化對(duì)輸出微小力影響明顯減小。因此在設(shè)計(jì)中，叉指間隙不宜太小，否則間隙的微小變化將導(dǎo)致裝置輸出微小力大幅改變，且當(dāng)加載電壓較高時(shí)，間隙太小易造成尖端放電現(xiàn)象，導(dǎo)致叉指擊穿損壞。

4）叉指厚度2 d對(duì)裝置力學(xué)特性影響

叉指厚度2 d對(duì)于裝置力學(xué)特性影響如圖7所示。隨著叉指厚度增加，輸出微小靜電力不斷上升，數(shù)值模擬結(jié)果顯示叉指厚度與輸出微小力間的擬合曲線為一條直線，表明靜電力與叉指厚度成正比，在裝置設(shè)計(jì)時(shí)，可根據(jù)所需輸出靜電力大小，通過(guò)增加叉指厚度成比例增加裝置微小靜電力輸出。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用數(shù)值模擬與理論分析相結(jié)合的方法，對(duì)一種叉指狀微小力裝置力學(xué)特性進(jìn)行分析。結(jié)果表明：

1）叉指參數(shù)滿足一定關(guān)系時(shí)，重疊長(zhǎng)度2x0對(duì)輸出微小力影響非常小，作為微小力源時(shí)，能大幅減小極板間距離控制及測(cè)量不確定度對(duì)輸出微小力的影響。

2）輸出微小力與加載電壓U的平方以及叉指厚度2 d均成正比。

3）隨著叉指間隙增大，輸出微小力迅速減小。叉指間隙越小，間隙變化對(duì)輸出微小力影響越明顯；當(dāng)叉指間隙增大到一定程度時(shí)，間隙變化對(duì)輸出微小力影響明顯減小。

4）本文對(duì)簡(jiǎn)化電容式微小力源裝置極板間距測(cè)量與位置控制附加機(jī)構(gòu)以及微小力源裝置的設(shè)計(jì)均具有較大實(shí)際意義。

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Numerical simulation analysis on mechanical characteristics of finger structure m icro-force devices

XU Li1，2，ZHENG Peiliang1，2，LI Qian2，HUANG Zhenyu1，2
（1.Guangdong Provincial Key Laboratory of Modern Geometric and Mechanical Metrology Technology，Guangzhou 510405，China；2.Guangdong Provincial Institute of Metrology，Guangzhou 510405，China）

The problem existing in micro-force device is that the measurement errors in capacity plate distance have great impacts on the output of micro-force.A new finger structure micro-force device，which can significantly reduce the measurement uncertainty in micro-force output，has been designed through theoretical analysis and numerical simulation.The mechanical characteristics of the finger structure under different conditions，such as overlapping length，loading voltage，spacing，and thickness have been studied in this paper.The results show that the overlapping length almost has no influence on the output of micro-force，and the parameters of the finger structure meet a certain relationship.The micro-force output is proportional to the square of loading voltage and the thickness of the finger structure.The micro-force output decreases rapidly when the finger structure increases in spacing.It has a practical in simplifying plate distance measurement and position control mechanism，and in designing micro-force source devices.

finger structure capacitor；mechanical characteristics；numerical simulation；micro-force

A

1674-5124（2015）09-0115-05

2015-03-20；

2015-05-10

國(guó)家質(zhì)檢總局科技計(jì)劃項(xiàng)目（2013QK259）；廣東省公益研究與能力建設(shè)專項(xiàng)資金項(xiàng)目（2014A040401044）

徐立（1983-），男，湖南長(zhǎng)沙市人，工程師，博士，主要從事力學(xué)計(jì)量與測(cè)試研究工作。