楊 強(qiáng),陶元紅,南 華,張 軍

(延邊大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系,吉林 延吉 133002)

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C2?C3中Bell基型不可拓展的最大糾纏基和互不偏基

楊 強(qiáng),陶元紅,南 華,張 軍

(延邊大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系,吉林 延吉 133002)

先在C2?C3中得到一組Bell基型完備的不可拓展的最大糾纏基,再通過構(gòu)造C3的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基給出另一組Bell基型完備的不可拓展的最大糾纏基,同時(shí)保證這兩組基是互不偏的,并給出兩類Bell基型互不偏的不可拓展的最大糾纏基.

Bell基型；最大糾纏態(tài)；互不偏基；不可拓展的最大糾纏基

0 引 言

自從多體量子系統(tǒng)中引入一組不可拓展的直積基(UPB)概念以來(lái),人們已獲得了大量有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的理論成果[1-2].UPB是一個(gè)由不完備正交直積基構(gòu)成的集合,在其互補(bǔ)空間中沒有直積態(tài),包含UPB的態(tài)不能被局部測(cè)量和經(jīng)典計(jì)算區(qū)分,且在與一組UPB互補(bǔ)子空間上的混合態(tài)是一個(gè)束縛糾纏態(tài)[3].將UPB推廣到不可拓展的最大糾纏基(UMEB),即UMEB是一個(gè)Cd?Cd上由標(biāo)準(zhǔn)正交最大糾纏態(tài)構(gòu)成的集合,該集合含有向量小于d2個(gè),且不存在其他的與其均正交的最大糾纏向量.當(dāng)d=2時(shí),不存在UMEB.當(dāng)d=3,4時(shí),存在含6個(gè)向量和12個(gè)向量的UMEB[4].

其中k,k′=1,2,…,m,則稱{B1,B2,…,Bm}為互不偏基(MUBs)[5].MUBs主要用于解決量子態(tài)層析和加密協(xié)議等問題[6-10],其個(gè)數(shù)N(d)最多不超過d+1.當(dāng)d為一個(gè)素?cái)?shù)冪時(shí),N(d)=d+1;當(dāng)d為一個(gè)非素?cái)?shù)冪的合數(shù)時(shí),N(d)未知[6].關(guān)于N(6)及在C6上如何構(gòu)造MUBs的研究目前已引起人們廣泛關(guān)注[11-14].本文先證明兩體空間C2?C3上Bell基型的UMEB,通過構(gòu)造C3的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基給出兩組Bell基型完備的UMEBs,同時(shí)保證這兩組基是MUBs,并給出兩類互不偏的不可拓展的最大糾纏基集合.

1 C2?C3中Bell基型的UMEBs

定義1[3]一組態(tài){|φi〉∈Cd?Cd′,i=1,2,…,n,n

1)|φi〉(i=1,2,…,n)均為最大糾纏態(tài)；

2)〈φi|φj〉=δij；

3)若〈φi|ψ〉=0(i=1,2,…,n),則|ψ〉不能為最大糾纏態(tài).

當(dāng)d=2,d′=3時(shí),Bell基型的4個(gè)態(tài)為

(1)

其中{|0〉,|1〉},{|0′〉,|1′〉,|2′〉}分別為C2和C3中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.顯然式(1)符合定義2,即|φi〉(i=0,1,2,3)均為最大糾纏態(tài),且滿足〈φi|φj〉=δij(i,j=0,1,2,3).

下面證明式(1)中Bell基型的4個(gè)態(tài)滿足定義1中的條件3).即若存在一個(gè)態(tài)|ψ〉,使得〈φi|ψ〉=0(i=0,1,2,3),則|ψ〉一定不是最大糾纏態(tài).

若假設(shè)|ψ〉為糾纏態(tài),則|ψ〉可分解為

其中:λ0>0,λ1>0,λ0+λ1=1;

U和V均為酉矩陣.

由〈φ0|ψ〉=0可得

整理得

(2)

同理由〈φi|ψ〉=0(i=1,2,3),可得：

分別整理得：

(3)

(4)

(5)

方程(2)～(5)用矩陣可表示為

綜上所述,式(1)為C2?C3中一組不完備的四元UMEB.

2 用C2?C3的UMEBs構(gòu)造MUBs

在式(1)中加入兩個(gè)直積態(tài)|φ4〉=|02′〉和|φ5〉=|12′〉,即可得C2?C3一組完備的UMEB：

(6)

構(gòu)造C3的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基：

重復(fù)使用上述方法可得C2?C3的另一組Bell基型完備的UMEB：

(7)

由于

(8)

所以兩個(gè)完備Bell基型的UMEBs為MUBs.

3 C2?C3中兩類互不偏的UMEBs

將式(6)和式(7)中的兩個(gè)直積態(tài)分別換為文獻(xiàn)[3]中的|φ4〉,|φ5〉和|ψ4〉,|ψ5〉,可得兩組完備Bell基型的UMEBs和MUBs,即

(9)

(10)

由Bell基型的4個(gè)態(tài)(1)為C2?C3中一組不完備的四元UMEB可知式(9)和式(10)均為完備Bell基型的UMEBs.通過計(jì)算可知式(9)和式(10)也為MUBs.如

對(duì)式(9)和式(10)中的直積態(tài)表達(dá)式進(jìn)一步推廣可得：

(11)

其中α,β均為實(shí)數(shù),且滿足α2+β2=1.

(12)

式(11)和式(12)均為完備Bell基型的UMEBs,通過計(jì)算可知式(11)和式(12)也為MUBs.由于

(13)

所以兩類完備Bell基型的UMEBs為MUBs.

4 討 論

[1] Bennett C H,DiVincenzo D P,Mor T,et al.Unextendible Product Bases and Bound Entanglement [J].Phys Rev Lett,1999,82(26):5385-5388.

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[15] Li Z G,Zhao M J,Fei S M,et al.Mixed Maximally Entangled States [J].Quantum Information and Computation,2012,12(1/2):63-73.

(責(zé)任編輯：王 健)

Bell-Base-TypeUnextendibleMaximallyEntangledBasesandMutuallyUnbiasedBasesinC2?C3

YANG Qiang,TAO Yuanhong,NAN Hua,ZHANG Jun

(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,JilinProvince,China)

A complete Bell-base-type unextendible maximally entangled basis inC2?C3was proved.Based on a constructed orthonormal basis inC3,another complete Bell-base-type unextendible maximally entangled basis was constructed,which is mutually unbiased with the first one.Finally,two classes of Bell-base-type unextendible maximally entangled bases which are mutually unbiased were presented.

Bell-base-type;maximally entangled state;mutually unbiased basis；unextendible maximally entangled basis

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.37

2014-05-26.

楊 強(qiáng)(1991—),男,漢族,碩士研究生,從事量子力學(xué)及應(yīng)用泛函分析的研究,E-mail：584431092@qq.com.通信作者：張 軍(1957—),男,漢族,教授,從事量子力學(xué)及應(yīng)用泛函分析的研究,E-mail：zhangjun@ybu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11361065)和吉林省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：201215239).

O413.1

：A

：1671-5489(2015)03-0547-06