孫曉祥,杜宇靜

(吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院 文理學(xué)院,吉林 吉林 132101)

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研究簡(jiǎn)報(bào)

分塊相鄰隨機(jī)矩陣最大特征值的極限性質(zhì)

孫曉祥,杜宇靜

(吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院 文理學(xué)院,吉林 吉林 132101)

利用隨機(jī)矩陣的矩方法和譜分析理論研究分塊相鄰隨機(jī)矩陣最大特征值的極限,在一定矩條件假設(shè)下,得到了該矩陣最大特征值上極限的界.

分塊矩陣；相鄰矩陣；隨機(jī)矩陣；最大特征值

0 引言與主要結(jié)果

分塊矩陣在物理、圖論和無(wú)線電通訊等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,目前已有許多研究成果[1-13].通常固定的分塊結(jié)構(gòu)是預(yù)先給定的,而子塊一般假設(shè)是Wigner矩陣、Toeplitz矩陣和Hankel矩陣.文獻(xiàn)[1-2]研究了當(dāng)子塊為Wigner矩陣時(shí)分塊矩陣的性質(zhì);文獻(xiàn)[3-6]研究了當(dāng)分塊結(jié)構(gòu)為Toepliz矩陣時(shí)分塊矩陣的相關(guān)性質(zhì).當(dāng)矩陣元素為高斯分布時(shí),Far等[12]利用運(yùn)算值的自由概率定理建立了這種分塊矩陣極限譜分布的性質(zhì).本文利用矩方法在矩陣元素滿足一定的矩條件假設(shè)下,考慮子塊為矩形矩陣情況下分塊相鄰隨機(jī)矩陣最大特征值的極限性質(zhì).

定義n×n矩陣如下:

定理1在假設(shè)(H1)～(H3)下,有

(1)

1 定理1的證明

用矩方法證明定理1.首先,將矩陣元素截?cái)?有如下命題.

命題1如果不等式(1)在下列條件下成立,則其在定理1的假設(shè)下也成立:

對(duì)任意的1≤r

λ1(A+B)≤λ1(A)+λ1(B).

因此,

注意到

根據(jù)Markov不等式,對(duì)任意的ε>0,有

(2)

因此可以假設(shè)Mn的對(duì)角線元素全為零.選擇θn=ηn/2,令

由Markov不等式,有

(3)

從而有

(4)

綜上有

(5)

易驗(yàn)證:

此外,

因此

選擇一列偶數(shù)k=2[(logn)2],這里[(logn)2]表示(logn)2的整數(shù)部分.

(6)

由命題1的假設(shè)條件2)和3),可斷定G(r,t)的每項(xiàng)不超過(guò)σ2rbt(ηnn1/2)k-2r-t.于是

(7)

經(jīng)過(guò)計(jì)算可知

(8)

對(duì)式(8)最右端應(yīng)用如下不等式(取a=t+1):

可知式(7)最右端有上界:

由于ηn→0,故有

從而

(9)

又因?yàn)閗/logn→∞,式(9)是絕對(duì)可和的,所以利用Borel-Cantelli引理可知定理1的結(jié)論成立.

[1] Oraby T.The Spectral Laws of Hermitian Block-Matrices with Large Random Blocks [J].Electron Commun Probab,2007,12:465-476.

[2] Banerjee S,Bose A.Noncrossing Partitions,Catalan Words and the Semicircular Law [J].J Theoret Probab,2013,26(2):386-409.

[3] Gazzah H,Regalia P A,Delmas J P.Asymptotic Eigenvalue Distribution of Block Toeplitz Matrices and Application to Blind SIMO Channel Identification [J].IEEE Trans Inform Theory,2001,47(3):1243-1251.

[4] LI Yiting,LIU Dangzheng,WANG Zhengdong.Limit Distributions of Eigenvalues for Random Block Toeplitz and Hankel Matrices [J].J Theoret Probab,2011,24(4):1063-1086.

[5] Basu R,Bose A,Ganguly S,et al.Limiting Spectral Distribution of Block Matrices with Toeplitz Block Structure [J].Stat Probabil Lett,2012,82(7):1430-1438.

[6] Far R R,Oraby T,Bryc W,et al.On Slow-Fading MIMO Systems with Nonseparable Correlation [J].IEEE Trans Inform Theory,2008,54(2):544-553.

[7] Girko V L.Random Block Matrix Density and SS-Law [J].Random Oper Stoch Equ,2000,8(2):189-194.

[8] Müller R R.On the Asymptotic Eigenvalue Distribution of Concatenated Vector-Valued Fading Channels [J].IEEE Trans Inf Theory,2002,48(7):2086-2091.

[9] Bolla M.Distribution of the Eigenvalues of Random Block-Matrices [J].Lin Alg Appl,2004,377:219-240.

[10] Cottatellucci L,Müller R R.CDMA Systems with Correlated Spatial Diversity:A Generalized Resource Pooling Result [J].IEEE Trans Inf Theory,2007,53(3):1116-1136.

[11] Dette H,Reuther B.Random Block Matrices and Matrix Orthogonal Polynomials [J].J Theoret Probab,2010,23(2):378-400.

[12] Far R R,Oraby T,Bryc W,et al.Spectra of Large Block Matrices [J/OL].2006-10-09.http://xxx.lanl.gov/abs/CSIT/0610045.

[13] BAI Zhidong,Silverstein J W.Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices [M].New York:Springer-Verlag,2010:100-101.

(責(zé)任編輯：趙立芹)

LimitPropertiesoftheBlockRandomAdjacencyMatrix

SUN Xiaoxiang,DU Yujing

(SchoolofArtandScience,JilinAgriculturalScienceandTechnologyCollege,Jilin132101,JilinProvince,China)

We studied the limit of the largest eigenvalue of the block adjacency matrix using the moment method and spectral theory in random matrix theory.Under some moments assumptions,we obtained a bound of the super limit of the largest eigenvalue.

block matrix;adjacency matrix;random matrix;largest eigenvalue

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.21

2014-10-13.

孫曉祥(1967—),男,滿族,碩士,副教授,從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究,E-mail:jlnkusxx@163.com.通信作者：杜宇靜(1969—),女,漢族,博士,教授,從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究,E-mail:duyj219@163.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11471068).

O211.4

：A

：1671-5489(2015)03-0461-04