林秋爽，周 歡，劉錦濤

(1. 信陽(yáng)師范學(xué)院 土木工程學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000；2. 廈門大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 福建 廈門 361000)

0 引言

結(jié)構(gòu)損傷診斷是當(dāng)前土木工程界十分活躍的研究領(lǐng)域,結(jié)構(gòu)的在線損傷診斷是其中一個(gè)重要方面，其對(duì)保障人民的人身和財(cái)產(chǎn)安全具有重大意義，研究土木工程結(jié)構(gòu)的在線損傷識(shí)別技術(shù)極為重要.

近年來(lái)，很多專家學(xué)者致力于研究時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別問題和實(shí)時(shí)損傷診斷技術(shù).Chu 和 Lo[1]提出基于自適應(yīng)參考模型的識(shí)別技術(shù).Yang 和Huang[2-4]提出各種自適應(yīng)損傷追蹤算法，用自適應(yīng)遺忘因子矩陣代替標(biāo)量的時(shí)變遺忘因子用來(lái)實(shí)時(shí)追蹤結(jié)構(gòu)參數(shù)由于老化或損傷導(dǎo)致的變化.然而應(yīng)用自適應(yīng)遺忘因子矩陣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算量很大.Lu[5]等和Huang等[6]提出了采用時(shí)間序列分析算法.杜永峰等[7]針對(duì)如何從結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息中提取結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)的問題,也提出了一種基于時(shí)間序列分析的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識(shí)別.董君等[8]提出一種基于自回歸支持向量機(jī)的結(jié)構(gòu)損傷診斷算法.尹強(qiáng)[9]等提出基于ASNLSE方法的橡膠隔震結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法.

上述各種結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)損傷追蹤方法還存在局限性，如公式推導(dǎo)復(fù)雜，計(jì)算量大，需對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)和外部激勵(lì)全觀測(cè)等.針對(duì)時(shí)變系統(tǒng)，本文基于擴(kuò)展卡爾曼預(yù)測(cè)估計(jì)和最小二乘估計(jì)算法提出未知荷載下結(jié)構(gòu)在線損傷識(shí)別算法，在輸入輸出信息不完備的情況下仍能準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)并追蹤其變化，同時(shí)識(shí)別未知外部荷載.

1 未知荷載下在線損傷診斷算法

在已知和未知外部荷載作用下，多自由度體系的動(dòng)力方程可寫為如下形式:

Bf(t)+Bufu(t),

(1)

1.1 第一階段

方程關(guān)于增廣狀態(tài)向量的方程可寫為：

a2=M-1(Bf(t)+Bufu(t)-

ki,ci為剛度和阻尼系數(shù);w(t)為模型誤差，假定均值為零，協(xié)方差矩陣為Q(t).

將上式寫成一般的非線性狀態(tài)向量微分方程：

補(bǔ)充結(jié)構(gòu)的觀測(cè)方程：

Gu=DM-1Bu,

h(Xk,fk,tk)=

根據(jù)擴(kuò)展的卡爾曼預(yù)測(cè)估計(jì)，有狀態(tài)預(yù)測(cè)方程：

狀態(tài)估計(jì)方程：

其中Kk為最優(yōu)增益矩陣[10].

其中R為觀測(cè)噪聲v的協(xié)方差矩陣.

1.2 第二階段

待識(shí)別的結(jié)構(gòu)參數(shù)在第一階段的識(shí)別過程中逐漸收斂并穩(wěn)定后,即進(jìn)入第二階段.在該算法中，在此階段判斷結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)突變發(fā)生的時(shí)間與可能損傷單元的位置，判斷是基于在局部損傷單元及其附近部位的加速度信號(hào)會(huì)在突然損傷后立即出現(xiàn)偏差.

對(duì)于一個(gè)多層剪切框架結(jié)構(gòu)，如果第i層剛度突變，會(huì)立即影響到第i-1層和第i層的觀測(cè)加速度信號(hào).即當(dāng)?shù)趇層突然發(fā)生損傷,則第i-1層和第i層的加速度響應(yīng)信號(hào)會(huì)立刻出現(xiàn)偏差，而其他層則會(huì)在一段時(shí)間之后受到較明顯的影響.換句話說(shuō)，離損傷層越遠(yuǎn)的樓層，其受到的影響越小,也越晚.

在(k+1)Δt時(shí)刻，定義第i個(gè)加速度傳感器觀測(cè)的加速度與預(yù)測(cè)加速度間的誤差為

其中yi,k+1表示(k+1)Δt時(shí)刻第i個(gè)傳感器觀測(cè)的加速度值.

定義(k+1)Δt時(shí)刻觀測(cè)加速度和預(yù)測(cè)加速度值間的誤差的平方和為：

其中d表示加速度傳感器的數(shù)量.

因?yàn)榧铀俣鹊念A(yù)測(cè)值是在假設(shè)結(jié)構(gòu)為時(shí)不變系統(tǒng)的前提下得到的，Δk+1的突然增大即意味著結(jié)構(gòu)剛度在(k+1)Δt時(shí)刻發(fā)生突變.

1.3 第三階段

優(yōu)化函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)為以下形式，

其中j=1,2,…,p，表示與第i個(gè)自由度相關(guān)的可能發(fā)生損傷的單元;p為可能發(fā)生損傷的單元的數(shù)量.

約束函數(shù)的表達(dá)式如下:

2 數(shù)值算例

本節(jié)以八層平面剪切框架為例驗(yàn)證本文所提出的結(jié)構(gòu)在線損傷診斷技術(shù)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性.該平面框架的各層質(zhì)量，剛度和阻尼分別為：m1=m2=…=m8=60 kg,k1=k2=…=k8=1.2×105N/m,c1=c2=…=c8=200 N/m.

該算例中，結(jié)構(gòu)的頂部受到均值為零的白噪聲激勵(lì)的作用(如圖1).其中1、3、5、7、8層放置加速度傳感器;第2、4、6層加速度不觀測(cè)，且加速度信號(hào)受到5%的噪聲污染.在t=2.5 s時(shí)第一層和第五層同時(shí)發(fā)生損傷，剛度由原始數(shù)值分別降低為k1=k3=0.6×105N/m，其他參數(shù)不變.

圖1 八層平面剪切框架Fig. 1 Eight stories shearing frame

結(jié)構(gòu)采用集中質(zhì)量，質(zhì)量矩陣M為對(duì)角矩陣.整體剛度矩陣如下，阻尼矩陣同理.

由于觀測(cè)得到的加速度信號(hào)會(huì)受到噪聲的污染，因此若在識(shí)別外部荷載作用的同時(shí)識(shí)別系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)，則會(huì)出現(xiàn)位移和未知荷載識(shí)別圖與實(shí)際值趨勢(shì)相同，但是圖形整體向上或向下飄移的現(xiàn)象，會(huì)影響到此刻剛度突變值的優(yōu)化.因此，這里采用最小二乘法消除趨勢(shì)，可用Matlab中的函數(shù)Polyfit使得飄移的識(shí)別值逼近真實(shí)值.采用此方法消除未知力飄移趨勢(shì)后的力識(shí)別值與荷載的實(shí)際值吻合得很好.在得到kΔt時(shí)刻較準(zhǔn)確的未知荷載的估計(jì)值后，可利用該時(shí)刻的速度估計(jì)值和結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值，代入此刻的動(dòng)力方程中求出每個(gè)自由度在kΔt時(shí)刻的位移響應(yīng)值.得到kΔt時(shí)刻較準(zhǔn)確的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)構(gòu)參數(shù)和未知外部激勵(lì)的估計(jì)值后，再進(jìn)行(k+1)Δt時(shí)刻剛度突變值的優(yōu)化.

圖2 預(yù)測(cè)加速度與觀測(cè)加速度的誤差平方和Fig. 2 Sum of squares of errors between estimated and observed accelerations

在算例中，首先通過卡爾曼預(yù)測(cè)估計(jì)得出結(jié)構(gòu)損傷前的剛度、阻尼、速度、位移和外部荷載的估計(jì)值；待到識(shí)別過程穩(wěn)定，2.5 s處結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷，即第一、五層的剛度發(fā)生突變，此刻預(yù)測(cè)加速度與觀測(cè)加速度的誤差平方和突然增大，如圖2所示，2.5 s處誤差平方和明顯變大，且其中一、五層的預(yù)測(cè)加速度與觀測(cè)加速度的誤差的平方值最大(如圖3)，即診斷出損傷發(fā)生的時(shí)間且位置在一、五層.

圖3 損傷時(shí)刻各層預(yù)測(cè)加速度與觀測(cè)加速度的誤差的平方Fig. 3 Square of error between estimated and observed accelerations of each floor in damage moment

接著，采用MATLAB中的優(yōu)化函數(shù)計(jì)算剛度突變值.給出結(jié)構(gòu)剛度突變的范圍Δk=0～1.2×105N/m，此函數(shù)通過代入給出范圍內(nèi)不同的突變值進(jìn)行大量反復(fù)迭代試算，最終達(dá)到將目標(biāo)函數(shù)值——預(yù)測(cè)加速度與觀測(cè)加速度的誤差平方和降到最小的目的，使目標(biāo)函數(shù)值取值最小的剛度突變值為最優(yōu)，即為所求.

從數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果圖看，圖4表明剛度的損傷識(shí)別可以很快并且較準(zhǔn)確地收斂到真實(shí)值，在2.5 s處，一、五層剛度的突變能夠被該算法準(zhǔn)確地追蹤到，且2.5 s之后剛度的損傷識(shí)別依然較準(zhǔn)確.圖5中未知荷載的識(shí)別結(jié)果為用最小二乘法消除趨勢(shì)后的結(jié)果，結(jié)果清楚地表明用該算法計(jì)算得到的未知荷載與荷載的真實(shí)值比較吻合.從圖2和圖3可以看出該算法可以很精確地判斷出突變發(fā)生的時(shí)間是在2.5 s處，突變位置在結(jié)構(gòu)的第一、五層.用本文提出的追蹤方法可以較準(zhǔn)確地在發(fā)生突變地時(shí)刻診斷出損傷程度.

圖4 第一、五層剛度參數(shù)識(shí)別和損傷診斷Fig. 4 Identification of stiffness and damage detection of the 1st and 5th story

圖5外部激勵(lì)的識(shí)別

Fig. 5Identificationofexternalloading

3 結(jié)論

本文提出一種未知荷載下的結(jié)構(gòu)損傷診斷在線追蹤技術(shù)來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)及追蹤其變化，尤其是由于結(jié)構(gòu)損傷而導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)突變.該算法的創(chuàng)新點(diǎn)在于其思想直觀易懂，公式推導(dǎo)簡(jiǎn)單明了，物理意義明確，且計(jì)算簡(jiǎn)便，算法可以很快收斂并穩(wěn)定，只需要部分觀測(cè)加速度響應(yīng)信號(hào).不僅如此，這種算法考慮了結(jié)構(gòu)外部荷載未知的情況.由于在實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)外部荷載通常是未知的，本算法可以在實(shí)時(shí)追蹤時(shí)變系統(tǒng)的損傷同時(shí)，在線識(shí)別未知的外部荷載.數(shù)值算例的結(jié)果表明，本文提出的算法尤其適用于解決未知荷載作用下線性結(jié)構(gòu)由損傷導(dǎo)致的參數(shù)突變.而且，這種損傷追蹤技術(shù)對(duì)噪聲影響不敏感，具有較好的抗噪能力.

然而本文提出的算法仍存在一些限制條件.算法在結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別收斂并穩(wěn)定之后才能進(jìn)行損傷診斷；如果觀測(cè)的加速度信號(hào)受到噪聲污染，則該算法無(wú)法識(shí)別剛度的微小損傷；且在一個(gè)損傷單元中，至少有一個(gè)加速度信號(hào)被觀測(cè)，否則無(wú)法追蹤單元損傷發(fā)生的時(shí)刻.通常情況下，第一個(gè)限制條件不會(huì)給損傷診斷造成困擾，因?yàn)閿U(kuò)展卡爾曼預(yù)測(cè)算法一般會(huì)很快收斂并穩(wěn)定.對(duì)于第二個(gè)限制條件，通常在結(jié)構(gòu)損傷診斷算法中都會(huì)存在這個(gè)問題.由于該算法是通過結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的變化來(lái)判斷損傷發(fā)生的時(shí)刻，所以這個(gè)方法目前對(duì)于結(jié)構(gòu)發(fā)生漸變的情況還不能應(yīng)用.由于第三個(gè)限制條件的影響，盡管該算法可以采用加速度信號(hào)部分觀測(cè)，但是對(duì)于剪切框架來(lái)說(shuō)，加速度傳感器必須隔層放置.另外本文只針對(duì)剪切框架進(jìn)行了研究，針對(duì)更復(fù)雜的建筑結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)發(fā)生漸變損傷的情況還有待以后繼續(xù)研究.