王 霞,郭淑利

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

眾所周知,在傳染病模型的定性描述中,傳染率在其動(dòng)力學(xué)行為中起著非常重要的作用[1-6],并且絕大多數(shù)經(jīng)典傳染病模型,通?？紤]的是雙線性傳染率βSI,其中β為每次接觸后的有效傳染的概率,S和I分別表示易感類和感染類的數(shù)量.在文獻(xiàn)[7]中,Capasso和Serio引入飽和傳染率βSI/(1+αI),α>0;在文獻(xiàn)[8]中,Xiao和Ruan首次提到非線性感染率βSI/(1+αI2),α>0,其中βI表示感染疾病的力度,1/(1+αI2)表示當(dāng)感染類數(shù)量很大時(shí),易感類隨之產(chǎn)生的抑制效應(yīng).

本文在上述研究的基礎(chǔ)上,通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函方法,研究了具有非單調(diào)感染率βSI/(1+kI+αI2)的時(shí)滯傳染病模型:

其中:S(t),I(t)及R(t)分別表示易感類、感染類及康復(fù)類在t時(shí)刻的數(shù)量;b為總?cè)丝诘某?shù)出生率;μ1,μ2及μ3表示易感類、感染類及康復(fù)類的死亡率.考慮到生物學(xué)意義,假設(shè)μ1≤min{μ2,μ3};β為有效接觸率;γ為感染個(gè)體的自然康復(fù)率.非單調(diào)感染率βSI/(1+kI+αI2)>0,I≥0,其中k>0,α>0;τ>0表示易感者接觸感染者后被感染需要的時(shí)間.

1 主要結(jié)果

解的性質(zhì)即可.為此,給出系統(tǒng)(2)的初值

S(0)∈[0,+),I(θ)=φ(θ),θ∈[-τ,0],

(3)

其中φ∈C([-τ,0],[0,+)),C為[-τ,0]到[0,+)連續(xù)函數(shù)的全體映射組成的空間.

為系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù),則容易證明:當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)存在唯一平衡點(diǎn)E0;當(dāng)R0>1時(shí),除E0外,系統(tǒng)存在地方病平衡點(diǎn)E*.

引理1 對(duì)于系統(tǒng)(2)的任意解(S(t),I(t)),總有

證明令N(t)=S(t)+I(t).注意到μ1≤min{μ2,μ3},因此由系統(tǒng)(2)可得

引理2 設(shè)(S(t),I(t))為系統(tǒng)(2)具有初值條件(3)的任意解,則對(duì)于所有的t≥0,總有S(t)≥0,I(t)≥0.

定理1 若R0>1,則地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的.

證明定義函數(shù)

由系統(tǒng)(2),可得

b=μ1S*+βS*f(I*),

(4)

(μ2+γ)I*=βS*f(I*).

(5)

為討論E*的全局漸近穩(wěn)定性,定義

以及Lyapunov泛函

注意到h:(0,+)→[0,+)上存在全局最小值點(diǎn)h(1)=0.因此,V(t)≥0.對(duì)于所有s∈[0,τ],等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)及

下面分別推導(dǎo)出VS(t),VI(t)以及V+(t)的全導(dǎo)數(shù).為此,有

運(yùn)用式(4)中表達(dá)式替換b,則

令

則有

運(yùn)用式(5)中表達(dá)式替換(μ2+γ)I*,則

h(y)-h(z)=y-z+lnz-lny.

(10)

聯(lián)立方程(8)-(10),則有

通過(guò)同時(shí)加減表達(dá)式ln(xF(z)),可得

F(z)-z+lnz-lnF(z)=

F(z)-z+lnz-lnF(z).

2 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)主要運(yùn)用MATLAB 7.1對(duì)文中所得結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.為此,選取參數(shù)b=0.9,μ1=0.15,β=0.1,α=4.6,k=2.9,γ=0.08,μ2=0.82,μ3=0.2,τ=0.25.此時(shí),容易計(jì)算系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)R0=0.67<1,其無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定(見(jiàn)圖1).

圖1 系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性Fig. 1 Stability of equilibira E0of system (2)

選取參數(shù)b=0.9,μ1=0.2,β=0.8,α=4.6,k=2.9,γ=0.08,μ2=0.82,μ3=0.2,τ=0.25,此時(shí),容易計(jì)算系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)R0=4>1,其正平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定(見(jiàn)圖2).

圖2 系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性Fig. 2 Stability of equilibira E*of system (2)

3 結(jié)語(yǔ)

基于時(shí)滯效應(yīng)與非單調(diào)傳染率在傳染病控制模型中的重要作用，主要研究具有時(shí)滯與非單調(diào)傳染率的傳染病模型，運(yùn)用Lyapunov泛函方法，得到了當(dāng)系統(tǒng)的基本再生數(shù)大于1時(shí),地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.最后，運(yùn)用Matlab給出數(shù)值結(jié)果.