趙國防

[摘 要]小學階段的分數(shù)認識分兩個階段來進行，其原因何在？分數(shù)的再認識究竟認識些什么？認識到何種地步為最佳？結(jié)合對分數(shù)教學的實踐與研究，對上述問題做出簡要的梳理與回答。

[關鍵詞]分數(shù) 學生 認識 思維 活動

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）20-015

在小學階段，分數(shù)的認識一共出現(xiàn)了兩次，即三年級上學期一次、五年級下學期一次。為何這樣編排？兩次認識的聯(lián)系與區(qū)別又有哪些？特別是相隔兩年之后的再次認識，究竟要再度認識些什么？再度認識到何種程度為最佳？……一系列問題值得思考。通過研究和教學實踐，我慢慢對上述問題有了答案，現(xiàn)把自己不成熟的認識呈現(xiàn)出來，討教于各位。

思索：緣何分兩次來認識分數(shù)

分數(shù)的認識，之所以分兩個階段來進行，筆者以為有兩個基本原因：一是學生認知的需要；二是學生思維訓練的需要。

1.認知的需要：學生深入學習需要充分認識分數(shù)

在三年級學生初步認識分數(shù)之后，不同版本的教材都在五年級再次安排認識分數(shù)的相關內(nèi)容。人教版小學五年級數(shù)學下冊第60～64頁“分數(shù)的意義”；新世紀版小學數(shù)學五年級上冊第34～36頁“分數(shù)的再認識”；蘇教版小學數(shù)學五年級下冊第36～37頁“認識分數(shù)”。在西南師大版、青島版、河北版的五年級下冊小學數(shù)學教材中也都安排了“分數(shù)的意義”這一學習內(nèi)容。為什么要這樣安排呢？從學生的認知需求來看，需要聚焦知識點間的網(wǎng)絡聯(lián)系。

從縱向來看，分數(shù)的再認識是在學生初步認識分數(shù)的基礎上進行教學的，同時它更是學生進一步學習分數(shù)基本性質(zhì)、約分、通分乃至分數(shù)的加減法等后續(xù)知識的基礎，具有承前啟后的關鍵作用。從橫向來看，分數(shù)的認識和小數(shù)的認識與計算、百分數(shù)的認識交織在一起。三年級上學期先初步認識了分數(shù)，然后在下學期才開始了小數(shù)的認識，這與小數(shù)是分數(shù)的一種特殊形式這一特性是分不開的。同時，在充分認識分數(shù)的基礎上，再來認識百分數(shù)，這也與分數(shù)與百分數(shù)的聯(lián)系（即百分數(shù)是分數(shù)的一種特殊形式）是分不開的。從這個意義上講，充分認識好分數(shù)，既是對小數(shù)認識與理解的一個補充與提升，更是百分數(shù)教學的基礎?？梢?，分數(shù)的再認識便是基于學生認知需要而設置的。

2.思維訓練的需要：分數(shù)的再認識中有高強度的思維訓練

三年級學生初步認識分數(shù)，這是他們學習生涯中第一次接觸分數(shù)，所以，此時的認識，僅僅是初步的感知，即在學生對分數(shù)的生活化感知的基礎上，進行最初步的數(shù)學化的整理和概括。內(nèi)容涉及“幾分之一”的認識，了解它的產(chǎn)生和應用，會讀會寫簡單的分數(shù)，知道分數(shù)各部分名稱，會進行簡單的分數(shù)大小比較。所以，本次認識基本建立在分數(shù)“是什么”的基礎之上，而至于“為什么”那要靠五年級的分數(shù)的再認識來解決。同時，分數(shù)所反映的是部分與整體或一部分與另一部分之間的關系，而且與整數(shù)不同的是要用一對數(shù)來表示一個數(shù)，一個數(shù)作分子，一個數(shù)作分母。因此分數(shù)的概念比整數(shù)的概念更抽象。分數(shù)的再認識，有助于發(fā)展學生的抽象思維能力。

分數(shù)，源于分，形成于數(shù)。也就是說，分數(shù)的產(chǎn)生源于分物。據(jù)資料記載，“隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅靠自然數(shù)是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人該得多少呢？于是分數(shù)就產(chǎn)生了。中國對分數(shù)的研究比歐洲早1400多年！”可見，分數(shù)源于分物，所分對象和具體分的情況，決定著分數(shù)的大小和它所表達的部分的實際大小。所以，研究分數(shù)，需要首先建立在對分的對象的討論。在三年級，分的對象僅僅是一個物體、一個計量單位，而到了五年級的再度認識分數(shù)，所分對象卻成了“一些物體”的“一個整體”。在這種情況下理解分數(shù)，便是學生認識與思維的“質(zhì)”的飛躍，其間包含了高強度的思維訓練。例如，6個桃子的1/2是3個桃子，而8個桃子的1 / 2卻是4個桃子。同樣是表達單位“1”的，為何所表示的實際數(shù)量會有所不同？通過分數(shù)的再認識，必將會讓學生感受到單位“1”的實際數(shù)量不同，它的1 / 2所表達的數(shù)量也會有所不同。這其間，不僅融入了對分數(shù)意義、單位“1”的深度理解，更讓學生經(jīng)歷著高強度的思維訓練。

探析：究竟要再度認識些什么

基于學生三年級對分數(shù)有了初步的認識，那么五年級的再認識，筆者認為主要認識以下幾點。

1.認識單位“1”

前面談到，分數(shù)起源于分物，那么分的對象（單位“1”）和分的方法（平均分），便成了認識分數(shù)的前提和基礎。學生只有能充分認識和把握所分對象（尤其是多個物體組成的一個整體），才能為下一步用分數(shù)表達提供可能。尤其是讓學生感受到單位“1”不僅可以表示一個物體，還可以表示一些物體，這一點至關重要。當然，這里并非需要大動干戈，花費很多的時間與精力來認識單位“1”，但是，這是一個前提，是一個基礎。

2.理解分數(shù)的意義

分數(shù)意義的理解，不同的教師可能會采用不同的教學方式，但無論哪種方式，最終都將指向分數(shù)的本質(zhì)含義。我認為，分數(shù)的意義是寬泛的，而并非僅僅是“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫分數(shù)?！庇绕涫堑搅烁吣昙墸趪@分數(shù)進行的計算和解決問題的過程中，分數(shù)的寬泛內(nèi)涵便會充分顯現(xiàn)出來。例如，有這樣一個題目：1噸煤，用去1 / 2，還剩多少？有的學生回答“1 / 2噸”，而有的學生卻回答“1 / 2”。他們各有自己的理由，前者說：“1噸煤，用了一半，就剩下半噸，也就是1 / 2噸?！焙笳哒f：“1噸煤看作單位‘1，用去1 / 2，一定還剩1 / 2?！痹诖藭翰惶接憜栴}“還剩多少？”的完整性和科學性，先從學生的回答來看他們的理解，他們已經(jīng)完全接納了分數(shù)的深層含義，即表示“量”和“率”。我認為，“量”和“率”是分數(shù)意義的根本所在。張丹教授在《小學數(shù)學教學策略》一書中指出：結(jié)合國內(nèi)外已有的研究成果和自己的研究實踐，我們認為對分數(shù)意義的理解應關注以下兩個基本維度和四個具體方面：

在“比的維度”和“數(shù)的維度”兩個基本維度之下，可以從四個方面來完成對分數(shù)豐富性的認識，即比率、度量、運作和商。“比率”指的是部分與整體的關系或部分與部分的關系。“度量”指的是可以將分數(shù)理解為分數(shù)單位的累積。“運作”指的是將對分數(shù)的認識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程?！吧獭敝饕阜謹?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的過程，它使學生對分數(shù)的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數(shù)也是一個數(shù)，也和其他數(shù)一樣進行運算。

由此看來，對分數(shù)意義的理解理應沖破“表達部分與整體關系的數(shù)”的局限，從更多的角度來認識分數(shù)，理解分數(shù)。

3.認識分子、分母所表示的意義

對分子、分母所表示意義的理解，看似簡單，但其中卻滲透了分數(shù)產(chǎn)生的過程，即把單位“1”平均分的份數(shù)作分母，取了其中的份數(shù)作分子。學生在“分”的過程中，表達他們的理解，而并非需要去死記硬背。在“分”中“說”，在“說”中“悟”。

4.認識分數(shù)單位

分數(shù)單位的認識，也是“分數(shù)的再認識”所應關注的重要內(nèi)容。華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量?！倍攘靠梢院芎玫貙⒎謹?shù)理解為分數(shù)單位的累積。從“度量”的角度來看，分數(shù)是若干個分數(shù)單位的“累積”。從這個角度來認識分數(shù)，可以更加貼近分數(shù)的實質(zhì)，更加便于學生理解分數(shù)的“來龍去脈”。因此，引導學生在豐富多彩的數(shù)學活動中，從“度量”的角度來感受和認識分數(shù)，這是二次認識分數(shù)的重要內(nèi)容，更是引領學生多角度認識事物的一種訓練，一種提升。

5.感受分數(shù)之魅力

分數(shù)的教學，盡管屬于概念教學，但我們應完全超越概念教學的范疇，從哲學的角度，審視學生學習的全過程，滲透辯證思想。尤其是在認識單位“1”的過程中，可創(chuàng)設多種生動、活潑的情景，讓學生充分感知單位“1”的神奇與偉大，它可以表示1個蘋果，可以表示5車西瓜，還可以表示整個地球……同時，在認識分數(shù)之時，可以讓學生體會相同分數(shù)在不同情境中的不同表達。

追問：對分數(shù)再度認識到何種程度為最佳

對分數(shù)的再度認識，究竟認識到什么地步才算達到目標呢？筆者認為，只要具備以下“三會”便足以證明學生真正學好了。

1.會舉例

面對分數(shù)的意義——“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫做分數(shù)?！边@句話，有的學生可能理解了就是說不上來，也有的學生雖背熟了但不理解。面對這種情況，我認為，拋開這句話的闡述，而放手讓學生舉例。“會舉例子，就說明他真正理解了……”郜舒竹先生曾這樣講過。“舉例”和“理解”真的有如此之緊密的因果關系嗎？在不便于直接闡述概念之時，在學生無法用語言表述自己的理解之時，不妨讓他們舉例子說明。應盡量給學生空間，讓他們多舉例子，通過舉例闡釋自己的思考，表達自己的理解。

2.會應用

評價學生對分數(shù)意義的理解情況，一個很重要的方式便是看其是否會靈活應用。例如，在“分數(shù)的意義”一課中，我設計了這樣一個練習。

寫一寫：看到右圖，你能寫出幾個分數(shù)？試一試，并分別說一說每個分數(shù)所表示的意義。

學生都寫出了很多分數(shù)，并能對自己的分數(shù)一一作出說明。在這樣的過程中，學生就是“會應用”了，他們經(jīng)歷了一個個“思考（觀察、分析）——呈現(xiàn)（應用）——表達（反思）”的過程。學生寫出的分數(shù)豐富多彩，他們的表達更是出乎人的意料。有個學生說道：“我寫了五分之一。這些彩筆一共有五種顏色，每一種顏色占這五種顏色的五分之一?！蹦憧?，這樣的孩子，他已經(jīng)超越了數(shù)量的范疇，跨越了時空，在他眼前，就是五種顏色的存在，其中每種色，就是它們的五分之一。這樣的孩子，他們對分數(shù)的理解一定很深刻，很獨到。

3.會思考

學生能結(jié)合分數(shù)學習的過程，形成和完善自己的思考系統(tǒng)，能用辯證的眼光看待周圍的事物，思考生活與學習中的問題。

例如在“分數(shù)的意義”一課的最后，我設計了“玩一玩”這樣一個小游戲：把全班學生分成了人數(shù)不等的小組，然后我發(fā)出如下指令：“想辦法，表示你們是一個‘整體?！睂W生很快就找到合適的方式來表現(xiàn)，如牽成一個圓圈或站成一排等。再發(fā)指令：“蹲下總?cè)藬?shù)的二分之一。” “蹲下剩下的人數(shù)的二分之一。”這時，有些小組的學生已無法表達，有的學生居然采取“半蹲”的方式，表達著他們對“1 / 2”的理解。學生都積極參與，都在用自己的方式表達著自己的理解，就拿“半蹲”來說，雖不夠規(guī)范，不夠準確，但卻流露出了學生獨到的思考方式和他們對分數(shù)意義的深刻理解。我接著提問：“同樣是蹲下二分之一，為何每個小組蹲下的人數(shù)不同呢？”“就每個小組來說，每次同樣是蹲下二分之一，但為何每次蹲下的人數(shù)卻又不同呢？”學生議論紛紛，很快談出了他們的想法。兩個問題，引發(fā)學生進一步悟得：同一個分數(shù)，在不同數(shù)量的單位“1”中所表達的實際數(shù)量會有所不同。隨著單位“1”數(shù)量的變化，同一個分數(shù)所表示的具體數(shù)量也在發(fā)生變化。在活動中，學生會思考了，能就教師發(fā)出的指令迅速作出判斷與處理，再對過程進行反思與總結(jié)。

厘清：教學中應注意的幾個問題

為了提高“二次認識分數(shù)”的教學效果，教學中，教師應注意以下三點。

1.內(nèi)容把握要適度

傳統(tǒng)的概念教學，教師為了避免內(nèi)容少而枯燥，不好講的狀況，而把更多的精力花在了豐富學習資源之上，以至于出現(xiàn)“課堂容量大，學生難消化”、“內(nèi)容挖掘深，學生難尋根”的現(xiàn)象。所以，就分數(shù)的再度認識來說，應把握好內(nèi)容設計的度。從國際上來看，分數(shù)內(nèi)容的編排有這樣的趨勢：簡化分數(shù)的教學內(nèi)容；提早出現(xiàn)分數(shù)，并分散在各年級進行教學。這與分數(shù)的難教難學和使用范圍的逐步縮小有密切的關系。所以，教學設計時，要抓住核心內(nèi)容，進行深刻理解與把握，切忌因盲目補充而增加學生的學習難度。

2.學習方式要靈活

由于分數(shù)的再認識屬于概念教學的范疇，又因概念教學很難開展一些開放性、挑戰(zhàn)性、實踐性的數(shù)學活動，所以常常出現(xiàn)“教師講得多，學生練得少”、“課堂環(huán)節(jié)多，思維空間小”的概念教學“通病”。鑒于此，教師應盡量采取形式多樣的練習活動，以激發(fā)學生的興趣，鞏固他們的理解，加深他們的認識。通常采用的活動有講故事、做游戲、搞比賽等，要根據(jù)實際需要巧妙選用，靈活處理。

3.表達方式要多樣

概念教學，很容易導致教師把過多的時間與精力放在學生對概念的理解與表達之上，因此，學生在表達的過程中常常局限于對概念的記憶與描述。這樣的方式，一方面僅僅讓一部分語言智能占優(yōu)勢的學生得以展示，其他學生則沒有機會，另一方面學生的理解與表達方式受到了局限。因此，教學中不妨采取多種形式，創(chuàng)造各種條件，讓學生能用適合的方式呈現(xiàn)出自己的理解，“寫一寫”、“畫一畫”、“做一做”、“講一講”、“擺一擺”等都是很好的表達方式。

總之，教學中教師需要對教學內(nèi)容進行“追根溯源”，抓根固本，豐富內(nèi)涵。同時，更要在教學理念和教學方式上進行“適度超越”，超越教材，超越傳統(tǒng)，超越自我。

（責編 金 鈴）