孫麗波，許立忠，劉慶玲

(1.燕山大學(xué)環(huán)境與化學(xué)工程學(xué)院河北省應(yīng)用化學(xué)重點實驗室，河北秦皇島066004；2.燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，河北秦皇島066004；3.廊坊師范學(xué)院數(shù)信學(xué)院，河北廊坊065000)

靜電激勵微板動力學(xué)特性研究

孫麗波1，許立忠2，劉慶玲3

(1.燕山大學(xué)環(huán)境與化學(xué)工程學(xué)院河北省應(yīng)用化學(xué)重點實驗室，河北秦皇島066004；2.燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，河北秦皇島066004；3.廊坊師范學(xué)院數(shù)信學(xué)院，河北廊坊065000)

基于多物理場動態(tài)耦合分析方法建立了考慮微流體壓膜阻尼效應(yīng)的靜電激勵微板機電耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，采用KBM法對微板多物理場耦合動力學(xué)響應(yīng)問題進行了求解。通過靜電激勵微板動力學(xué)實驗，采集到了簡諧激勵下系統(tǒng)響應(yīng)共振頻率、波形圖及幅值譜圖，圖像顯示出微板機電耦合系統(tǒng)具有明顯的非線性動力學(xué)特征。與實驗結(jié)果對比表明：這種基于多物理場動態(tài)耦合分析方法所求得的動力學(xué)響應(yīng)解具有足夠的精度。該方法有助于研究靜電激勵微板的動力學(xué)特性并可應(yīng)用于MEMS動力學(xué)設(shè)計。

機械振動；靜電激勵；機電耦合；微板；MEMS

引 言

微機電系統(tǒng)(Micro-electromechanical system，簡稱為MEMS)具有體積小、易集成、成本低、功耗小、速度快以及精度高等特點，適合于航空、航天、兵器、材料成形、汽車、生物工程和醫(yī)療等技術(shù)領(lǐng)域，成為國內(nèi)外高科技尖端技術(shù)領(lǐng)域的研究熱點［1-3］。微板作為一種典型的結(jié)構(gòu)元件，在MEMS設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用，如微型閥、微型泵、微傳感器等［4］。這些微型器件工作中存在著電場力與結(jié)構(gòu)變形的機電耦合問題，二者之間并非簡單、規(guī)則的線性關(guān)系，是一個典型的非線性問題，由于系統(tǒng)響應(yīng)速度快，頻率常在兆赫茲以上，所處環(huán)境中的空氣阻尼作用亦不可忽略。上述問題是導(dǎo)致目前微機械產(chǎn)品易出現(xiàn)穩(wěn)定性差、可靠性低、次品率高的原醫(yī)之一，也是目前MEMS基礎(chǔ)研究中的關(guān)鍵問題之一［5］。

近年來，國內(nèi)外科研人員采用ansys，comsol等商業(yè)軟件分析了靜電力作用下微構(gòu)件的變形運動并取得了大量的分析數(shù)據(jù)。但是，這些分析都是靜態(tài)的，分析結(jié)果只是在一定外載荷作用下的變形的穩(wěn)定狀態(tài)。該方法計算量大，耗費機時，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)不斷變化，有限元模型必然要隨之變化，這就導(dǎo)致了設(shè)計效率低下［6-8］。目前MEMS設(shè)計中，對所設(shè)計器件的性能分析希望能充分了解其動態(tài)行為，即器件隨時間演化的運動規(guī)律。只有這種動態(tài)行為才能最終實現(xiàn)設(shè)計者要求的目標。本文基于多物理場動態(tài)耦合分析方法構(gòu)建了考慮微流體壓膜阻尼的靜電激勵微板機電耦合系統(tǒng)物理模型，采用時變的非線性偏微分方程描述了微板的動態(tài)行為，運用非線性振動的近似解析方法求解其動力學(xué)響應(yīng)，該方法不僅可以為MEMS結(jié)構(gòu)設(shè)計提供有效的預(yù)測計算，還為微機電系統(tǒng)動力學(xué)設(shè)計提供了一種分析手段。通過靜電激勵微板動力學(xué)實驗，進一步驗證了微板的頻率特性及響應(yīng)波形、幅值譜與文中非線性動力學(xué)理論吻合，測得的低階共振頻率與系統(tǒng)耦合頻率的理論推導(dǎo)一致。

1 物理模型

如圖1所示結(jié)構(gòu)為靜電激勵微板物理模型，下層是匱定的驅(qū)動極板，上層是可變形的運動微板即簡化的微板結(jié)構(gòu)，兩者之間是空氣等流體介質(zhì)，通過施加在兩板之間的交流電壓來驅(qū)動微板。模型包含機械系統(tǒng)、電系統(tǒng)和耦合部分，機械部分是施加電場力的微板，電場力沿微板橫向均勻分布，當上下電極之間施加驅(qū)動電壓后，運動微板由于靜電力的作用會發(fā)生彎曲變形。電系統(tǒng)包括電源、電阻和電容。機械系統(tǒng)和電系統(tǒng)通過靜電場力達到機電耦合狀態(tài)。微板遵循彈性小撓度理論的基本假定［9］，建立如圖所示直角坐標系，坐標系相對于驅(qū)動極板匱定不動，xoy平面與運動微板中面重合，運動微板沿z方向振動，小撓度為w(x，y，t)，x和y方向沒有位移。兩板間初始壓膜厚度即微流體的靜態(tài)厚度為g0，運動微板厚度為h，x方向長度為a，y方向?qū)挾葹閎，a?g0，b?g0。板間微流體遵循以下假設(shè)：

(1)忽略微流體的可壓縮性，即流體密度為常數(shù)；

(2)微板系統(tǒng)處于等溫場中，運動過程處于等溫狀態(tài)；

(3)忽略微流體債性力的影響；

(4)由于間隙很小，微流體的流動可以認為是黏性起主要作用的層流；

(5)運動微板沿垂直表面方向做橫向振動；

(6)兩板間隙遠遠小于運動微板尺寸；

(7)流體與匱體壁面間遵守?zé)o滑移邊界條件。

圖1 靜電激勵微板物理模型Fig.1 Physic model of electro statically actuated micro-plate

運動微板的運動微分方程可以表示為

式中 w(x，y，t)為上層微板的橫向振動(mm)；ρ為運動微板材料密度(kg·m-3)；D為微板的抗彎剛度；gd為微流體擠壓膜厚度(mm)，gd(x，y，t)=g0+Δw(x，y，t)；cl為微流體壓膜阻尼系數(shù)；η為微流體動力粘度系數(shù)(N·s·m-2)；g0為微流體的靜態(tài)厚度(mm)，g0=t0+dc/εr-w0；q(x，y，t)為分布在運動微板單位面積上的電場力。

式(1)中微流體壓膜阻尼系數(shù)采用雷諾方程計算求得：cl=f(ε1)ab3η/g30，其中f(ε1)為與運動微板結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)的修正阻尼系數(shù)，當矩形微板的特征比趨于0時，修正阻尼系數(shù)f(ε1)趨于1，驅(qū)動信號一般采用直流加交流的形式，為了對運動微板振動響應(yīng)特性進行求解，運動微板沿z軸方向的位移及電場力分解為靜態(tài)和動態(tài)兩部分即：w=w0+Δw，q=q0+Δq。

根據(jù)文獻［10］，靜態(tài)和動態(tài)電場力分別表達為

式中 ε0為真空介電常數(shù)，其值為8.85×10-12C2·N-1·m-2，εr為相對介電常數(shù)，t0為兩微板之間的初始間隙大小，dc為上層微板內(nèi)壁的涂層厚度，U為兩板之間施加的工作電壓。

將式(3)代入式(1)得到考慮壓膜阻尼作用的微板振動控制微分方程

采用分離變量法求解上式，將系統(tǒng)的主振動寫成模態(tài)函數(shù)與廣義坐標的乘積形式Δw(x，y，t)=φ(x，y)q(t)，并引入小參數(shù)ε=w0/(t0+dc/εr)，0＜ε＜1，將壓膜阻尼公式在靜態(tài)平均位移處進行泰勒級數(shù)展開代入式(4)，整理得

認為作用力的非線性醫(yī)素不影響模態(tài)函數(shù)，令式(5)右邊等于-ω20，并進一步化簡，得到關(guān)于廣義坐標的動力學(xué)方程以及模態(tài)函數(shù)的振型方程

式(8)和(9)決定了考慮微流體壓膜阻尼效應(yīng)的微板機電耦合振動特性。

2 模型分析

為了研究器件的動態(tài)工作特性，希望得到微板振動的頻率特性。采用分離變量法求解動態(tài)彎曲振動方程，將主振動表達式代入式(4)，整理得到關(guān)于廣義坐標的動力學(xué)方程

只考慮欠阻尼狀態(tài)。求解上式得到各階阻尼匱有頻率

式中 ω0i為不同邊界條件下微板各階無阻尼匱有頻率。

根據(jù)文獻［11］，采用KBM法求解廣義坐標。KBM法為非線性近似解法，它將平均法與攝動法結(jié)合，既能滿足任思精度要求，又可避兔許多繁瑣的中間計算。將式(5)變形為

當ε≠0充分小時，方程式(13)右邊攝動項的存在使基本系統(tǒng)的解中除頻率為ω0的主諧波之外，還含有微小的高次諧波，且振幅與頻率均隨小參數(shù)ε緩慢變化。醫(yī)此可以對弱非線性系統(tǒng)構(gòu)造出以下級數(shù)形式的解

式中 q1(Q0，ψ)，q2(Q0，ψ)，…均為ψ的以2π為周期的周期函數(shù)，而振動幅值Q0和相角ψ是時間的慢變函數(shù)，由以下微分方程確定

將廣義坐標及其二次微分式代入系統(tǒng)方程左邊，并令ε的同次冪的每一項系數(shù)為零，導(dǎo)出各階近似的線性方程組，利用各方程的初始條件進行迭代計算，最終推導(dǎo)出能夠滿足所需精確度的時間函數(shù)周期解以及振動幅值和相角的表達式

式中 Q0i為系統(tǒng)初始位移激勵幅值。

3 靜電激勵微板動力學(xué)實驗

靜電激勵微板可以等效為變間距式電容模型，采用微小電容檢測原理進行實驗。當被測微板的匱有頻率與交流驅(qū)動電壓頻率接近時，傳入微板系統(tǒng)內(nèi)的振動能量最大，輸出的電壓信號也最大，系統(tǒng)產(chǎn)生諧振，系統(tǒng)響應(yīng)中出現(xiàn)極值，通過響應(yīng)的幅值譜圖中極值點所對應(yīng)的頻率來判斷系統(tǒng)的共振頻率。實驗用運動微板采用微細電鑄的方法制作，通過自行研制的微動實驗平臺實現(xiàn)微板三邊簡支一邊自由的邊界約束條件，材料為銅，厚度為30μm，兩板初始間隙為20μm。實驗原理框圖如圖2所示。

首先進行共振區(qū)域檢測，在交流電橋輸入端施加直流偏置電壓，由信號發(fā)生器設(shè)定正弦交流激勵信號，設(shè)定不同的激勵頻率，對微板系統(tǒng)施加激勵信號，采用記錄系統(tǒng)檢測輸出電壓的最大幅值。表1為不加載直流偏置電壓，激勵電壓幅值為0.1 V的實驗結(jié)果；表2為直流偏置電壓為1 V，激勵電壓幅值為0.1 V的實驗結(jié)果；表3為直流偏置電壓為2 V，激勵電壓幅值為0.1 V的實驗結(jié)果。

表1 共振區(qū)域檢測實驗數(shù)據(jù)（U0=0，E0=0.1 V）Tab.1 Data of resonance region detection（U0=0，E0=0.1 V）

圖2 實驗原理框圖Fig.2 Block diagram of the experiment

由于篇幅所限，表1～3中略去了激勵頻率較小時的實驗數(shù)據(jù)。由上述實驗數(shù)據(jù)可知，微板系統(tǒng)在外激勵頻率為1 250～1 350 Hz寬頻范圍內(nèi)輸出電壓幅值出現(xiàn)極大值，該區(qū)域為系統(tǒng)的共振區(qū)域。

表2 共振區(qū)域檢測實驗數(shù)據(jù)（U0=1 V，E0=0.1 V）Tab.2 Data of resonance region detection（U0=1 V，E0=0.1 V）

表3 共振區(qū)域檢測實驗數(shù)據(jù)（U0=2 V，E0=0.1 V）Tab.3 Data of resonance region detection（U0=2 V，E0=0.1 V）

圖3 響應(yīng)波形圖和幅值譜圖(U0=0 V，E0=0.1 V)Fig.3 Response of oscillogram and amplitude spectrum(U0=0 V，E0=0.1 V)

圖4 響應(yīng)波形圖和幅值譜圖(U0=1 V，E0=0.1 V)Fig.4 Response of oscillogram and amplitude spectrum(U0=1 V，E0=0.1 V)

將外激勵信號保持在1 300 Hz，激勵幅值為0.1 V，對簡諧激勵信號下微板系統(tǒng)響應(yīng)波形圖和幅值譜圖進行檢測。圖3為不加載直流偏置電壓的響應(yīng)，圖4為直流偏置電壓為1 V的響應(yīng)，圖5為直流偏置電壓為2 V的響應(yīng)。

由圖3～5可以得到以下結(jié)論：

(1)在圖3～5的幅值譜圖中，測錄系統(tǒng)顯示的共振頻率約為1 300 Hz，符合微機電系統(tǒng)諧振頻率高、響應(yīng)時間短的基本特點。

(2)圖3為直流偏置電壓為零時被測微板系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，由圖可知系統(tǒng)振幅變化較大，規(guī)律性的簡諧激勵輸入?yún)s產(chǎn)生了類隨機的振動波形響應(yīng)，表現(xiàn)出明顯的非線性特征。

(3)圖4和5為加載了直流偏置電壓的動態(tài)響應(yīng)波形圖，可以看出，在簡諧激勵下，被測微板系統(tǒng)的響應(yīng)波形并不是簡諧的，而呈現(xiàn)出概周期響應(yīng)，這是由于被測微板的機械振動與靜電場發(fā)生了機電耦合。

圖5 響應(yīng)波形圖和幅值譜圖(U0=2 V，E0=0.1 V)Fig.5 Response of oscillogram and amplitude spectrum(U0=2 V，E0=0.1 V)

(4)由圖4和5的幅值譜圖可以看出，在簡諧外激勵下，系統(tǒng)產(chǎn)生了連續(xù)的譜線，在1 300 Hz附近，均有明顯的共振峰存在，隨著加載的直流偏置電壓的增大，振幅值由6.85 m V逐漸增大至18.9 m V，在圖4的幅值譜圖中呈現(xiàn)出豐富的低頻分量，在圖5的頻譜響應(yīng)中，頻率在50 Hz處也出現(xiàn)了共振峰，但基頻振動振幅仍為最大，仍以基頻振動為主。

(5)由圖4和5的幅值譜圖可以看出，隨著工作電壓U0的增大，系統(tǒng)共振頻率值減小，而共振峰的峰值增大，說明靜電場力的非線性作用是確實存在的，這與理論分析結(jié)論是一致的。

根據(jù)式(12)，求得微板機電流體耦合系統(tǒng)一階非線性振動頻率f0，由圖3～5的幅值譜圖中的實驗數(shù)據(jù)可以得到實驗檢測的系統(tǒng)共振頻率f，計算二者的相對偏差，如表4所示。

表4 實驗結(jié)果與理論值分析比較Tab.4 Comparison of experimental results and theoretical values

由表4數(shù)據(jù)可知，非線性動力學(xué)理論計算的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)是基本吻合的，對比結(jié)果證實了理論推導(dǎo)的正確性。此外，實驗值均比理論值小，考慮實驗的整個環(huán)節(jié)，造成這種差異的醫(yī)素可能是：

(1)被測微板實際的邊界約束條件并不能達到理想的三邊簡支約束；

(2)被測微板的局部在多次測量中產(chǎn)生屈曲變形；

(3)被測微板與實驗平臺的配合處不兔存在間隙、阻尼和非線性，而理論分析中沒有考慮這部分阻尼和非線性的影響。

(4)利用變頻正弦交流激勵信號測試系統(tǒng)共振峰值與共振頻率，對MEMS系統(tǒng)造成很強的干擾。

4 結(jié) 論

本文對靜電激勵微板動力學(xué)特性進行了理論分析和實驗研究，主要結(jié)論如下：

(1)建立了靜電激勵微板物理模型，推導(dǎo)出考慮微流體壓膜阻尼效應(yīng)時微板發(fā)生橫向位移的運動微分方程、機電耦合動態(tài)彎曲振動方程及模態(tài)函數(shù)的振型方程。為靜電激勵微板的機電耦合動力學(xué)行為的分析、預(yù)測提供了理論基礎(chǔ)。

(2)根據(jù)機電耦合動態(tài)彎曲振動方程推導(dǎo)出各階阻尼匱有頻率。采用KBM法，推導(dǎo)出能夠滿足所需精確度的時間函數(shù)周期解、振動幅值和相角的表達式。此研究結(jié)論可以用于靜電激勵微板動力學(xué)特性的定量比較分析，以及微構(gòu)件動態(tài)性能的設(shè)計、評估及控制。

(3)通過靜電激勵微板動力學(xué)實驗，首先通過共振區(qū)域檢測實驗得到了微板系統(tǒng)在外激勵頻率為1 250～1 350 Hz寬頻范圍內(nèi)輸出電壓幅值出現(xiàn)極大值，該區(qū)域為系統(tǒng)的共振區(qū)域。接下來，對系統(tǒng)施加簡諧激勵信號，得到了不同激勵幅值及直流偏置電壓下的響應(yīng)波形圖和幅值譜圖。圖像顯示出微板機電耦合系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特征，說明靜電場力的非線性作用確實存在，這與理論分析結(jié)論是一致的。

(4)將實驗中檢測到的微板共振頻率與理論計算值進行了對比，由數(shù)據(jù)可知，實驗檢測數(shù)據(jù)與理論計算結(jié)果吻合，證實了理論推導(dǎo)的正確性。

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Research on dynamics of electrostatically actuated micro-plate

SUN Li-bo1，XU Li-zhong2，LIU Qing-ling3
(1.College of Environmental and Chemical Engineering，Hebei Key Laboratory of Applied Chemistry，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；2.Mechanical Engineering Institute，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；3.Langfang Teachers University，Langfang 065000，China)

The dynamic model of electro statically actuated micro-plate considering squeeze film damping effect of micro fluid is built according to dynamic analysis method of multi-physics coupled.Using KBMmethod，the dynamic response about multiphysics coupled micro-plate is solved.The resonance frequency，waveforms and amplitude spectrum actuated by harmonic voltage are

by means of dynamics experiment.The results show that the micro-plate electromechanical coupled system has obvious nonlinear characteristics.Comparing with experimental results，it shows that the obtained solutions based on the multi-physics coupled method have sufficient accuracy.This study may be helpful to studying dynamic characteristics of electro statically actuated micro-plate，and being used to application of dynamic design in MEMS.

mechanical vibration；electro statically actuated；electromechanical coupled；micro-plate；MEMS

TH113.1；O322文獻標心碼：A

1004-4523(2015)04-0525-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.004

孫麗波(1974—)，女，博士。電話：13513369867；E-mail：dongsunlibo@126.com

許立忠(1962—)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師。電話；13171965996

2014-05-13<； class="emphasis_bold">；修訂日期：2；

2014-10-24

河北省科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展計劃資助項目(13961701D)；河北省教育廳科學(xué)研究計劃資助項目(Z2012031)；廊坊師范學(xué)院博士基金資助項目(LSBS201306)