顧秋宇，朱 捷，徐 晶

(黑龍江科技大學(xué)，哈爾濱150000)

混沌時(shí)間序列是一種從無(wú)序和復(fù)雜的環(huán)境中產(chǎn)生出有序和規(guī)律的系統(tǒng)，該序列的研究構(gòu)成混沌理論的重要組成部分.在股票市場(chǎng)上，股票價(jià)格時(shí)間序列具有多種不確定性和非線性，具備混沌特性.利用混沌時(shí)間序列對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)已成為學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn).

數(shù)學(xué)家Vladimir N·Vapnik等通過(guò)30余年的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論研究，提出來(lái)的支持向量機(jī)(support vector machine，簡(jiǎn)稱(chēng)SVM)算法已得到國(guó)際數(shù)據(jù)挖掘?qū)W術(shù)界的重視，并在語(yǔ)音識(shí)別、文字識(shí)別、藥物設(shè)計(jì)、組合化學(xué)、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等研究領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，該新方法從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論出發(fā)，論證和實(shí)現(xiàn)了在小樣本情況下能最大限度地提高預(yù)報(bào)可靠性的方法，其研究成果令人鼓舞.張學(xué)工、楊杰等率先將有關(guān)研究成果引入國(guó)內(nèi)計(jì)算機(jī)學(xué)界，并開(kāi)展了SVM算法及其應(yīng)用研究，但混沌序列的股票市場(chǎng)領(lǐng)域內(nèi)尚未見(jiàn)SVM的應(yīng)用報(bào)道[1－3].

由于混沌時(shí)間序列對(duì)初值敏感，預(yù)測(cè)誤差將會(huì)迅速放大，如果直接輸入SVM算法中，會(huì)降低算法的預(yù)測(cè)效果.本文利用混沌動(dòng)力系統(tǒng)的相空間延遲坐標(biāo)重構(gòu)理論，求出嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間，將SVM算法的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，以減少累積誤差，建立混沌時(shí)間序列的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)股票價(jià)格的預(yù)測(cè)，改進(jìn)的支持向量機(jī)模型比RBF模型具有更好的預(yù)測(cè)效果.

1 混沌時(shí)間序列空間重構(gòu)

一個(gè)混沌時(shí)間序列的行為由許多有序行為組合而成，所以混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是狀態(tài)空間的重構(gòu)理論，通過(guò)相空間重構(gòu)，可以揭示混沌時(shí)間序列的內(nèi)部結(jié)構(gòu).

混沌時(shí)間序列的數(shù)值是通過(guò)系統(tǒng)中其他變量相互作用得到的，利用其確定的延遲時(shí)間作為系統(tǒng)新的不同坐標(biāo)上的數(shù)值，得到一個(gè)多維狀態(tài)空間，即重構(gòu)一個(gè)與原系統(tǒng)等價(jià)的相空間.這個(gè)維數(shù)通常被稱(chēng)為空間的嵌入維數(shù)m，確定的時(shí)間延時(shí)被稱(chēng)為空間的延遲時(shí)間τ.

1.1 延遲時(shí)間τ的選取方法

延遲時(shí)間是一個(gè)重要的相空間重構(gòu)參數(shù).最佳延遲時(shí)間τ不能選的太大也不能太小，當(dāng)τ選擇的太小時(shí)，延遲矢量各坐標(biāo)值之間有很強(qiáng)的相關(guān)性，信息不易顯露，產(chǎn)生冗余誤差;而當(dāng)τ選擇的太大時(shí)，重構(gòu)矢量各坐標(biāo)值之間的關(guān)系幾乎變成隨機(jī)的，破壞了原系統(tǒng)各變量之間的內(nèi)在關(guān)系，將使得重構(gòu)矢量包含的原動(dòng)力系統(tǒng)信號(hào)失真.因此應(yīng)該選取合適的τ，使重構(gòu)矢量保持原動(dòng)力系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系.

延遲時(shí)間τ與嵌入維數(shù)m的選取互不相關(guān)，即τ與m的選取是獨(dú)立進(jìn)行的.方法主要有:自相關(guān)法、復(fù)自相關(guān)法、去偏自相關(guān)法、互信息法和AD法，本文采用了互信息法進(jìn)行選取.

1.2 嵌入維數(shù)m的選取方法

Cao方法是1992年Cao在虛假鄰域算法的基礎(chǔ)上提出的一種直觀、簡(jiǎn)潔的判定時(shí)間序列數(shù)據(jù)具有非線性和混沌特性的方法[4－6].

對(duì)時(shí)間序列 x(t1)，x(t2)，…x(ti)，…，x(tn)，重構(gòu)m維和m+1維相空間，計(jì)算:

當(dāng)m＞m0時(shí)，E1(m)的值停止變化，得到最小的嵌入維數(shù)m0+1.

1.3 Lyapunov 指數(shù)

混沌系統(tǒng)的基本特征是系統(tǒng)對(duì)初值的極端敏感性，兩個(gè)幾乎相同的初始軌跡隨時(shí)間產(chǎn)生的分離指數(shù)、Lyapunov指數(shù)的定量描述這一現(xiàn)象.Lyapunov指數(shù)的定義是:取映射F所代表系統(tǒng)在各次迭代點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的對(duì)數(shù)平均值相空間中的每一維都有其各自的Lyapunov指數(shù)是指相空間中鄰近軌道發(fā)散或收斂的平均指數(shù)率.要判斷系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象，其中一種方法可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零判斷:系統(tǒng)中存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，就意味著在這個(gè)系統(tǒng)相空間中，無(wú)論初始兩條軌線的間距多么小，其差別會(huì)隨著時(shí)間的演化，增加發(fā)展指數(shù)率，達(dá)到不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象.

計(jì)算Lyapunov的方法有很多種，通常，在實(shí)際運(yùn)用識(shí)別中，只計(jì)算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)便可，主要的方法有:定義法、Wolf法，Jacobian法，小數(shù)據(jù)量法等等.

本文通過(guò)Wolf法計(jì)算Lyapunov指數(shù).易知，當(dāng)最大λ＞0時(shí)，系統(tǒng)存在混沌特性.

2 改進(jìn)的最小支持向量機(jī)算法

分析長(zhǎng)期累積誤差，找到減小誤差的條件.在預(yù)測(cè)過(guò)程中應(yīng)用最小二乘支持向量機(jī)，為減小累計(jì)誤差對(duì)其中的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使其改進(jìn)核函數(shù)滿足減小誤差的條件.用改進(jìn)的模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

2.1 長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的累積誤差分析

混沌時(shí)間序列是具有確定結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，因?yàn)榛煦鐣r(shí)間序列對(duì)初值敏感，預(yù)測(cè)誤差將會(huì)迅速放大，所以需要對(duì)長(zhǎng)期累積誤差進(jìn)行分析，找到減小誤差的條件.因此在實(shí)際應(yīng)用中，必須考慮折衷的方案—在不改變優(yōu)化準(zhǔn)則的情況下，盡量降低誤差累積的速度.長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的誤差由模型的系數(shù)、基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)和一步預(yù)測(cè)誤差構(gòu)成.從誤差累積的公式看，其加權(quán)系數(shù)由訓(xùn)練過(guò)程決定，只有基函數(shù)可以人為選擇.基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是影響誤差累積速度的另一個(gè)重要因素.因此，用導(dǎo)數(shù)較小的函數(shù)作為基函數(shù)，誤差發(fā)散的速度將低于導(dǎo)數(shù)較大的函數(shù)，這樣應(yīng)用改進(jìn)的基函數(shù)在預(yù)測(cè)時(shí)就能夠延長(zhǎng)預(yù)測(cè)時(shí)間.因此，改進(jìn)的基函數(shù)應(yīng)該滿足以下兩個(gè)條件[7－8]:

1)在定義域內(nèi)具有較小的導(dǎo)函數(shù)，即|f'(x)|＜1;

2)具有緊支撐結(jié)構(gòu)，即在定義域外有快速的衰減.

2.2 改進(jìn)最小二乘支持向量機(jī)模型

為了提高支持向量機(jī)的計(jì)算速度，根據(jù)最小二乘法的這些優(yōu)點(diǎn)，Suykens等人提出了最小二乘支持向量機(jī)(LS－SVM)，它是SVM采用二次損失函數(shù)的一種形式.最小二乘支持向量機(jī)通過(guò)非線性映射到高維特征空間中的數(shù)據(jù)擬合成超平面，同時(shí)進(jìn)行分類(lèi)，運(yùn)用最小二乘法求出最優(yōu)解，提煉出數(shù)據(jù)包含的信息，它簡(jiǎn)化了計(jì)算量，加快了計(jì)算速度.

其他思路與支持向量機(jī)相同，通過(guò)使用特征映射將線性不可分的樣本集映射到高維特征空間中，使它們?cè)诟呔S特征空間是線性可分的.但是在數(shù)值計(jì)算上，這種思路也存在著一定的問(wèn)題，這是因?yàn)樘卣骺臻g的維數(shù)一般很高，甚至是無(wú)窮大，在計(jì)算的過(guò)程中不容易實(shí)現(xiàn).所以這里SVM將樣本空間的內(nèi)積替換成了核函數(shù)，甚至不需要知道映射的形式，只需要知道核函數(shù)的形式和基本用法.也就是說(shuō)，運(yùn)算實(shí)際上是在樣本空間進(jìn)行的，這就是核技巧的思想.選擇滿足Mercer條件的不同內(nèi)積核函數(shù)，就構(gòu)造了不同的SVM，這樣也就形成了不同的算法.利用SVM根據(jù)構(gòu)建的混沌時(shí)間序列輸入向量和輸出向量進(jìn)行訓(xùn)練，獲取混沌時(shí)間序列SVM模型的參數(shù).預(yù)測(cè)模型的參數(shù)所蘊(yùn)藏的關(guān)系就是混沌時(shí)間序列的各個(gè)向量過(guò)去的和將來(lái)的關(guān)系.至此基于SVM的預(yù)測(cè)模型已經(jīng)建立.這樣就可以利用該模型預(yù)測(cè)將來(lái)的混沌時(shí)間序列的輸出[9－10].

基于RBF核函數(shù)預(yù)測(cè)相對(duì)精確，為了減小誤差，在原來(lái)核函數(shù)的基礎(chǔ)上滿足以上減小誤差的兩個(gè)條件及Mercer條件，我們改進(jìn)核函數(shù)模型為:

3 股票價(jià)格仿真預(yù)測(cè)

3.1 支持向量機(jī)混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型

對(duì)混沌時(shí)間序列重構(gòu)相空間后，得到支持向量機(jī)的一步預(yù)測(cè)模型為:

其中 xi1=(xt，…，x(t－(m －1)τ)).

對(duì)于相空間的第t+1點(diǎn)預(yù)測(cè)xit+1=(~xi+1，…x(t－(m －2)τ)).第t+2點(diǎn)預(yù)測(cè)為:

同理我們可以得到第t+p點(diǎn)預(yù)測(cè)為:

3.2 仿真預(yù)測(cè)

本文根據(jù)2013.11.6 ～2013.12.17 滬市寶鋼股份收盤(pán)價(jià)格得到，最大Lyapunov指數(shù)為0.032 5，最大Lyapunov指數(shù)大于0，可以斷定該股票收盤(pán)價(jià)是一個(gè)混沌系統(tǒng).依此數(shù)據(jù)根據(jù)圖1流程圖進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

圖1 流程圖

由互信息法得到圖2，第一次達(dá)到最小值作為相空間重構(gòu)的時(shí)間延遲τ，即τ=1.由圖3 Cao方法計(jì)算混沌時(shí)間的嵌入維數(shù)可以看出，m=3時(shí)值停止變化，得到最小的嵌入維數(shù)，即m=4.

通過(guò)Matlab軟件對(duì)其仿真，前30個(gè)數(shù)據(jù)用改進(jìn)的最小二乘支持向量機(jī)模型預(yù)測(cè)后30個(gè)數(shù)據(jù)，將一步預(yù)測(cè)值補(bǔ)充進(jìn)時(shí)間序列里，去除原始數(shù)據(jù)中的第1組數(shù)據(jù)構(gòu)成新的時(shí)間序列，用一步預(yù)測(cè)下一組30個(gè)數(shù)據(jù).

圖2 互信息法確定延遲時(shí)間

圖3 Cao方法確定嵌入維數(shù)(m)

股票收盤(pán)價(jià)格在支持向量機(jī)仿真實(shí)例中，為衡量預(yù)測(cè)模型的精確，采用相對(duì)誤差，評(píng)價(jià)模型的每一個(gè)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)效果.

從表1中更清晰看出新核函數(shù)的SVM模型預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)相對(duì)誤差小一些，從第28個(gè)數(shù)據(jù)之后新模型預(yù)測(cè)更加精確，說(shuō)明混沌時(shí)間序列的股票數(shù)據(jù)在這種復(fù)雜非線性建模中更具有獨(dú)特的優(yōu)越性.最后對(duì)比徑向基核函數(shù)(RBF)和改進(jìn)的核函數(shù)模型的預(yù)測(cè)效果，討論模型的MSE.其徑向基函數(shù)(RBF)預(yù)測(cè)模型的MSE等于24.090 2，新核函數(shù)的預(yù)測(cè)模型的MSE等于21.720 33，可以看出新模型的預(yù)測(cè)效果更好.

表1 徑向基函數(shù)(RBF)和改進(jìn)的核函數(shù)預(yù)測(cè)的對(duì)比的相對(duì)誤差分布圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文的核心內(nèi)容是結(jié)合混沌時(shí)間序列的初始敏感性理論，對(duì)支持向量機(jī)的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，減小長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中的累積誤差，建立改進(jìn)的預(yù)測(cè)模型.并利用股票價(jià)格的數(shù)據(jù)對(duì)建立的模型進(jìn)行訓(xùn)練，SVM模型所蘊(yùn)涵的函數(shù)映射關(guān)系就是混沌時(shí)間序列中向量的內(nèi)在關(guān)系，應(yīng)用模型預(yù)測(cè)未來(lái)的股票價(jià)格.結(jié)果表明:改進(jìn)的模型更精確，并且在股票價(jià)格的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)研究中具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值.

[1]呂金虎，陸君安，陳士華，等.混沌時(shí)間序列分析及其應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2001.

[2]梁景波.混沌時(shí)間序列的一種長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型研究[D].鞍山:遼寧科技大學(xué)，2011.

[3]張淑清，賈 健，高 敏，等.混沌時(shí)間序列重構(gòu)相空間參數(shù)選取研究[J].物理學(xué)報(bào)，2010，5(3):1576－1582.

[4]李春興，白建東.基于組合預(yù)測(cè)模型的股票預(yù)測(cè)方法的研究[J].青島理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，29(2):82－85.

[5]陸振波，蔡志明，姜可宇.基于稀疏Volterra濾波器混沌時(shí)間序列自適應(yīng)預(yù)測(cè)系統(tǒng)工程與電子技術(shù)[J].武漢:海軍工程大學(xué)，2007，29(9):1428－1431.

[6]ZHANG C H，TIAN Y J，ZHANG X F.An Improvement to the Theoretical Foundation of Support Vector[J].Classification or Transactions，2004，8(2):66－71.

[7]SCHOLKONF J，PLATT J，SHAWE － TAYLOR A J，et al.Estimating the support of a high－dimensional distribution[J].Neural Computation，2001，13:1443－1471.

[8]QING F M，YU P H.A new local linear prediction model for chaotic time series[J].Phys Lett A，2007，370(5－6):465－470.

[9]楊博文，馬敬慧.基于混沌理論視角的國(guó)際油價(jià)波動(dòng)復(fù)雜性分析[J].西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(5):1－6.

[10]許 楠，劉麗杰，徐耀群.高斯激勵(lì)混沌神經(jīng)元系統(tǒng)及其應(yīng)用[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，30(5):599－603.