吳克

一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它與一次方程、一次不等式有密切聯(lián)系，在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用。尤其利用一次函數(shù)的增減性等有關(guān)知識(shí)可以在某些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的方案設(shè)計(jì)和選擇提供幫助，作出最佳的決策。近幾年來一些省市的中考或競賽試題中也時(shí)常出現(xiàn)這方面的應(yīng)用題，這些試題新穎靈活，具有較強(qiáng)的時(shí)代氣息和很強(qiáng)的選拔功能。下面以幾道中考題為例說明一次函數(shù)在中考中的重大作用.

一、分配方案的設(shè)計(jì)

例1.（2011四川攀枝花）某經(jīng)營世界著名品牌的總公司，在我市有甲、乙兩家分公司，這兩家公司都銷售香水和護(hù)膚品.總公司現(xiàn)香水70瓶，護(hù)膚品30瓶，分配給甲、乙兩家分公司，其中40瓶給甲公司，60瓶給乙公司，且都能賣完，兩公司的利潤（元）如下表.

（1）假設(shè)總公司分配給甲公司x瓶香水，求：甲、乙兩家公司的總利潤W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，甲公司的利潤會(huì)不會(huì)比乙公司的利潤高？并說明理由；

（3）若總公司要求總利潤不低于17370元，請問有多少種不同的分配方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來.

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用.

專題：函數(shù)思想.

分析：（1）設(shè)總公司分配給甲公司x瓶香水，用x表示出分配給甲公司的護(hù)膚品瓶數(shù)、乙公司的香水和護(hù)膚品瓶數(shù)，根據(jù)已知列出函數(shù)關(guān)系式.（2）根據(jù)（1）計(jì)算出甲、乙公司的利潤進(jìn)行比較說明.（3）由已知求出x的取值范圍，通過計(jì)算得出幾種不同的方案.

（1）設(shè)A型汽車安排 輛，B 型汽車安排 輛，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如果三種型號(hào)的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案.

（3）為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，應(yīng)采用（2）中哪種方案？并求出最少運(yùn)費(fèi).

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用.

專題：優(yōu)選方案問題.

分析：（1）利用三種汽車一共運(yùn)輸120噸山貨可以得到函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用三種汽車都不少于4輛，可以得到有關(guān)x的不等式組，利用解得的不等式組的解得到安排方案即可；（3）根據(jù)題意得到總運(yùn)費(fèi)與自變量x的函數(shù)關(guān)系式，求得其最值即可.

答：為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，應(yīng)采用 ⑵中方案一，最少運(yùn)費(fèi)為37100元。

點(diǎn)評：本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問題，此類題是近年中考中的熱點(diǎn)問題.注意利用一次函數(shù)求最值時(shí)，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值.

三、營銷方案的設(shè)計(jì)

（1）、若全部資金用來購買彩電和洗衣機(jī)共100臺(tái)，問商店可以購買彩電和洗衣機(jī)各多少臺(tái)？

（2）、若在現(xiàn)有資金160000元允許的范圍內(nèi)，購買上表中三類家電共100臺(tái)，其中彩電臺(tái)數(shù)和冰箱臺(tái)數(shù)相同，且購買洗衣機(jī)的臺(tái)數(shù)不超過購買彩電的臺(tái)數(shù)，請你算一算有幾種進(jìn)貨方案？哪種進(jìn)貨方案能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大？并求出最大利潤.（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用.

專題：優(yōu)選方案問題.

分析：（1）根據(jù)題意商店購買彩電x臺(tái)，則購買洗衣機(jī)（100﹣x）臺(tái)，列出一元一次方程，解方程即可得出答案；

解答：（1）設(shè)商店購買彩電x臺(tái)，則購買洗衣機(jī)（100﹣x）臺(tái).

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問題有意義.

四、優(yōu)惠方案的設(shè)計(jì)

例4.（2013·遂寧）四川省第十二屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2014年8月18日在我市隆重開幕，根據(jù)大會(huì)組委會(huì)安排，某校接受了開幕式大型團(tuán)體操表演任務(wù).為此，學(xué)校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商.經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價(jià)都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元.經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是，全部服裝按單價(jià)打七折，但校方需承擔(dān)2200元的運(yùn)費(fèi)；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔(dān)運(yùn)費(fèi).另外根據(jù)大會(huì)組委會(huì)要求，參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的2倍少100人，如果設(shè)參加演出的男生有x人.

（1）分別寫出學(xué)校購買A、B兩公司服裝所付的總費(fèi)用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問：該學(xué)校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由.

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用.

專題：方案選擇問題.

分析：（1）根據(jù)總費(fèi)用=男生的人數(shù)×男生每套的價(jià)格+女生的人數(shù)×女生每套的價(jià)格就可以分別表示出y1（元）和y2（元）與男生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

根據(jù)條件可以知道購買服裝的費(fèi)用受x的變化而變化，分情況討論，當(dāng)y1>y2時(shí)，當(dāng)y1=y2時(shí)，當(dāng)y1

點(diǎn)評：本題考查了根據(jù)條件求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，運(yùn)用不等式求設(shè)計(jì)方案的運(yùn)用，解答本題時(shí)根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出解析式是關(guān)鍵，建立不等式計(jì)算優(yōu)惠方案是難點(diǎn).

五、進(jìn)貨方案設(shè)計(jì)

例5.（2013年貴州黔東南）某校校園超市老板到批發(fā)中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是甲品牌進(jìn)貨單價(jià)的2倍，考慮各種因素，預(yù)計(jì)購進(jìn)乙品牌文具盒的數(shù)量y（個(gè)）與甲品牌文具盒的數(shù)量x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.當(dāng)購進(jìn)的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120個(gè)時(shí)，購進(jìn)甲、乙品牌文具盒共需7200元.

（1）根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求甲、乙兩種品牌的文具盒進(jìn)貨單價(jià)；

（3）若該超市每銷售1個(gè)甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個(gè)乙種品牌的文具盒可獲利9元，根據(jù)學(xué)生需求，超市老板決定，準(zhǔn)備用不超過6300元購進(jìn)甲、乙兩種品牌的文具盒，且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利不低于1795元，問該超市有幾種進(jìn)貨方案？哪種方案能使獲利最大？最大獲利為多少元？

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用.

專題：方案選擇問題。

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象由待定系數(shù)法就可以直接求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)甲品牌進(jìn)貨單價(jià)是a元，則乙品牌的進(jìn)貨單價(jià)是2a元，根據(jù)購進(jìn)甲品牌文具盒120個(gè)可以求出乙品牌的文具盒的個(gè)數(shù)，由共需7200元為等量關(guān)系建立方程求出其解即可；

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，列一元一次方程列一元一次不等式組解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)求出第一問的解析式是解答后面問題的關(guān)鍵.

綜上所述，利用一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及不等式的整數(shù)解與方程的有關(guān)知識(shí)解決了實(shí)際生活中許多的方案設(shè)計(jì)問題，如果同學(xué)們能切實(shí)理解和掌握這方面的知識(shí)與應(yīng)用，對解決方案問題的數(shù)學(xué)題是很有效的.