趙銀倉

事件與概率是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，內(nèi)容主要包括隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型. 高考以選擇題或填空題考查幾何概型，在解答題中重點(diǎn)考查古典概型的計(jì)算，近年來把概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合命制解答題是高考考查的一個(gè)趨勢(shì). 此部分知識(shí)主要考查對(duì)概率的理解、概率模型的應(yīng)用與計(jì)算能力，試題難度為基礎(chǔ)題與中等題.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別；了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式；理解古典概型及其概率計(jì)算公式；了解幾何概型的意義及其概率計(jì)算公式；能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題.

難點(diǎn)：用古典概型和幾何概型解決應(yīng)用問題，怎樣從實(shí)際問題中抽象出基本事件，將問題轉(zhuǎn)化為古典概型或幾何概型的計(jì)算問題.

方法突破

1. 隨機(jī)事件與隨機(jī)試驗(yàn)

在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件，如果試驗(yàn)的結(jié)果預(yù)先無法確定，這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn).

2. 頻率與概率

頻率隨試驗(yàn)次數(shù)而改變，但概率是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)，頻率向概率靠近.

3. 互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系

互斥事件是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件是要求兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況. 若事件A，B為互斥事件，它們至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A+B，則P（A+B）=P（A）+P（B）；若事件A，B為對(duì)立事件，則P（A）=1-P（B）. 互斥事件不一是對(duì)立事件，但對(duì)立事件一定是互斥事件.

4. 幾何概型與古典概型的異同

幾何概型與古典概型是經(jīng)常用到的兩種概率模型，二者的共同點(diǎn)是基本事件都是等可能事件；不同點(diǎn)是幾何概型的基本事件是無限的，古典概型的基本事件是有限的.

5. 逆向思考

當(dāng)某事件的概率不易直接求解，但對(duì)立事件的概率易求解時(shí)，可運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式（若事件A，B為對(duì)立事件，則P（A）+P（B）=1）求解.

典例精講

■例1 （2014年高考廣東卷）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取7個(gè)不同的數(shù)，則這7個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________.

思索 題目給出的10個(gè)數(shù)中比6小的有6個(gè)，比6大的有3個(gè)，要使得所選出的7個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6，則應(yīng)該比6小的選3個(gè)，比6大的選3個(gè)，由此得出事件“7個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6”的結(jié)果數(shù)，應(yīng)用古典概型公式可得所求概率.

破解 從10個(gè)不同數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)，共有C■■種不同的結(jié)果，每個(gè)結(jié)果都是等可能的. 事件“所選7個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6”可從6之前的6個(gè)數(shù)中取3個(gè)，6之后3個(gè)數(shù)中取3個(gè)，所以含有C■■·C■■種不同的結(jié)果，因此其概率為P=■=■.

■例2 （2014年高考湖北卷）隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為P1，點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為P2，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為P3，則（ ）

A. P1

C. P1

思索 對(duì)于“擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子”這類問題，通過列表就能直觀地看出其全部基本事件，問題中的三個(gè)事件“點(diǎn)數(shù)之和不超過5”“點(diǎn)數(shù)之和大于5”“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”中所含的基本事件就容易數(shù)出，利用古典概型公式即可分別求出它們的概率，再比較大小.

破解

■

依題意，P1=■，P2=1-P1=■，P3=■，所以P1

■例3 （2014年高考福建卷）如圖1，在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為________.

■

圖1

思索 這是一個(gè)幾何概型問題. 利用定積分計(jì)算陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式求出所求概率.

破解 由題意，y=lnx與y=ex關(guān)于y=x對(duì)稱，所以陰影部分的面積為2■（e-ex）dx=2（ex-ex）10=2. 因?yàn)檫呴L(zhǎng)為e的正方形的面積為e2，所以落到陰影部分的概率為■.

■例4 （2014年高考陜西卷）某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

■

（1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；

（2）在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.

思索 由于抽樣的隨機(jī)性，所以樣本的數(shù)字特征可以代表總體的數(shù)字特征的估計(jì)值. 在本題中，用樣本中的某事件的頻率代表總體中該事件的概率估計(jì)值. 互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和.

破解 （1）設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率可得P（A）=■=0.15，P（B）=■=0.12. 由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27.

（2）設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，得樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000=100（輛），而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120=24（輛），所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為■=0.24. 由頻率估計(jì)概率得P（C）=0.24.

■例5 （2014年高考四川卷）一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同. 隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.

（1）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率；

（2）求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.

思索 共有三張卡片，隨機(jī)有放回地抽取3次，則每次都有三種選擇，將所有結(jié)果一一列舉出來，共有27種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果都是等可能的，所以所求兩個(gè)概率問題都為古典概型. （1）列舉出所有事件后，就能數(shù)出事件“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，即得其概率；（2）因?yàn)槭录俺槿〉目ㄆ系臄?shù)字a，b，c不完全相同”中包含的基本事件的數(shù)目較多，因此先求其對(duì)立事件“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”中所含的基本事件的數(shù)目，由此得到其概率，再由“事件與其對(duì)立事件的概率和為1”這一關(guān)系，求得所求的結(jié)果.

破解 （1）由題意，（a，b，c）所有的可能為：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27種. 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A，則事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3種，所以P（A）=■=■. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為■.

（2）設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件■包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3種. 所以P（B）=1-P（■）=1-■=■. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為■.

■例6 （2014年高考全國(guó)卷） 設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6，0.5， 0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.

（1）求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；

（2）實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購買k臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用. 若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.

思索 對(duì)于較復(fù)雜的概率問題，首先要對(duì)字母表示簡(jiǎn)單事件，然后用事件間的關(guān)系來表示所求事件，再用有關(guān)概率公式進(jìn)行計(jì)算. 這樣分析問題的思路會(huì)清晰明了.

破解 記Ai表示事件“同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i=0，1，2”，B表示事件“甲需使用設(shè)備”，C表示事件“丁需使用設(shè)備”，D表示事件“同一工作日至少3人需使用設(shè)備”，E表示事件“同一工作日4人需使用設(shè)備”，F(xiàn)表示事件“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”.

（1）因?yàn)镻（B）=0.6，P（C）=0.4，P（Ai）=Ci2×0.52，i=0，1，2，所以P（D）=P（A1·B·C+A2·B+A2·■·C）=P（A1·B·C）+P（A2·B）+P（A2·■·C）=P（A1）P（B）P（C）+P（A2）P（B）+P（A2）P（■）P（C）=0.31.

（2）由（1）知，若k=2，則P（F）=0.31>0.1，P（E）=P（B·C·A2）=P（B）P（C）P（A■）=0.06. 若k=3，則P（F）=0.06<0.1. 所以k的最小值為3.

變式練習(xí)

1. （2014年高考新課標(biāo)卷Ⅰ）4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為（ ）

A. ■？搖？搖？搖？搖B. ■？搖？搖 C. ■？搖？搖？搖D. ■

2. （2014年高考陜西卷）從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為（ ）

A. ■？搖？搖？搖B. ■？搖？搖？搖 C. ■？搖？搖？搖D. ■

3. （2014年高考遼寧卷）正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）分別在拋物線y=-x2和y=x2上，如圖2所示. 若將—個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________.

■

圖2

4. （2014年高考湖北卷）由不等式x≤0，y≥0，y-x-2≤0確定的平面區(qū)域記為Ω1，由不等式x+y≤1，x+y≥-2確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

5. （2014年高考山東卷）海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如下表所示. 工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).

■

（1）求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；

（2）若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.

6. （2014年高考天津卷）某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級(jí)情況如下表：

■

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）.

（1）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；

（2）設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率.

參考答案

1. D 2. C

3. ■ 4. ■

5. （1）A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1，3，2.

（2）設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2，則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè). 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 記事件D為“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè). 所以P（D）=■，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為■.

6. （1）從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種.

（2）選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為：{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種. 因此，事件M發(fā)生的概率P（M）=■=■. ■endprint