鄭帥

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，南京210016)

酉系統(tǒng)上的多元K－框架向量

鄭帥

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，南京210016)

多元K－框架是K－框架的一種推廣.把Hilbert空間上對(duì)于酉系統(tǒng)的K－框架推廣到多元K－框架，引入了多元K－框架向量的概念.通過建立Hilbert空間上完全游蕩向量與該空間的Parseval K－框架向量之間的關(guān)系，給出了對(duì)于酉系統(tǒng)的Parseval K－框架向量的一些性質(zhì).

多元K－框架;多元K－框架向量;酉系統(tǒng)

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出本文需要的幾個(gè)預(yù)備知識(shí).

定義1［4］一個(gè)序列?H稱為Hilbert空間H的框架，如果存在正數(shù)a，b，使得

下面介紹在框架理論中起重要作用的三個(gè)算子.

其分析算子可定義為

通過定義的T，T*可以得到框架算子

定義2［6］設(shè)K∈B(H)，稱?H是K－框架，如果存在a，b＞0，滿足:?H是一個(gè)緊K－框架，如果存在a＞0滿足:特別地，當(dāng)a=1時(shí)?H是一個(gè)Parseval K－框架.

定義3［9］設(shè)X，Y是兩個(gè)Hilbert空間，Q∈B(X，Y)是閉值域算子，若QQ+Q=Q，則稱Q+為Q的偽逆.特別地，QQ+f=Qf，?f∈R(Q).

上述定義中偽逆Q+不具有唯一性.下面給出偽逆滿足唯一性需要滿足的條件.

引理1［9］設(shè)Q∈B(X，Y)是閉值域算子，Q的偽逆Q+:Y→X唯一存在的充要條件為:

本文中用到的偽逆均滿足唯一性的條件.

2 酉系統(tǒng)多元K－框架定義及主要定理

酉系統(tǒng)U是作用于可分Hilbert空間上酉算子的子集，并且包含了恒等算子I，因此一個(gè)酉群是一種特殊的酉系統(tǒng).

定義4［7］一個(gè)關(guān)于酉系統(tǒng)U的r－元游蕩向量滿足:H中的元素Ψr={ψ1，ψ2，…，ψr}使得UΨr={Uψ1，Uψ2，…，Uψr:U∈U}是一個(gè)正交集合成立，其中 ＜Uψi，Vψj＞=0對(duì)于U，V∈U且U≠V或者i≠j成立.如果UΨr是H的正交基，那么Ψr被稱為關(guān)于U的r－元完全游蕩向量.所有的r－元完全游蕩向量組的集合可以記為Wr(U).

定義5［7］U是一個(gè)作用于H的酉系統(tǒng)，若UΓr={Uη1，Uη2，…，Uηr:U∈U}是Uη1，Uη2，…，Uηr:U∈U}的K－框架，那么Γr={η1，η2，…，ηr}∈H是一個(gè)關(guān)于酉系統(tǒng)U的多元(r－元)K－框架向量.

定義6［7］U是一個(gè)酉系統(tǒng)，Ψr∈Wr(U)，在Ψr的局部換位子CΨr(U)可以定義為:{T∈B(H):(TU－UT)ψi=0，i=1，2…，r，U∈U}.U的換位子可以定義為:{T∈B(H):TU=UT，?U∈U}.

下面給出本文的兩個(gè)重要結(jié)論:

定理1假設(shè)Ψr={ψ1，ψ2，…，ψr}是一個(gè)關(guān)于酉系統(tǒng)U的一個(gè)r－元完全游蕩向量，K是一個(gè)閉值域算子，K+∈U'，那么一個(gè)r－元向量Γr={η1，η2，…，ηr}是一個(gè)關(guān)于U的多元Parseval K－框架向量當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)部分等距A∈CΨr(U)使得AΨr=K+Γr，即Aψi=K+ηi，其中i=1，2…，r.

證明 必要性.假設(shè)Γr={η1，η2，…，ηr}是一個(gè)關(guān)于U的多元Parseval框架向量，下面定義一個(gè)線性算子T

因此得到AUψi=T*PUψi=K+Uηi對(duì)?U∈U以及i=1，2…，r，特別地，如果令U=I∈U，得到Aψi= K+ηi，其中i=1，2…，r，同時(shí)AUψi=K+Uηi=UK+ηi=UAψi對(duì)i=1，2…，r都成立，故A∈CΨr(U).

充分性.A是一個(gè)部分等距且A∈CΨr(U)，令A(yù)ψi=K+ηi，其中i=1，2…，r.因?yàn)锳的終空間是AH，因此A*是一個(gè)部分等距算子，其始空間為AH，故A*在AH上是等距的，因此，對(duì)?x∈AH，可以得到

故結(jié)論得證，r－元向量Γr={η1，η2，…，ηr}是一個(gè)關(guān)于U的多元ParsevalK－框架向量.

那么對(duì)于一般的多元K－框架向量會(huì)得到一個(gè)類似的結(jié)果嗎?答案是能得到這樣的一個(gè)結(jié)果，同樣需要加上幾個(gè)條件才能得到想要的結(jié)果，得到以下定理.

定理2假設(shè)Ψr={ψ1，ψ2，…，ψr}是一個(gè)關(guān)于酉系統(tǒng)U的一個(gè)r－元完全游蕩向量，K是一個(gè)閉值域算子，K+∈U'，那么一個(gè)r－元向量Γr={η1，η2，…，ηr}是一個(gè)關(guān)于U的多元K－框架向量，其框架界為a，b當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)算子A∈CΨr(U)使得AΨr=K+Γr，即Aψi=K+ηi，其中i=1，2…，r.并且aP≤AA*≤b K+2P.

證明 必要性.假設(shè)Γr={η1，η2，…，ηr}是一個(gè)關(guān)于U的多元K－框架向量，定義一個(gè)線性算子B

對(duì)于x∈span(K+UΓr)，又因?yàn)棣={η1，η2，…，ηr}的框架界為a，b.可以得到

因此得到B是一個(gè)下有界的算子且有閉值域BH.即B:H→BH是一個(gè)可逆算子，令Q是一個(gè)從H到BH的正交投影，對(duì)?U，V∈U以及i=1，2…，r，可以得到

因此B*QUψj=K+Uηj，對(duì)?U∈U成立，其中j=1，2…，r.令A(yù)=B*Q，可以得到AUψj=K+Uηj，對(duì)?U∈U成立，其中j=1，2…，r.特別地，得到Aψj=K+ηj，對(duì)j=1，2…，r成立.因此AUψj=UAψj，對(duì)?U∈U成立，其中j=1，2…，r.故A∈CΨr(U).因?yàn)?/p>

充分性.令A(yù)∈CΨr(U)使得AΨr=Γr，即Aψi=K+ηi，其中i=1，2…，r.并且aP≤AA*≤b.那么

因?yàn)閍P≤AA*≤b K+2P對(duì)某一個(gè)正交投影P成立，對(duì)?x∈PH

因此對(duì)?x∈PH，得到

即r－重向量Γr={η1，η2，…，ηr}是一個(gè)關(guān)于U的多元K－框架向量，其框架界為a，b.

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［責(zé)任編輯 王新奇］

K－Frame Vector for the Unitary System

ZHENG Shuai

(Department of Mathematics，School of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

Multi－K－frame is an extension of K－frame.This study extends K－frame on Hilbert space to themulti－K－frame for unitary systems and definesmulti－K－frame vector.By establishing the correlations between the complete wandering r－tuple vectors and the Parseval multi－K－frame vectors，we describe some properties of the Parsevalmulti－K－frame vectors.

multi－K－frame;multi－K－frame vector;unitary system

1008－5564(2015)01－0010－04

O177.1

A

1946年，D.Gabor在研究信號(hào)處理的時(shí)候，將一個(gè)信號(hào)基于某些基本信號(hào)進(jìn)行了分解.D.Gabor的這種思想很快成為與時(shí)間—頻率方法相聯(lián)系的譜分析范例，例如，短時(shí)Fourier變換和Wiener變換. 1952年，R.J.Duffin和A.G.Schaeffer在研究非調(diào)和Fourier分析時(shí)，進(jìn)一步提煉了D.Gabor的思想方法，引入了Hilbert空間中框架的概念［1］.但直到1986年，由于I.Daubechies等人的工作［2］才受到廣泛關(guān)注;自此之后，人們對(duì)框架理論及其應(yīng)用進(jìn)行了深入研究，并取得一系列重要研究成果，見文獻(xiàn)［3－5］及其所列文獻(xiàn).框架作為Hilbert空間正交基或Riesz基的一種推廣，使得空間中任意元素可以被框架元素的線性組合表示，并且這種表示可以不唯一，正因如此，使其在實(shí)際應(yīng)用中具有許多優(yōu)于基的地方.目前，框架在小波分析及其應(yīng)用研究中得到迅速發(fā)展，已被廣泛應(yīng)用于信號(hào)和圖像處理，無線電通訊，數(shù)據(jù)壓縮，可靠性分析等許多領(lǐng)域.

本文將應(yīng)用文獻(xiàn)［4］的思想方法，將Hilbert空間上的K－框架與酉系統(tǒng)結(jié)合起來，引入并研究酉系統(tǒng)的多元K－框架向量，通過建立酉系統(tǒng)的完全游蕩向量與Parseval多元K－框架向量之間的關(guān)系，引出了對(duì)于酉系統(tǒng)的Parseval多元K－框架向量的一些性質(zhì).

本文采用如下記號(hào):設(shè)H為一個(gè)可分Hilbert空間，I是H上的恒等算子.對(duì)Hilbert空間H1，H2，用B (H1，H2)表示從H1到H2的全體有界線性算子的集合，并記B(H)=B(H，H).設(shè)T∈B(H1，H2)，用R (T)表示T的值域，kerT表示T的核空間，T*表示T的共扼算子.

2014－10－16

鄭 帥(1989—)，男，山東淄博人，南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系碩士研究生，主要從事泛函分析研究.