張旭東，孟 彬

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，南京210016)

K－框架擾動(dòng)的新結(jié)果

張旭東，孟 彬

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，南京210016)

研究了K－框架擾動(dòng)穩(wěn)定性，并給出了1系數(shù)擾動(dòng)和3系數(shù)擾動(dòng)的新結(jié)果.關(guān)鍵詞:K－框架;Bessel序列;擾動(dòng)

在Hilbert空間中，框架的概念最早由Duffin和Schaeffer［1］在1952年研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)時(shí)正式提出的.小波分析誕生以后，框架理論得到了迅速的發(fā)展［2－3］，如在信號(hào)與圖像處理，濾波器理論，系統(tǒng)模型，編碼和傳輸?shù)榷计鸬搅藰O其重要的作用［4－6］.

Hilbert空間中的K－框架［7］由Gavruta提出，它與原子系統(tǒng)之間存在著密切的關(guān)系，是一種比Hilbert空間的框架更一般的框架.Gavruta把框架需要滿足的條件限制在有界線性算子K的值域上，而不是整個(gè)空間或閉子空間，并討論了K－框架的一些性質(zhì)［7－9］.

本文給出了Bessel序列在特定條件下為K－框架的一個(gè)結(jié)論以及給出了一般的1系數(shù)K－框架擾動(dòng)和一個(gè)特殊的3系數(shù)K－框架擾動(dòng)結(jié)論.

本文采用如下記號(hào):H為一個(gè)可分的Hilbert空間;L(H)表示從H到H的有界線性算子的全體.K*表示K的共軛算子，l2表示滿足＜+∞的復(fù)數(shù)列全體構(gòu)成的一個(gè)無窮維復(fù)Hilbert空間.

1 主要定理及證明

定義2［7］設(shè)K∈L(H).序列?H稱為H的K－框架，如果存在常數(shù)A，B＞0使得對(duì)?f∈H有

成立，分別稱A，B為{fn}的下界，上界.

定義3［10］設(shè)K∈L(H)，稱序列為H的緊K－框架，如果存在正數(shù)A，使得對(duì)于?f∈H有

成立，稱A為緊K－框架的界.

引理1［7］設(shè)K∈L(H)，序列?H，則下列敘述等價(jià):

則

所以Q有界，又Q可逆，因此由開映射定理可知Q－1也有界，從而對(duì)于?f∈H有:

接著給出了一般的1系數(shù)K－框架擾動(dòng)結(jié)論.

證明 因?yàn)閷?duì)于任意的向量f∈H有

即

對(duì)于所有c1，…，cn(n∈N)都成立，那么是H的一個(gè)K－框架，并且其上、下界分別為

證明 因?yàn)閧fn}∞n=1是一個(gè)緊K－框架，定義一個(gè)有界線性算子:

所以

因此

由(1)可得:

我們可以定義一個(gè)有界算子:

因此(2)可變?yōu)?

因此

因此

證得A－1為其下界，所以為H上的K－框架.

［1］DUFFIN R J，SCHAEFFER A C.A class of nonharmonic Fourier series［J］.Trans Amer Math Soc，1952，72:341－366.

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［責(zé)任編輯 王新奇］

New Outcome on Perturbation of K－Frames

ZHANG Xu－dong，MENG Bin

(Department of Mathematics，School of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

This paper addresses the perturbation of K－frame.We have obtained new perturbation resultswith coefficient one and coefficient three for K－frames.

K－frames;Bessel sequence;perturbation

1008－5564(2015)01－0006－04

O177.2

A

2014－10－16

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(NO.11171151)

張旭東(1989—)，男，江蘇南京人，南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系碩士研究生，主要從事泛函分析研究.