王瑞平(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

一類非線性競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的Turing分岔

王瑞平
(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

摘要:為了說明地區(qū)間遷移的重要性及其帶來的影響,首先在競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)的基礎(chǔ)上建立遷移競(jìng)爭(zhēng)模型。然后借助于動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性理論,研究了遷移對(duì)系統(tǒng)的每個(gè)平衡態(tài)的局部動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響,得出兩地間的遷移在四維競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)中可以引起的Turing分岔的結(jié)論,并給出該系統(tǒng)在共存平衡點(diǎn)附近經(jīng)歷Turing分岔的臨界條件。最后結(jié)合現(xiàn)實(shí)分析,得出結(jié)論:遷移是非常重要而不應(yīng)該被忽視的因子,同時(shí)遷移在改變邊界平衡態(tài)穩(wěn)定性中的作用也是比較有限的。

關(guān)鍵詞:Turing分岔;Lotka-Volterra系統(tǒng);遷移

0　引言

19世紀(jì)20年代,Lotka和Volterra為了研究生物群體的發(fā)展演變分別獨(dú)立地提出了Lotka-Volterra系統(tǒng)。Zeeman等[1]把這類系統(tǒng)分為3類:競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)、合作系統(tǒng)以及捕食-食餌系統(tǒng)。其中,競(jìng)爭(zhēng)的Lotka-Volterra系統(tǒng)竟是Smale競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的最簡(jiǎn)單形式。而Smale競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)是具有普適性的,因此競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)就成了許多學(xué)科研究的熱點(diǎn)之一[2-3]。

另一方面,隨著全球經(jīng)濟(jì)的一體化,使得研究具有遷移的競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)成為必然,并得出交叉遷移在二維競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)中只可能引起靜態(tài)分岔[4-6],而在三維競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)中只可能引起Hopf分岔[7-8]的結(jié)論。遺憾的是,以前的研究結(jié)果都不能說明區(qū)域遷移能引起復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)變化,這有點(diǎn)不合實(shí)際。本文通過研究具有遷移的四維競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)的Turing分岔發(fā)現(xiàn):在兩地間的競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra模型中,交叉遷移不僅不能把不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的平衡點(diǎn),同時(shí)也不能改變一些邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。此外,給出這類模型中的遷移使共存的平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性而發(fā)生Turing分岔的臨界條件,從而使得遷移引起復(fù)雜動(dòng)力學(xué)成為一種可能。這一發(fā)現(xiàn)既說明了遷移的重要性,也說明了遷移對(duì)邊界平衡態(tài)的局限性,同時(shí)還在很大程度上縮短了區(qū)域遷移引起的動(dòng)力學(xué)變化中理論和現(xiàn)實(shí)的距離。

1　建立模型

為了說明問題,先從最簡(jiǎn)單的生存在兩地的四種群的競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra模型開始研究。這類生存在兩地的四種群的競(jìng)爭(zhēng)模型可以表述如下:

式中:ui(t,j)表示t時(shí)刻在第j(j=1,2)地區(qū)第i(i=1,2,3,4)種群的總體個(gè)數(shù),可以限定ui(t,j)≥ 0;常數(shù)ri表示第i種群的自身增長(zhǎng)率,假設(shè)ri＞0,即第i種群在無其余種群競(jìng)爭(zhēng)的情況下是自身增長(zhǎng)型的;表示第k種群對(duì)第i種群增長(zhǎng)率的影響;dik≥0(i,k=1,2,3,4且i 6=k)表示遷移系數(shù);密度函數(shù)ρi(ui(t,j))(i=1,2,3,4; j=1,2)為在第j區(qū)域關(guān)于時(shí)間t的ui(t,j)的連續(xù)可微的正函數(shù)且隨ui(t,j)是遞增的。式(1)表達(dá)的是兩地間的遷移速度和競(jìng)爭(zhēng)者的密度成正比。因?yàn)閷?shí)際生活中大部分物種都具有這種性質(zhì),所以式(1)是現(xiàn)實(shí)的合理描述。

如果dik=0(i,k=1,2,3,4;i 6=k),即兩地間不存在遷移時(shí),式(1)就退化為兩個(gè)獨(dú)立的四維競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volttera系統(tǒng)。對(duì)每個(gè)四維競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volttera系統(tǒng),都存在一個(gè)不可分的四維閉不變集Λ,且Λ吸引除原點(diǎn)外系統(tǒng)的所有的解。此時(shí),式(1)的動(dòng)力學(xué)行為可以呈現(xiàn)復(fù)雜的混沌動(dòng)力學(xué)行為[2-3]。一方面,對(duì)于無遷移時(shí)呈現(xiàn)簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)的式(1),在兩區(qū)域具有交叉遷移后,它能呈現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)力學(xué);另一方面,對(duì)于無遷移時(shí)呈現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)的式(1),在具有區(qū)域交叉遷移后,它可能呈現(xiàn)出簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)。這正好解釋了遷移能引起復(fù)雜變化的現(xiàn)象。

但是,當(dāng)dik＞0(i,k=1,2,3,4;i 6=k)時(shí),在式(1)中就會(huì)發(fā)生Turing分岔,而且已經(jīng)證明所研究的Turing分岔都是由于遷移使共存的平衡點(diǎn)失去穩(wěn)定性引起的[6]。接下來,先研究式(1)的所有平衡點(diǎn)的基本動(dòng)力學(xué),然后研究遷移引起的各類分岔,最后再研究遷移引起的復(fù)雜變化。

當(dāng)dik=0(i,k=1,2,3,4;i 6=k)時(shí),若式(1)有正平衡點(diǎn)Ec(u01,u02,u03,u04,u01,u02,u03,u04),顯而易見,當(dāng)dik＞0(i,k=1,2,3,4;i 6=k)時(shí),它仍然是式(1)的正平衡點(diǎn),而且可以通過可逆的尺度變換把此平衡點(diǎn)移到E0(1,1,1,1,1,1,1,1)。變換后的式(1)滿足:

而且它不改變式(1)的拓?fù)湫再|(zhì)。假設(shè)式(1)還滿足:

對(duì)所有di≥0(i=1,2),式(1)都存在的邊界平衡點(diǎn)有以下幾類:① 原點(diǎn)O(0,0,0,0,0,0,0,0);② 只有1個(gè)區(qū)域的1個(gè)種群存活,其余的種群滅亡,如 E ?,0,0,0,0,0,0,0·;③ 只有第i種群在兩地存活,其余種群滅絕的平衡點(diǎn)為Ei(i=1,2,3,4); ④ 只有第i和第k種群在兩地存活,其余種群滅絕的平衡點(diǎn)為Eik(1≤i＜k≤4);⑤ 只有第i,第k和第l種群在兩地存活,另一種群在兩地都是滅絕的平衡點(diǎn)為Eikl(1≤i＜k＜l≤4);⑥ 當(dāng)式(2)成立時(shí),共存平衡點(diǎn)E=E0(1,1,1,1,1,1,1,1)。

2　主要結(jié)果

定理1對(duì)于式(1)有如下結(jié)論:① 原點(diǎn)O(0, 0,0,0,0,0,0,0)是一個(gè)源;② 平衡點(diǎn)Ei(i=1,2, 3,4)總是鞍點(diǎn)的,遷移不能改變Ei(i=1,2,3,4)的不穩(wěn)定性,也不能改變其穩(wěn)定性;③ 遷移不能改變Eik(1≤i＜k≤4)和Eikl(1≤i＜k＜l≤4)的不穩(wěn)定性,但是能使其失去穩(wěn)定性;④ 遷移不能改變E的不穩(wěn)定性。

從定理1可以看到,交叉遷移在式(1)中不能改變所有平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性,同時(shí)也不能改變部分平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。即交叉遷移的影響是有限的。

定理2如果當(dāng)式(1)沒有遷移時(shí),平衡點(diǎn)Eik(1≤ i＜k≤4)是穩(wěn)定的,那么式(1)在該平衡點(diǎn)附近經(jīng)歷Turing分岔的充分必要條件是: det(T1)＜0,det(T1)=0是式(1)經(jīng)歷Turing分岔的臨界條件。這里

ei,ek分別為平衡點(diǎn)Eik(1≤i＜k≤4)對(duì)應(yīng)的第i和第k種群的總數(shù),即對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)的坐標(biāo);ρ0k(ek)表示函數(shù)ρk(uk)在ek處的導(dǎo)數(shù)。

定理3如果當(dāng)式(1)沒有遷移時(shí),平衡點(diǎn)E是穩(wěn)定的充分必要條件是以下4個(gè)不等式成立:

式中:矩陣A=[aij]4×4;tr(A)=a11+a22+a33+a44是矩陣A的跡;Mij(A)代表矩陣A的第i行、j行與第i列、j列交叉得到的2級(jí)子矩陣的行列式;Mijk(A)代表矩陣A的第i行、j行、k行與第i列、j列、k列交叉得到的3子矩陣的行列式; det(A)表示矩陣A的行列式。

定理4當(dāng)式(1)沒有遷移時(shí),平衡點(diǎn)E是穩(wěn)定的,即式(4)成立,那么式(1)經(jīng)歷Turing分岔的充分必要條件是下式的其中1個(gè)不等式成立:

式中:

定理2的結(jié)論說明在邊界平衡點(diǎn)Eik(1≤i＜k≤4)附近只能經(jīng)歷靜態(tài)分岔。這既說明了遷移的有限性,也說明了遷移對(duì)這類平衡點(diǎn)造成的后果是無法預(yù)料的,從而解釋了現(xiàn)實(shí)中一些臨界崩潰的產(chǎn)業(yè)可能因?yàn)橐恍┙?jīng)濟(jì)交流而發(fā)生大的轉(zhuǎn)機(jī)。定理3的結(jié)論說明在共存平衡點(diǎn)E沒有交叉遷移的條件下是穩(wěn)定的充分必要條件,其中式(4)的第1個(gè)不等式永遠(yuǎn)成立,所以如果運(yùn)用定理3時(shí)只需驗(yàn)證式(4)的后面3個(gè)不等式。定理4的結(jié)論說明在式(2)成立的條件下,式(1)在共存平衡點(diǎn)E附近經(jīng)歷Turing分岔的充分必要條件是式(5)中的1個(gè)不等式成立。從這個(gè)結(jié)論可以得知:只是一味地提高交流速度并不能引起Turing分岔,只有當(dāng)經(jīng)濟(jì)交流適中時(shí)才能出現(xiàn)預(yù)期的結(jié)果。

3　結(jié)論

本文研究了遷移在一類競(jìng)爭(zhēng)模型中引起的平衡點(diǎn)的性態(tài)變換。結(jié)果表明,遷移在此類模型中對(duì)邊界平衡態(tài)的影響是有限的,但是對(duì)共存平衡態(tài)的影響是不容忽視的、甚至是復(fù)雜的。這對(duì)我們認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的遷移是非常有幫助的。

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中圖分類號(hào):O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-4543(2015)02-0148-04

收稿日期:2015-02-28

通訊作者:王瑞平(1978–),女,河南省濮陽市人,講師,博士,主要研究方向?yàn)槲⒎址匠毯蛣?dòng)力系統(tǒng)。電子郵箱rpwang@sspu.edu.cn。

基金項(xiàng)目:上海第二工業(yè)大學(xué)?；?No.EGD14XQD14)、上海高校青年教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(No.ZZegd14018)、上海第二工業(yè)大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科“應(yīng)用數(shù)學(xué)”(No.XXKZD1304)資助

Turing Bifurcation in a Kind of Nonlinear Competitive System

WANG Rui-ping
(School of Sciences,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

Abstract:In order to explain importance and effect of migration,competitive model with migration based on competitive Lotka-Volterra system is built.Then by mean of theorem of dynamic system,it studies effects that the migration brings about to local stabilities of all equilibrium.And it proves that Turing-bifurcations can happen in competitive Lotka-Volterra system with migration.Meanwhile, it establishes critical values of the bifurcation parameter at which the system undergoes Turing-bifurcation.Finally,it combines theory with realistic analysis.The conclusion illustrates the migration response is very important factor that should not be ignored and the effect is limited to boundary equilibrium.

Keywords:Turing-bifurcation;Lotka-Voltarra system;migration