☉江蘇省清浦中學(xué) 吳洪生

2015年江蘇高考數(shù)學(xué)《考試說(shuō)明》將“函數(shù)與方程”考點(diǎn)由過(guò)去的A級(jí)要求提升為B級(jí)要求，足見“函數(shù)與方程”在高考中的重要地位.函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著十分密切的聯(lián)系.很多函數(shù)問(wèn)題需要用方程的知識(shí)與方法來(lái)支持；很多方程的問(wèn)題，需要用函數(shù)的知識(shí)與方法去解決.

函數(shù)與方程思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化.一個(gè)函數(shù)若有解析式，那么這個(gè)解析式就可看成一個(gè)方程，如函數(shù)y=f（x）也可看成二元方程f（x）－y=0；反之，一個(gè)二元方程，兩個(gè)變量存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，那么這個(gè)方程就可看成函數(shù).

一、教學(xué)目標(biāo)要求

（1）理解并掌握“一個(gè)定理”、“兩個(gè)轉(zhuǎn)化”.

“一個(gè)定理”即函數(shù)零點(diǎn)存在定理：條件①f（x）在區(qū)間［a，b］上連續(xù)；②f（a）·f（b）＜0.結(jié)論：存在c∈（a，b），使得f（c）=0.

兩個(gè)轉(zhuǎn)化：①零點(diǎn)與方程的根的相互轉(zhuǎn)化：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)?方程f（x）=0的根；②零點(diǎn)與函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)?函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)y=f（x）－g（x）的零點(diǎn)?函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).特別地，如果f（x）=g（x）－a，則函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)?函數(shù)y=g（x）的圖像與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo).透徹理解“函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”的意義是實(shí)現(xiàn)上述轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵.

（2）通過(guò)復(fù)習(xí)使學(xué)生強(qiáng)化對(duì)函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)而解決函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根及相關(guān)參數(shù)問(wèn)題.提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

二、把握函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵

函數(shù)問(wèn)題的方程思想，方程問(wèn)題的函數(shù)視角，是函數(shù)與方程思想在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的具體體現(xiàn).

（一）從函數(shù)視角研究方程根的問(wèn)題

函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是通過(guò)建立函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像、性質(zhì)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.函數(shù)思想不僅僅是用函數(shù)的方法研究問(wèn)題，更重要的是產(chǎn)生函數(shù)的方法，上升到思想高度主動(dòng)思考問(wèn)題.方程問(wèn)題的函數(shù)視角就是利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)來(lái)研究方程的根及其范圍問(wèn)題.

1.用函數(shù)圖像研究方程根的問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)畫出h（x）的圖像，如圖1，h（x）=1及h（x）=－1各有2個(gè)實(shí)數(shù)根.所以方程|f（x）+g（x）|=1的實(shí)根個(gè)數(shù)為4.

圖1

點(diǎn)評(píng)：由函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖像的交點(diǎn)三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可知，圖像法是解決方程根的問(wèn)題的最常用方法，圖像也是它們之間聯(lián)系的橋梁.本題函數(shù)h（x）的圖像比較難畫，需要綜合運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí).

2.用函數(shù)奇偶性研究方程根的問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)圖像與x軸正半軸有交點(diǎn)必與負(fù)半軸有交點(diǎn)，因此，對(duì)于奇、偶函數(shù)零點(diǎn)的研究，往往只需考慮大于0或小于0的零點(diǎn)，便知另一側(cè)的零點(diǎn)情況.

3.用函數(shù)對(duì)稱性研究方程根的問(wèn)題

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題三次應(yīng)用對(duì)稱關(guān)系，函數(shù)本身是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩次局部應(yīng)用軸對(duì)稱，從而把求5個(gè)根和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x5.輕松解決了貌似很難的問(wèn)題.

4.用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問(wèn)題

例4 已知方程ax3－3x2+1=0存在唯一的根x0，且x0＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

解析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax3－3x2+1.

若a＞0，則f（－1）=－a－2＜0，f（0）=1＞0，所以f（x）存在負(fù)的零點(diǎn)，不合題意.

綜上，a的取值范圍是（－∞，－2）.

點(diǎn)評(píng)：本題首先將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)勾畫函數(shù)草圖，依題意可知f（x）的極小值大于0，從而確定a的取值范圍.

5.用函數(shù)伸縮變換研究方程根的問(wèn)題

圖3

注意：（1）f（1）=f（2）=f（22）=f（23）=…=f（210）=0；

所以，兩函數(shù)圖像共有11個(gè)交點(diǎn)，方程2xf（x）－3=0在區(qū)間（1，2015）上有11個(gè)根.

點(diǎn)評(píng)：本題的本質(zhì)是借助函數(shù)圖像研究方程的根，但作函數(shù)圖像包含圖像的伸縮變換，因此作圖較為困難，必須熟練掌握伸縮變換規(guī)律.

6.用函數(shù)單調(diào)性研究方程根的問(wèn)題

例6 設(shè)函數(shù)f（x）=x3+2x2－4x+2a.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）關(guān)于x的方程f（x）=a2在［－3，2］上有三個(gè)相異的實(shí)根，求a的取值范圍.

解析：（1）f′（x）=3x2+4x－4.

（2）由f（x）=a2?x3+2x2－4x－a2+2a=0，

構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3+2x2－4x－a2+2a.

所以g′（x）=3x2+4x－4.

解得－2＜a≤－1或3≤a＜4.

點(diǎn)評(píng)：（1）先求f′（x），由f′（x）=0求出極值點(diǎn)，再討論單調(diào)性；（2）利用（1）及函數(shù)f（x）的大致圖形，找到滿足題設(shè)的a的條件.

7.用函數(shù)周期性研究方程根的問(wèn)題

例7 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當(dāng)x∈（－1，4］時(shí)，f（x）=x2－2x，則函數(shù)f（x）=0在［0，2013］上的根的個(gè)數(shù)是_______.

解析：由f（x）+f（x+5）=16，可知f（x+5）+f（x+10）=16，則f（x）=f（x+10），所以f（x）是以10為周期的周期函數(shù).在一個(gè)周期（－1，9］上，函數(shù)f（x）=x2－2x在x∈（－1，4］內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，在x∈（4，9］內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，故f（x）在一個(gè)周期上僅有3個(gè)零點(diǎn)，由于區(qū)間（3，2013］中包含201個(gè)周期，又x∈［0，3］時(shí)也存在一個(gè)零點(diǎn)x=2，故f（x）=0在［0，2013］上的根的個(gè)數(shù)為3×201+1=604.

點(diǎn)評(píng)：周期性是函數(shù)的一種重要性質(zhì)，一般來(lái)講，當(dāng)所研究的區(qū)間相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)，題目往往與周期性有關(guān).

（二）用方程思想研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

方程思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過(guò)設(shè)（未知量）、列（方程（組））、解（方程（組））等步驟，達(dá)到求值目的的解題思路和策略，它是解決各類計(jì)算問(wèn)題的基本思想.函數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題或兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，常常化動(dòng)為靜，轉(zhuǎn)化為方程的根來(lái)解，這就是函數(shù)問(wèn)題的方程思想.

1.可通過(guò)直接解方程研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

解析：令f（x）=t，方程f（t）－1=0的根為t1=0，t2=2，由f（x）=0，得x1=1；由f（x）=2，得x2=4.故有2個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：直接求零點(diǎn)，令f（x）=0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

2.可通過(guò)三角方程研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

例9 （2012年高考湖北文）函數(shù)f（x）=xcos2x在區(qū)間［0，2π］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的零點(diǎn)相對(duì)于我們常見的初等函數(shù)的零點(diǎn)要復(fù)雜一些，需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)的圖像、特殊值、取值范圍等知識(shí).例9主要考查三角函數(shù)特殊值，例10綜合考查三角變換、輔助角公式、取值范圍、函數(shù)零點(diǎn)等考點(diǎn).

3.可通過(guò)方程運(yùn)算研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

A.x1x2＜1 B.x1x2＞x1+x2

C.x1x2＜x1+x2D.x1x2=x1+x2

4.可用二次方程根的分布研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

圖4

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)是方程與不等式的“中介”，它們既有區(qū)別，又聯(lián)系緊密.本題主要是通過(guò)二次方程根的研究，來(lái)探究函數(shù)的零點(diǎn)，而研究二次方程根的分布，又依賴于不等式理論的支撐.本題是對(duì)函數(shù)與方程的綜合考查.

三、總結(jié)提煉，登高望遠(yuǎn)

高三復(fù)習(xí)的主要目的就是提煉并建構(gòu)數(shù)學(xué)思想方法體系，使解題策略與方法明確化、系統(tǒng)化.復(fù)習(xí)課的首要任務(wù)是把學(xué)生先前所學(xué)的知識(shí)連成線、鋪成面、織成網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通.這就要求我們登高望遠(yuǎn)，站在思想方法的高度進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)，不僅要讓學(xué)生知道解題的方法、有幾種方法？更應(yīng)讓學(xué)生了解這些方法有何聯(lián)系？是如何發(fā)現(xiàn)的？這樣才能有效提高復(fù)習(xí)的效率.如果說(shuō)數(shù)學(xué)思想方法是根，那么解題方法就是葉，正所謂根深自然葉茂.

“函數(shù)與方程”是高三復(fù)習(xí)的核心內(nèi)容與基本思想，一直受到高考命題專家的青睞，通過(guò)對(duì)這一思想方法的考查，可以檢測(cè)學(xué)生的思維能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化.對(duì)于此類問(wèn)題的探究與考查，大多考查零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及字母的取值范圍.（1）零點(diǎn)個(gè)數(shù)的考查主要是利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)或?qū)?yīng)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)研究；（2）字母取值范圍問(wèn)題的考查主要是：①根據(jù)平移理論，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)平移直線，進(jìn)而確定字母的范圍；②轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來(lái)加以研究.因此，用“函數(shù)與方程思想”破解“函數(shù)零點(diǎn)與方程的根”，僅是數(shù)學(xué)思想方法論的一方面，還可通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想去解決，或多種數(shù)學(xué)思想方法聯(lián)合應(yīng)用.