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[摘 要] 本文根據(jù)“多邊形（第2課時）”的教學目標，通過“過程教育”指導下的多次螺旋式教學探索與反思，以及初步的理論求證與實踐驗證表明，探索中形成的教學操作方法能落實其全面、和諧的教學目標.

[關(guān)鍵詞] 過程教育；多邊形；教學探索；教學點評

課例背景

“過程教育”是旨在滿足學生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展的需要，關(guān)注數(shù)學結(jié)果形成、應用的過程和獲得數(shù)學結(jié)果（或解決問題）之后反思過程的育人活動. 浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊“4.1多邊形（第2課時）”是認識多邊形的繼續(xù)——從三角形、四邊形的內(nèi)角和與外角和定理到n邊形（n≥5）的內(nèi)角和與外角和定理，其主要教學目標是：探索多邊形的內(nèi)角和；能發(fā)現(xiàn)并證明多邊形內(nèi)角和與外角和公式；能感悟蘊涵的類比思想、歸納思想、化歸思想等；參與嘗試知識應用的活動；會用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決簡單的幾何問題；能積淀用數(shù)學知識解決問題的數(shù)學活動經(jīng)驗. 那應選擇怎樣的載體和運用怎樣的方法以落實其全面、和諧的教學目標呢？筆者在過程教育指導下多次螺旋式教學探索與反思的基礎(chǔ)上，將形成的教學經(jīng)驗在象山縣骨干教師帶徒活動中進行了再實踐，得到了同仁的認可，現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

教學實錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷提出問題的過程——明確研究的問題

師：我們知道，三角形的內(nèi)角和是180°，外角和是360°；四邊形的內(nèi)角和是360°，外角和是360°. 那n邊形（n≥5）的內(nèi)角和與外角和分別是多少呢？這節(jié)課我們就來探討這個問題（揭示課題）.

環(huán)節(jié)2：探索多邊形的內(nèi)角和——形成多邊形的內(nèi)角和定理

師：現(xiàn)在請大家用適當?shù)姆椒ㄌ骄坎⑻顚懕?.

（約3分鐘后）

師：大家從表中能得到什么結(jié)論？

生1：n邊形從某頂點出發(fā)有（n-3）條對角線.

生2：n邊形能劃分成（n-2）個三角形.

生3：n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°（n≥3）.

生4：n邊形的外角和是360°.

師：好的. 但從特殊到一般歸納得到的結(jié)論不一定正確，需要用推理的方法來證明. 誰能類比證明四邊形內(nèi)角和定理的方法來證明n邊形內(nèi)角和的命題？

生5：如圖1，對于n邊形，從某一頂點出發(fā)的（n-3）條對角線把n邊形劃分成（n-2）個三角形，所以n邊形的內(nèi)角和就等于這（n-2）個三角形所有內(nèi)角之和，即n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°（n≥3）.

師：好的. 你運用了化歸思想——把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.

生6：也可用圖2、圖3、圖4的方法，把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.

師：非常好！這說明化歸的方法具有多樣性.

師：這樣，我們就證明了這個命題是真命題——n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°（n≥3）.

師：這個定理（也稱公式）以后會經(jīng)常用到.

師：n邊形（n≥3）的外角和是多少？為什么？

生7：n邊形（n≥3）的外角和為360°，因為每一個外角與和它相鄰的內(nèi)角互補，所以n邊形的外角和（每一個頂點只取一個外角）為n×180°-（n-2）×180°=360°.

師：好的. 這個定理也可以利用圖5來進行直觀解釋……

師：n邊形的n個內(nèi)角中最多有幾個銳角？為什么？

生8：n邊形最多有三個銳角，因為n邊形的外角和是360°.

師：你的推理完全正確！

環(huán)節(jié)3：參與嘗試知識應用的活動——合作解答有代表性的問題

師：現(xiàn)在請大家解答下列問題.

問題1：（1）十邊形的內(nèi)角和是多少？外角和呢？

（2）若n邊形的內(nèi)角和是1800°，則n=______.

（3）若n邊形的每個外角都等于72°，則n=______.

（約2分鐘后）

師：誰來回答第（1）問？

生9：1440°；360°.

師：好的，誰來回答第（2）問？

生10：12.

師：好的，誰來回答第（3）問？

生11：5.

師：好的，解答上述問題的依據(jù)是什么？

生12：解題的依據(jù)是多邊形的內(nèi)角和與外角和定理.

師：不錯，下面請大家合作解答下列問題（課本中的例2）.

問題2：如圖6，若AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，則∠A+∠C+∠E是多少度？

師：請大家先分析解決這個問題的策略.

生13：要求∠A+∠C+∠E的度數(shù)，只要分別求出這三個角的度數(shù)即可.

生14：不行，因為圖形的變化會引起角度的變化.

師：有道理，這條常規(guī)思路不能用于解決本題.

生15：由于6個角的和已知，可以尋找角與角的關(guān)系.

師：不錯，這是一種思考的方向.

生16：將六邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.

師：值得思考，這是化歸思想——化復雜圖形為簡單圖形.

師：現(xiàn)在請大家用生15或生16的思路來嘗試解決這個問題.

（約3分鐘后）

師：誰來交流解題過程？

生17：如圖7，連結(jié)AD，因為AB∥DE，CD∥AF（已知），所以∠1=∠3，∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. 所以∠1+∠2=∠3+∠4，即∠FAB=∠CDE. 同理，∠B=∠E，∠C=∠F. 因為∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠C+∠E=×720°=360°.

生18：如圖8，分別延長AB，CD，EF三邊構(gòu)成△PQR，因為DE∥AB，所以∠1=∠R，同理，∠2=∠R，所以∠1=∠2. 所以∠CDE=∠FAB. 同理，∠AFE=∠BCD，∠ABC=∠DEF. 因為∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=×720°=360°.endprint

生19：如圖9，分別延長AB，CD，EF三邊構(gòu)成△PQR，因為DE∥AB，所以∠2=∠R，同理∠1=∠P，∠3=∠Q. 因為∠FAB=∠Q+∠1，∠DEF=∠P+∠2，∠BCD=∠R+∠3，∠P+∠Q+∠R=180°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=2（∠P+∠Q+∠R）=2×180°=360°.

師：好的. 在求解上述問題的過程中，你獲得了哪些數(shù)學活動經(jīng)驗？

生20：解題之前的分析是發(fā)現(xiàn)解題思路的關(guān)鍵；利用平行線的性質(zhì)能實現(xiàn)角之間的相互轉(zhuǎn)化（或能發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系）；將復雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形是解題的基本策略.

師：非常好！解題之前分析、利用輔助線作橋梁、運用化歸思想等是解題的基本經(jīng)驗.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）獲得多邊形內(nèi)角和定理經(jīng)歷了哪幾個步驟？

（3）證明多邊形內(nèi)角和定理的基本策略是什么？

（4）你在學習過程中有何感觸？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師進行評價.

第三，在此基礎(chǔ)上，教師總結(jié)本節(jié)課的研究方法：發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和定理采用了特殊到一般的歸納方法；證明多邊形內(nèi)角和定理運用了化歸思想——化未知為已知；化復雜為簡單.

教學點評

根據(jù)過程教育的含義，基于過程教育的數(shù)學教學需要全面的教學內(nèi)容、完整的認知過程、和諧的教學方法，本節(jié)課的教學操作符合基于過程教育的數(shù)學教學基本條件，對促進學生全面、和諧發(fā)展有積極的影響.

首先，教學內(nèi)容體現(xiàn)了全面的教學內(nèi)容觀. 基于過程教育的數(shù)學教學的教學內(nèi)容應當全面——不僅包括數(shù)學結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成與應用的過程和蘊涵的數(shù)學思想方法. 本節(jié)課的教學內(nèi)容體現(xiàn)了全面的教學內(nèi)容觀，其教學內(nèi)容不僅包括多邊形內(nèi)角和與外角和定理，也包括定理的形成與應用的過程，蘊涵的類比思想、歸納思想、化歸思想等，以及用定理解決幾何問題的數(shù)學活動經(jīng)驗. 這是落實其全面、和諧的教學目標的前提.

其次，認知過程體現(xiàn)了完整的認知過程觀. 基于過程教育的數(shù)學教學認知過程應當完整——既有認知過程“前半段”，也有認知過程“后半段”. 對整節(jié)課來說，認知過程前半段的主要任務是獲得數(shù)學結(jié)果；認知過程后半段的主要任務是用獲得的數(shù)學結(jié)果解決具體問題. 對于每個教學環(huán)節(jié)來說，認知過程前半段是感性到理性的認識過程，以獲得數(shù)學結(jié)果（或解決問題）；認知過程后半段是理性認識的加深過程，以欣賞數(shù)學結(jié)果和感悟蘊涵的數(shù)學思想方法和積淀蘊涵的數(shù)學活動經(jīng)驗. 本節(jié)課體現(xiàn)了完整的認知過程觀——既有多邊形內(nèi)角和與外角和的探索與證明認知過程，以獲得多邊形內(nèi)角和與外角和定理；也有獲得定理之后反思的認知過程，以欣賞定理和感悟蘊涵的數(shù)學思想等；既有用獲得的定理解決具體問題的認知過程，以鞏固定理和發(fā)展智慧技能；也有解決問題之后反思的認知過程，以積淀用定理解決問題的數(shù)學活動經(jīng)驗. 這是落實其全面、和諧的教學目標的關(guān)鍵.

第三，教學方法體現(xiàn)了和諧的教學方法觀. 基于過程教育的數(shù)學教學方法應當和諧——不僅包括教師準確、清晰、富有啟發(fā)性的講解，也包括有助于學生經(jīng)歷實質(zhì)性思維過程的價值引導（以好的“題材”為載體、有導學味的問題引導、有啟發(fā)性的語言點撥、設(shè)置認知提示語、必要的辨析與干預、適時評價與追問等），以激發(fā)學生的學習興趣、引發(fā)學生的思考、培養(yǎng)學生良好的學習習慣，使學生掌握恰當?shù)膶W習方法. 本節(jié)課的教學方法體現(xiàn)了和諧的教學方法觀，例如，課本中例2的教學（由于上節(jié)課的鋪墊，探索并證明多邊形的內(nèi)角和不是教學難點，求解課本中的例2是教學難點），首先，教師引導學生分析求解策略，以獲得求解思路；其次，教師組織學生探索并交流求解方法，以獲得多樣化的解題方法；第三，教師在總結(jié)性講解的基礎(chǔ)上引導學生反思，以積累解題經(jīng)驗和感悟蘊涵的化歸思想等，這是落實其全面、和諧的教學目標的可靠保證.

總之，在數(shù)學教學中要實現(xiàn)知識、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一，需要教師增強揭示數(shù)學結(jié)果所蘊涵的思維活動過程的自覺性，而引導學生經(jīng)歷實質(zhì)性思維過程需要教師貫徹啟發(fā)式教學思想——以符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的題材為載體，運用教師價值引導與學生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的教學方法，使學生經(jīng)歷“過程”中的思維“站點”，從而促進學生全面、和諧的發(fā)展.endprint