孫運(yùn)斌

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院內(nèi)蒙古包頭014030）

量子力學(xué)中庫侖勢場問題的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

孫運(yùn)斌

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院內(nèi)蒙古包頭014030）

本文對量子力學(xué)庫侖勢場問題求解過程進(jìn)行了匯總，將數(shù)理方法中相關(guān)方程求解過程整合進(jìn)入庫侖勢場問題求解過程，并對與求解物理問題關(guān)聯(lián)性較小的環(huán)節(jié)進(jìn)行精簡，保留與具體物理問題求解關(guān)系較為緊密的部分并進(jìn)行深入討論。論文對于增進(jìn)學(xué)生對該問題求解過程中物理量間關(guān)聯(lián)的理解、提升課堂教學(xué)效果具有較為重要的意義。

庫侖勢場問題是量子力學(xué)課程中重要的教學(xué)內(nèi)容，也是教學(xué)難點(diǎn)之一。[1,2]由于該問題求解過程涉及到的數(shù)學(xué)問題較為繁雜，實(shí)際教學(xué)過程中一般將求解過程提前在數(shù)學(xué)物理方法中進(jìn)行，在量子力學(xué)課程中直接引用數(shù)理方法中給出的結(jié)論。[3]這一教學(xué)方式優(yōu)點(diǎn)在于極大地提高量子力學(xué)教學(xué)的效率，加快課程進(jìn)度；而其缺點(diǎn)在于數(shù)理方法在實(shí)際教學(xué)過程中一般前置于量子力學(xué)課程，因而在學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)方程求解求解過程時并不能很好地理解各個參數(shù)的物理意義，因而對于各個物理參數(shù)的依賴關(guān)系尤其是主量子數(shù)、角量子數(shù)與磁量子數(shù)間的取值依賴關(guān)系難以形成直觀的認(rèn)識。為解決這一問題，本文對庫侖勢場問題求解過程進(jìn)行精煉，將整個求解過程壓縮

至可接受的教學(xué)課時量，并盡可能保留與實(shí)際問題關(guān)聯(lián)緊密的過程，以期提升該章節(jié)的課堂教學(xué)效果。

一、極坐標(biāo)庫侖勢場問題及分離變量

在球極坐標(biāo)體系下，庫侖勢場的薛定諤方程為：

其解應(yīng)為r,θ和φ的共同函數(shù)Ψ(r,θ,φ)，如這一函數(shù)可以描述為r的函數(shù)即徑向函數(shù)R(r )與θ,φ的共同函數(shù)Y(θ,φ)乘積的形式，即方程可分離變量為：

二、函數(shù)的求解

1. Γ()φ函數(shù)的求解

很顯然（5）式的解為：

2. Χ(θ)函數(shù)的求解

此方程稱為連帶勒讓德方程，其中當(dāng)m=0時，稱為勒讓德方程。一般求解過程是先求解較為簡單的勒讓德方程，再求解復(fù)雜的連帶勒讓德方程。在本問題中，為體現(xiàn)角動量平方與角動量z分量的關(guān)聯(lián)，我們直接求解連帶勒讓德方程，勒讓德方程的解可以將m=0代入結(jié)果中給出，為實(shí)現(xiàn)對這一方程的求解，我們需對Χ函數(shù)進(jìn)行如下代換：

代入上式并整理同冪次項(xiàng)得：

進(jìn)一步簡化為：

冪級數(shù)求和等于零，要求各個冪次的系數(shù)進(jìn)行求和后均為零，因而不難看出由Κ(x)展開的級數(shù)冪次系數(shù)應(yīng)滿足如下關(guān)系：

由級數(shù)的收斂判據(jù)可以判斷，該級數(shù)收斂半徑為1，且在收斂半徑上不收斂。而其變量x的取值范圍為，很明顯，在x=1即時，函數(shù)不收斂，因而，要獲得滿足有限性條件的函數(shù)，必須另此級數(shù)在某一項(xiàng)以后均為零，使級數(shù)截?cái)酁槎囗?xiàng)式，相關(guān)的討論我們在處理一維線性諧振子問題時已經(jīng)進(jìn)行過討論，即使所有奇次冪項(xiàng)系數(shù)均為零，偶次冪項(xiàng)從某一項(xiàng)開始更高冪次系數(shù)為零；或所有偶次冪項(xiàng)系數(shù)均為零，奇次冪項(xiàng)從某一

項(xiàng)開始更高冪次系數(shù)為零。由上式可以看出，另υ+2次冪項(xiàng)系數(shù)Cυ+2為零的條件為：

即

其中υ為奇數(shù)展開的冪次，只能為0或正整數(shù)，而m為磁量子數(shù)，只能為整數(shù)，因此λ的取值只能取? 2乘以某一整數(shù)乘以這一整數(shù)加1的倍數(shù)這一形式，我們將這一整數(shù)稱為角量子數(shù)，即為l，則有：

當(dāng)確定了λ或角量子數(shù)l的取值后，Κ(x)函數(shù)的形式即可得以確定，即一個最高冪次為l，且僅包含奇次冪或偶次冪的求和多項(xiàng)式。該多項(xiàng)式的計(jì)算方法十分簡便，對于一個角量子數(shù)l與磁量子數(shù)m已給定的狀態(tài)。我們可以假設(shè)最低冪次即0次冪項(xiàng)或1次冪項(xiàng)系數(shù)為1，利用Cυ+2與Cυ間的遞推關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行遞推，直到遞推到l次冪項(xiàng)系數(shù)即最后一項(xiàng)非零項(xiàng)的系數(shù)為止。再將Κ(x)函數(shù)乘以(1-x2)m2即可得Χ(x )函數(shù)，將變量x替換回cos(θ)可得Χ(θ)函數(shù)，在于關(guān)于φ的函數(shù)乘積并進(jìn)行歸一化，即可得算符的本征函數(shù)Ylm(θ,φ)，其中下標(biāo)lm代表這一函數(shù)的形式取決于角量子數(shù)與磁量子數(shù)，由數(shù)學(xué)物理方法中已學(xué)習(xí)到，這一函數(shù)稱為球諧函數(shù)。球諧函數(shù)既是角動量平方算符與角動量z分量算符的共同本征函數(shù)，也是庫侖勢場問題波函數(shù)的角度部分。

關(guān)于角量子數(shù)l，有兩點(diǎn)需要注意：

第一點(diǎn)：將l與-l-1代入方程所得結(jié)果完全相同，即l可以作為一個負(fù)

第二點(diǎn)：當(dāng)l取一正整數(shù)值時，由于冪次υ僅能取0或正整數(shù)，m取值應(yīng)小于或等于l，否則無法獲得滿足有限性的解，即必須有m≤l；當(dāng)m為負(fù)值時，函數(shù)有有限解的條件并為約束m絕對值的取值，但從物理量關(guān)系角度來看，當(dāng)m絕對值大于l，即時，必有m2＞l(l+1)，因而會出現(xiàn)角動量z分量平方大于角動量平方的情況，而角動量x分量和y分量的平方只能為0或正數(shù)，因而從物理量關(guān)系角度而言，磁量子數(shù)m的絕對值絕不能大于角量子數(shù)l。

3. 即徑向函數(shù)R(r)的求解

對于徑向函數(shù)的求解，一般量子力學(xué)教材進(jìn)行了較為完整的推導(dǎo)與證明，在此僅對針對角量子數(shù)l與主量子數(shù)n間聯(lián)系的部分進(jìn)行重點(diǎn)討論，對于（2）式所示的徑向方程，當(dāng)進(jìn)行以下常量、變量及函數(shù)的代換，

注意當(dāng)ρ→0時，如果如果u(r )函數(shù)不比1r函數(shù)更快地趨向于0的話將會導(dǎo)致R(r)在r=0位置處取值為無限大，因而當(dāng)ρ→0時，u(r)函數(shù)必須趨向于0。利用波函數(shù)有限條件，可以得到在ρ→∞與ρ→0時，方程的趨近解分別為：

這里注意到，角量子數(shù)l，此時是作為ρ→0時函數(shù)的冪指數(shù)出現(xiàn)的，當(dāng)然我們可以將l取為負(fù)值并將ρ→0時函數(shù)的趨近行為描述為：

但很明顯，這一描述并不會改變問題的本質(zhì)，即與量子數(shù)l相聯(lián)系的現(xiàn)象為：

院

[1]量子力學(xué)教程(第二版)周世勛陳灝北京：高等教育出版社2009

[2]量子力學(xué)教程曾瑾言北京：科學(xué)出版社2003

[3]數(shù)學(xué)物理方法喬文華張占山趙建軍呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué)出版社2007

孫運(yùn)斌男博士講師1984年4月出生

院