顧 穎, 陳 新

(1.宿遷學(xué)院 教師教育系, 江蘇 宿遷 223800; 2.南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

求解廣義模糊線性系統(tǒng)的一類迭代法

顧 穎1, 陳 新2

(1.宿遷學(xué)院 教師教育系, 江蘇 宿遷 223800; 2.南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

研究給出了求解廣義相容模糊線性系統(tǒng)和不相容系統(tǒng)的一類迭代法,給出兩個(gè)數(shù)值例子.結(jié)果表明,無論系統(tǒng)相容與否,該迭代法都能快速求出它的極小解或極小最小二乘解.

廣義模糊線性系統(tǒng); 極小解; 極小最小二乘解; 迭代法

0 引言

考慮廣義模糊線性系統(tǒng)

Ax=b

(1)

其中系數(shù)矩陣A為m×n實(shí)矩陣,未知項(xiàng)x和右端項(xiàng)y為模糊數(shù).當(dāng)(1)為相容系統(tǒng)時(shí),求出它的解,否則考慮最小二乘解.在這所有的解或最小二乘解中,人們最為關(guān)注的又是具有極小范數(shù)的那一個(gè).

B.Asady[1]通過嵌入式方法,將該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)求解2m×2n線性方程組

(2)

SX=Y

(3)

通過求解此矩陣方程得到當(dāng)式(1)或式(2)為相容系統(tǒng)時(shí)的極小解,但該迭代法的一個(gè)主要的局限性是它對(duì)不相容的系統(tǒng)是無效的.

本文以矩陣方程(3)為模型,給出了求解廣義模糊線性系統(tǒng)的一種算法.該算法的特點(diǎn)是無需事先判斷系統(tǒng)是否相容,便可直接求出它的極小解或極小最小二乘解.

1 預(yù)備知識(shí)

其中1≤i≤m則稱模糊數(shù)向量x=(x1,x2,…,xn)T為廣義模糊線性系統(tǒng)的一個(gè)解.

將廣義模糊線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為矩陣方程(3)，由廣義模糊線性系統(tǒng)(1)中的第i個(gè)方程

可得如下方程組

其中1≤i≤m,0≤r≤1，于是,廣義模糊線性系統(tǒng)(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知量

右端向量

若aij≥0,則

Sij=Si+m,j+n=aij,Si+m,j=Si,j+n=0.

若aij<0,則

因此矩陣方程SX=Y又可寫作

(4)

2 主要結(jié)果

對(duì)于形如AX=B的矩陣方程,王金林[5]等人給出了求解它的一種有效算法.本文中廣義模糊線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化所得的矩陣方程(3)或(4)是它的一種特殊情況.現(xiàn)將該算法應(yīng)用于式(3)或(4),從而得到求解廣義模糊線性系統(tǒng)(1)或(2)的一種算法.

對(duì)于式(3),構(gòu)造迭代格式

Xk+1=Xk+βSTRk,Rk=Y-SXk,k=0,1,2，…，

初始值X0=STD(D為任一2m×2矩陣);β為一非零實(shí)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)β滿足

(5)

時(shí),迭代法收斂,其中?表示克羅內(nèi)克乘積.為了節(jié)約存儲(chǔ)空間并減少計(jì)算量,現(xiàn)依據(jù)矩陣方程(3)的另一種形式(4)書寫該算法.

算法: 1)選取滿足式(5)的實(shí)數(shù)β和任意兩個(gè)m×2階矩陣D1,D2;

3)令k=1;

如果‖Xk+1-Xk‖

根據(jù)文[5]的結(jié)論,若矩陣方程(3)或(4)相容,迭代法所得結(jié)果為它的極小解,否則為極小最小二乘解.據(jù)此可知,若廣義模糊線性系統(tǒng)(1)或(2)相容,則本算法所得結(jié)果為其極小解;若不相容,則結(jié)果為其極小最小二乘解.相比 Feng[4]的算法,該算法無需事先判斷系統(tǒng)相容與否便可直接進(jìn)行求解.

3 數(shù)值例子

例1[2]考慮2×3相容廣義模糊線性系統(tǒng)

在Zheng[2]等人通過計(jì)算系數(shù)矩陣S的Moore-Penrose 逆求得該相容模糊系統(tǒng)的極小解.此處應(yīng)用本算法,利用 Matlab 編程計(jì)算,只需迭代40次,耗時(shí)0.092016s便可得到如下近似解

其誤差不超過1.0×10-7.

由此進(jìn)一步得到原模糊線性系統(tǒng)的極小解為

若 Feng[4]的算法僅需3步便可得到如上精度的解,但是它僅對(duì)相容的廣義模糊線性系統(tǒng)有效.

例2[3]考慮2×3不相容廣義模糊線性系統(tǒng)

在 Wang[3]等人通過計(jì)算系數(shù)矩陣S的 Moore-Penrose 逆求得該不相容模糊系統(tǒng)的極小最小二乘解.此處應(yīng)用本算法,利用 Matlab 編程計(jì)算,迭代40次,耗時(shí)0.118716s得到

其誤差不超過1.0×10-7.

由此進(jìn)一步得到原不相容模糊線性系統(tǒng)的極小最小二乘解為

因?yàn)檫@是不相容的系統(tǒng),所以Feng[4]的算法對(duì)本例無效.

[1]Asady B,Abbasbandy S,Alavi M. Fuzzy general linear systems[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,169(1):34-40.

[2]Zheng B,Wang K. General fuzzy linear system[J]. Applied Mathematics and Computation,2006,181(2):1276-1286.

[3]Wang K, Zheng B. Inconsistent fuzzy linear system[J]. Applied Mathematics and Computation,2006,181(2):973-981.

[4]Feng Y. An iterative method for fuzzy linear systems[J]. in: Fifth Interational conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery (FSKD’08), IEEE, 2008,1(1):565-569.

[5]王金林, 張帆.一類矩陣方程的迭代解法[J].南昌航空大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008, 22(1): 40-42.

GU Ying1, CHEN Xin2

[責(zé)任編輯：李春紅]

AnIterativeMethodforSolvingGeneralFuzzyLinearSystems

(1.Department of Teachers Education, Suqian College, Suqian Jiangsu 223800, China);

(2.School of Mathematical Science, Nanjing Normal University, Nanjing Jiangsu 210046, China)

It studies an iterative method for solving consistent and inconsistent general fuzzy linear systems. Two numerical examples are given to illustrate that the minimal solution or minimal least squares solution can be obtained quickly by this method no matter the system is consistent or not.

general fuzzy linear systems; minimal solution; minimal least squares solution; iterative method

2015-03-29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271196); 江蘇省教育廳自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(07KJD110094)

顧穎(1986-),女,江蘇宿遷人,講師,碩士,研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù). E-mail: guying-1986@126.com

O241

: A

: 1671-6876(2015)02-0100-04