【摘 要】如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題，避免“能聽懂，做不對(duì)”的現(xiàn)象？準(zhǔn)確運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)，引導(dǎo)學(xué)生獲得思路是數(shù)學(xué)教學(xué)中值得關(guān)注的問題。

【關(guān)鍵詞】啟發(fā)性提示語(yǔ);高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）22-0037-03

【作者簡(jiǎn)介】董榮森，江蘇省懷仁中學(xué)（江蘇無錫，214196）教師。

啟發(fā)性提示語(yǔ)是對(duì)波利亞提出的“元認(rèn)知提示語(yǔ)”在數(shù)學(xué)教學(xué)上的補(bǔ)充。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師除了運(yùn)用元認(rèn)知提示語(yǔ)對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)外，還可借助認(rèn)知提示語(yǔ)進(jìn)行啟發(fā)。波利亞在《怎樣解題》中明確指出：第一，必須理解題目;第二，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系，如果找不到直接的聯(lián)系，需考慮輔助題目，最終找到解題方案;第三，執(zhí)行方案;第四，檢查已經(jīng)得到的解答。因此，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題，筆者認(rèn)為，首先要引導(dǎo)學(xué)生知道如何運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)來審題，認(rèn)清題目的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立題目的條件、結(jié)論與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的準(zhǔn)備;其次根據(jù)已知條件和所要解決的問題之間的關(guān)系，運(yùn)用啟發(fā)性元認(rèn)知提示語(yǔ)來尋找解題思路，探索解題的途徑，有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已知類型，選擇最優(yōu)解法、最佳解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，再確定解題計(jì)劃;再次將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)實(shí)在在地付諸實(shí)踐，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^程的方法，并且書寫解答與結(jié)果;最后回顧反思，在求得最終結(jié)果后，運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)來檢查并分析結(jié)果，探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識(shí)，將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。

由啟發(fā)性提示語(yǔ)轉(zhuǎn)換的問題，不是簡(jiǎn)單的文字瀏覽和在思想上的一掠而過，而是對(duì)每一個(gè)對(duì)象的意義、性質(zhì)、不同對(duì)象的關(guān)系的深入思考與探究，特別是能否轉(zhuǎn)化為其他的意義與關(guān)系。這些思考并不是孤立進(jìn)行的，而是貫穿于上述所有問題之中的。這是用于數(shù)學(xué)解題最基本的思考方法，當(dāng)然不是萬能的方法。

一、“啟發(fā)性提示語(yǔ)”在理解題意中的應(yīng)用

波利亞在《怎樣解題》中表示第一階段的理解問題是解題思維活動(dòng)的開始。如何利用“啟發(fā)性提示語(yǔ)”來理解題意，需明白，深究是對(duì)題意的深究，轉(zhuǎn)換是將形式轉(zhuǎn)換。然后思考如何深究、如何轉(zhuǎn)換。對(duì)“它”進(jìn)行思考，從而真正明確“它”的本質(zhì)意義。

【案例1】已知A，B是橢圓 + =1上兩點(diǎn)，F(xiàn)2是左焦點(diǎn)，AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為 ，若AF2+BF2= ……①，求橢圓的方程。

【分析】

（1）它是什么問題？求什么？

解析幾何問題，求橢圓方程。

（2）有哪些材料？已知①中的兩點(diǎn)在橢圓上，A，B怎么表示？

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）。

橢圓的基本量是什么？

橢圓方程帶參數(shù)a，半長(zhǎng)軸為a，b= a，c= a，e= 。

AF2+BF2表示什么？

A，B到左焦點(diǎn)的距離之和。

線段AB中點(diǎn)怎么表示？還能怎么表示？

設(shè)M（x0，y0）;x0= ，y0= ……②

左準(zhǔn)線怎么表示？M到左準(zhǔn)線的距離怎么表示？

左準(zhǔn)線方程：x= = ……③

M到左準(zhǔn)線的距離為x0+ = ……④

（3）有哪些工具？怎么運(yùn)用這些工具？

橢圓的第一定義：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a……⑤

橢圓的第二定義：

=e= 化簡(jiǎn)得AF1= x1+a……⑥

=e= 化簡(jiǎn)得BF1= x2+a……⑦

（4）這些工具之間有什么關(guān)系？如何利用？

中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0有②④兩種表示，因此可以聯(lián)列得x1+x2=3- ……⑧

由①⑤得AF1+BF1= ……⑨;

由⑥⑦得AF1+BF1= （x1+x2）+2a……⑩;

再由⑧⑨⑩可得 = （3- ）+2a，解得a=1?！鄼E圓方程為x2+ =1。

【反思】利用啟發(fā)性提示語(yǔ)仔細(xì)地對(duì)問題中涉及的所有對(duì)象逐個(gè)理解、表示、整理、尋找聯(lián)系，包括過程中出現(xiàn)的新對(duì)象，要在理解題意的同時(shí)，基本得到問題解法。當(dāng)然對(duì)提示語(yǔ)的掌握也有一個(gè)從不會(huì)到會(huì)、從不熟悉到熟悉的過程，只要堅(jiān)持不斷領(lǐng)悟，就能產(chǎn)生顯著的效果。

二、“啟發(fā)性提示語(yǔ)”在擬訂和實(shí)施計(jì)劃中的應(yīng)用

波利亞在《怎樣解題》的第二階段中的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極嘗試，是思維策略的選擇和調(diào)整過程;第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。筆者認(rèn)為在理解題意的過程中一定要弄清楚其中元素的關(guān)系。深入地分析并思考題目敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，在圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置或表達(dá)形式，看看能否有重要發(fā)現(xiàn)。盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目。仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解，認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。通過目標(biāo)找出哪些法則同題目或其他元素有聯(lián)系。如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語(yǔ)言表示題目的元素，便于解題思路的展開。

【案例2】（2011年江蘇高考題）已知1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7，a1，a3，a5，a7成等比數(shù)列，公比為q，a2，a4，a6成等差數(shù)列，公差為1，則q的最小值為 ？

【分析】

（1）這是一個(gè)什么范疇的問題？求什么？

是一個(gè)數(shù)列問題，奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，求公比q的最小值。

（2）有哪些材料？表示什么？

1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7，a1=1各項(xiàng)依次遞增不減。

（3）有哪些工具？a1，a3，a5，a7成等比數(shù)列，公比為q，它還能怎么表示？

a3=a1;q=q，a5=q2，a7=q3;a2，a4，a6成等差數(shù)列，公差為1，它還能怎么表示？

a2，a4=a2+1，a6=a2+2;1=a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤a7還能怎么表示？具體化1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3……①還缺什么？缺少a2，q。

a2有什么性質(zhì)？1=a1≤a2，q有什么性質(zhì)？怎么表示？由①1≤a2≤q，要使得q最小，則1=a2=q，將其代入①得q3≥3 q≥ ，所以公比的最小值為 。

三、“啟發(fā)性提示語(yǔ)”在解題反思中的應(yīng)用

波利亞的《怎樣解題》中第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過程的結(jié)束，同時(shí)包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過程的開始。

【案例3】已知函數(shù)f（x）= + （a>0）是偶函數(shù)，求a的值。

【分析】

（1）已知什么材料？已知條件偶函數(shù)，理解題意“它”是什么？怎么表示？

（2）問題是什么？求a的值。a是什么？a是參數(shù)。f（x）是什么？與自然函數(shù)、分式有關(guān)的比較復(fù)雜的函數(shù)。

偶函數(shù)是什么？定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且f（-x）=f（x）。

本題中， f（-x）和f（x）分別是什么？怎么表示？

f（-x）= + ，

由f（-x）=f（x） ?+ = + ?（a- ）（e - ）=0，

從而得出a- =0，又a>0，所以a=1。

【反思】（1）你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證（結(jié)果）？

可以檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e + 滿足f（-x）=f（x），此時(shí)f（x）為偶函數(shù)。

（2）你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？

特殊化法，由f（x）為偶函數(shù)得f（-1）=f（1） ?+ = + ?a=1。

（3）你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問題？

對(duì)于解決求含參數(shù)的問題，方法不外乎兩種：一是定義法，運(yùn)用偶函數(shù)或奇函數(shù)的定義得到一個(gè)恒成立的等式來求解;二是特殊值法。

總之，教師借助啟發(fā)性提示語(yǔ)給學(xué)生必要的提示或暗示，讓學(xué)生通過自己的思維活動(dòng)獲得提示或暗示，從而使數(shù)學(xué)思維得以發(fā)生、發(fā)展，數(shù)學(xué)知識(shí)和能力得以生長(zhǎng)。教師運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)的最終目的在于使學(xué)生在啟發(fā)性提示語(yǔ)的引導(dǎo)下，逐步學(xué)會(huì)理解題意、學(xué)會(huì)解題，以便當(dāng)教師淡出時(shí)，學(xué)生能夠自我啟發(fā)和自我提問，不斷開發(fā)學(xué)習(xí)的潛能。