吳靈喜

（浙江省蘭溪第三中學(xué)）

圓錐曲線(xiàn)在數(shù)學(xué)上是一個(gè)非常重要的幾何模型，有很多幾何性質(zhì)，這些重要的幾何性質(zhì)在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)及其他科學(xué)中都有著重要而廣泛的應(yīng)用，并且學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容對(duì)于提高自身的素質(zhì)是非常重要的.其中拋物線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)中的重要的一類(lèi)，在高考中有著重要的地位.特別地，在導(dǎo)數(shù)引入高中數(shù)學(xué)，對(duì)拋物線(xiàn)的考查就更為頻繁.在學(xué)習(xí)了拋物線(xiàn)的定義以及拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)之后，為了更好地理解拋物線(xiàn)的定義，筆者從下面幾個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明.

一、鞏固拋物線(xiàn)的定義

1.到點(diǎn)A（1，1）的距離與到直線(xiàn)l:3x-4y+1=0 的距離相等的點(diǎn)的軌跡是 （ ）

A.橢圓 B.雙曲線(xiàn) C.拋物線(xiàn) D.直線(xiàn)

解析：粗看滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義，再仔細(xì)一看，易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A∈l，點(diǎn)的軌跡為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 且垂直于直線(xiàn)l 的一條直線(xiàn). 這有助于理解拋物線(xiàn)的定義——直線(xiàn)外的一點(diǎn).

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0）且與直線(xiàn)l:x=-2 相切的動(dòng)圓的圓心M 的軌跡是 （ ）

A.橢圓 B.雙曲線(xiàn) C.拋物線(xiàn) D.直線(xiàn)

解析：由圓的性質(zhì)及直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)可知，圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑，又點(diǎn)F 在圓M 上：即圓心M 到定點(diǎn)F 的距離等于到定直線(xiàn)l 的距離，滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義，所以動(dòng)圓心M 的軌跡是拋物線(xiàn).

變式1：到點(diǎn)F（2，0）的距離比到直線(xiàn)l:x=-1 的距離大1 的點(diǎn)的軌跡是 （ ）

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)

解析：把直線(xiàn)l 向左平移一個(gè)單位，可以轉(zhuǎn)化為l′∶x=-2，到定點(diǎn)F（2，0）的距離等于到定直線(xiàn)l′:x=-2 的距離，滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義。

軌跡為 （ ）

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)

解析：等式可化為：

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（2，0）的距離等于到定直線(xiàn)l:3x+4y-2=0 的距離，滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的定義（不是我們所熟悉的標(biāo)準(zhǔn)條件下的拋物線(xiàn)）.

二、拋物線(xiàn)定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1.求焦點(diǎn)在x 軸上，且拋物線(xiàn)上一點(diǎn)A（3，m）到焦點(diǎn)的距離為5 的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析：根據(jù)題意，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2px（p>0），如果運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式，待定系數(shù)法聯(lián)立方程組解得，運(yùn)算量較大.所以可根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A 到準(zhǔn)線(xiàn)：x=-p/2 的距離等于5，可得到p 的值，從而求得拋物線(xiàn)的方程.

2.已知拋物線(xiàn)y2=2x 的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P 在拋物線(xiàn)上，有一定點(diǎn)A（3，2），求｜PA｜+｜PF｜的最小值，及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P 的坐標(biāo).

解析：由定義可知，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P 到焦點(diǎn)F 的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)l 的距離d，所以求｜PA｜+｜PF｜的最小值，轉(zhuǎn)化為求｜PA｜+d 的最小值，由點(diǎn)與直線(xiàn)上的點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短可得，過(guò)點(diǎn)A 作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段長(zhǎng)即為所求的最小值，該垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.

變式：已知拋物線(xiàn)y2=2x 的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P 在拋物線(xiàn)上，有一定點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)P 到y(tǒng) 軸的距離為d，求｜PA｜+d 的最小值.

解析：P 到y(tǒng) 軸的距離，可以延長(zhǎng)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，再根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，即（｜AP｜+｜PF｜）-1/2 的最小值，當(dāng)A、P、F 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取最小值.

3.已知拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F 的弦AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l 的位置關(guān)系 .

解析：過(guò)點(diǎn)A，B 分別作準(zhǔn)線(xiàn)l 的垂線(xiàn)，垂足分別是A1，B1，取AB 的中點(diǎn)為C，過(guò)C 作準(zhǔn)線(xiàn)l 的垂線(xiàn)，垂足為C1，由拋物線(xiàn)的定義可知：｜BB1｜=｜BF｜，｜FA｜=｜AA1｜.

∴｜AB｜=｜AA1｜+｜BB1｜.

∵CC1是梯形ABB1A1的中位線(xiàn).

∴2｜CC1｜=｜AA1｜+｜BB1｜.

∴｜AB｜=2｜CC1｜，即圓心C 到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于半徑.

∴以AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)l 相切.

變式：已知拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F的弦AB，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足為A1，B1，求證：A1F⊥B1F.

解析：在△AA1F 和△BB1F 中，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，｜AF｜=｜AA1｜，｜BF｜=｜BB1｜，

∴2∠A1FA+∠A1AF=180°，

2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，

∴∠A1AF+∠B1BF=180°，

∴∠A1FA+∠B1FB=90°，

∴∠A1FB1=90°，即A1F⊥B1F.

4.已知AB 是拋物線(xiàn)y=x2上的動(dòng)弦，且｜AB｜=a（a 為常數(shù)且a>1），求弦AB 的中點(diǎn)M 的縱坐標(biāo)的最小值.

連接AF，BF，在△ABF 中，｜AF｜+｜BF｜≥｜AB｜=a，當(dāng)且僅當(dāng)AB 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F 時(shí)取“=”.

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知：｜AA1｜=｜AF｜，｜BB1｜=｜BF｜，

5.如下圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F 的直線(xiàn)l 交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，若｜BC｜=2｜BF｜，且｜AF｜=3，則此拋物線(xiàn)的方程是（ ）

解析：過(guò)A，B 分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A1，B1，準(zhǔn)線(xiàn)與x 軸相交于點(diǎn)K，則｜BF｜=｜BB1｜.

∵｜BC｜=2｜BF｜，∴｜CB｜=2｜BB1｜，∴∠B1CB=30°，

∴｜AC｜=2｜A1A｜=2｜AF｜=6，

∴F 為AC 的中點(diǎn).

∴拋物線(xiàn)的方程為y2=3x.

通過(guò)以上幾個(gè)例子，讓我們能夠進(jìn)一步理解拋物線(xiàn)的定義，能更好地解決與拋物線(xiàn)有關(guān)的焦半徑問(wèn)題和焦點(diǎn)弦問(wèn)題，解決有關(guān)拋物線(xiàn)的最值問(wèn)題和定點(diǎn)、定值問(wèn)題.重視概念的理解是掌握基礎(chǔ)知識(shí)的第一步，是發(fā)展學(xué)生基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力、邏輯推理能力和分析解決問(wèn)題的能力的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).

任志鴻.高中同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練：數(shù)學(xué)［M］.人民教育出版社，2012-09.