岳嘯鳴，范輝，李慧奇，劉剛

（1.河北省電力建設(shè)調(diào)整試驗所，河北石家莊 050021；2.華北電力大學(xué)河北省輸變電設(shè)備安全防御重點試驗室，河北保定 071003）

利用變步長Runge-Kutta法
分析換流變壓器油紙絕緣結(jié)構(gòu)瞬態(tài)電場

岳嘯鳴1，范輝1，李慧奇2，劉剛2

（1.河北省電力建設(shè)調(diào)整試驗所，河北石家莊 050021；2.華北電力大學(xué)河北省輸變電設(shè)備安全防御重點試驗室，河北保定 071003）

換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場仿真往往采用定步長方法，為了保證計算精度，往往采用較小的時間步長，計算量較大．為了有效地降低換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場仿真分析時的計算代價，根據(jù)各時步的局部截斷誤差，提出采用變步長顯式Runge-Kutta法分析極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場．并用所提方法對換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型在極性反轉(zhuǎn)電壓下的瞬態(tài)電場進(jìn)行了分析，計算結(jié)果表明本文提出的方法可以有效地降低計算代價，能夠用于換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場的分析計算．

換流變壓器；極性反轉(zhuǎn)；瞬態(tài)電場；Runge-Kutta法；變步長

換流變壓器和絕緣套管是直流輸電工程中的重要設(shè)備，它們安全運行直接關(guān)系到系統(tǒng)的穩(wěn)定．在直流輸電系統(tǒng)需要潮流反轉(zhuǎn)時，送段換流變壓器的閥側(cè)繞組電壓極性將在短時間內(nèi)迅速改變，稱為極性反轉(zhuǎn)．在極性反轉(zhuǎn)過程中，換流變壓器閥側(cè)繞組端部油紙復(fù)合絕緣中會出現(xiàn)局部高場強(qiáng)，從而使換流變壓器出現(xiàn)絕緣故障，嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的安全運行．因此研究極性反轉(zhuǎn)過程中的電場分布成為換流變壓器研制開發(fā)的關(guān)鍵[1-2]．

極性反轉(zhuǎn)電場分析往往采用2種方法，即靜態(tài)法和瞬態(tài)法．采用靜態(tài)法時，假設(shè)外施電壓瞬間完成極性反轉(zhuǎn)，此時由于外加電壓的容性電場躍變，而空間電荷及其電場保持不變，因此可用阻性電場疊加兩倍負(fù)容性電場得到極性反轉(zhuǎn)的瞬間電場，這是一種理想的極端情況，但由于設(shè)備的限制，電壓極性反轉(zhuǎn)往往需要一定時間才能完成（往往需要1～2m in），因此需要考慮短時反轉(zhuǎn)過程中電荷的重新分布及其反轉(zhuǎn)完成時刻電場分布的影響．

現(xiàn)有文獻(xiàn)在用瞬態(tài)法分析極性反轉(zhuǎn)電場時，幾乎都采用定步長方式[3-8]．一般說來，步長越小，截斷誤差就越?。?，隨著步長的縮小，瞬態(tài)過程分析所需的時步數(shù)就會增加．時步數(shù)的增加，不但引起計算量和數(shù)據(jù)存儲量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累．因此在實際計算時，需要選擇適當(dāng)?shù)牟介L，在滿足精度要求的前提下，盡可能地減小計算步數(shù)．一種有效的措施就是在計算過程中，根據(jù)外施激勵變化的不均勻性，在計算過程中自動地調(diào)整步長，即自適應(yīng)算法．文獻(xiàn)[9]嘗試根據(jù)外施電壓的特點分段定義步長，這種人為設(shè)定步長的方式雖然減少了計算量，但與通常根據(jù)（截斷）誤差實現(xiàn)自動變步長的自適應(yīng)算法明顯不同．

文獻(xiàn)[10]根據(jù)各時步的局部截斷誤差，采用C-N（Crank-Nilcoson）法實現(xiàn)自動變步長的算法，并在分析極性反轉(zhuǎn)電壓特點的基礎(chǔ)上，利用后向歐拉法，成功的解決了極性反轉(zhuǎn)電壓導(dǎo)數(shù)不連續(xù)點的時步振蕩情況，但該算法在每次極性反轉(zhuǎn)完成后的步長增長緩慢，計算的時步數(shù)較多，計算代價仍較大．

文獻(xiàn)[11]在分析±500 kV換流變壓器極性反轉(zhuǎn)過程時，假設(shè)極性反轉(zhuǎn)瞬間，并采用定步長四階顯式Runge-Kutta法分析了線性、非線性及非線性各向異性條件下的極性反轉(zhuǎn)電場．由于采用定步長測量，使得具有較高精度的四階Runge-Kutta法的計算效率較低．

在保證計算精度的前提下，本文根據(jù)文獻(xiàn)[10]的思路，即根據(jù)當(dāng)前時步的截斷誤差決定下一時步的時步長，擬采用變步長顯式Runge-Kutta法采取變步長策略，以達(dá)到減少計算時步數(shù)，降低計算代價的目的．

為了簡化分析，本文暫不考慮油紙電導(dǎo)率同電場強(qiáng)度的非線性和紙板電導(dǎo)率各向異性的影響，給出根據(jù)局部截斷誤差得到自適應(yīng)變步長的顯式Runge-Kutta法．并用變步長顯式Runge-Kutta法對換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型的極性反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)過程進(jìn)行了計算，對計算結(jié)果進(jìn)行了簡要分析．

1 有限元狀態(tài)方程

換流變壓器油紙絕緣結(jié)構(gòu)中的瞬態(tài)電場為電準(zhǔn)靜態(tài)場，油紙中的電位滿足如下初邊值問題[10]

表1 定步長布徹表Tab.1 Fixed time-step's Butcher table

2 變步長顯式Runge-Kutta法

在下面的仿真分析中，采用Merson法，其相應(yīng)的布徹表的參數(shù)如表3所示．

表2 變步長布徹表Tab.2 Varible time-step's Butcher table

3 極性反轉(zhuǎn)電壓

完整的極性反轉(zhuǎn)試驗需要進(jìn)行2次反轉(zhuǎn)過程，電壓波形如圖1示，具體變化過程如下：1）在30 s內(nèi)由0電位降到U0，保持90m in；2）在一定時間tPR內(nèi)由U0上升到+U0，并保持90m in；3）在一定時間tPR內(nèi)由+U0下降到U0，并保持45min；4）在30 s內(nèi)均勻變化到0．

IEC推薦2次極性反轉(zhuǎn)過程不超過2m in，一般取1m in．本文計算時取為tPR=1min．

在用變步長顯式Runge-Kutta法計算圖1電壓波形下的極性反轉(zhuǎn)電場時，每個時間步計算均需要判斷當(dāng)前時刻tn累加下一步長hn+1后，是否會超過極性反轉(zhuǎn)的開始時刻（tb）和完成時刻（te）．假設(shè)tn

表3 Merson法的布徹表Tab.3 Merson's Butcher table

則步長hn+1保留，否則hn+1值由下式?jīng)Q定

這樣處理后就能保證不會因為步長過大而丟失極性反轉(zhuǎn)開始時刻tb或完成時刻te的電場信息．

圖1 極性反轉(zhuǎn)電壓波形Fig.1 PR voltage's curve

為了更好的反映極性反轉(zhuǎn)過程中的電場變化情況，往往需要知道更多時刻的電位（電場強(qiáng)度）值．可以給各時步的步長設(shè)定一個上限值hmax，當(dāng)各下一時步hn+1的步長超過hmax時，hn+1就取hmax．

4 換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型

本文采用文獻(xiàn)[10]換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型進(jìn)行分析，為了便于本文分析，圖2重新給出了模型，圖中單位為mm．

對圖2模型采用三角形剖分，共剖分得到1 142個三角形單元，699個節(jié)點．單元電位采用線性插值，仿真分析時，極性反轉(zhuǎn)電壓幅值U0=1 000 V．采用上文變步長顯式Runge-Kutta法計算了整個極性反轉(zhuǎn)過程．

5 計算結(jié)果及分析

圖2 換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型Fig.2 TypicalM odelof the converter transformer’valvew inding

本文首先只用式(13)約束下一時刻的時步hn+1，此時hmax不設(shè)上限，在此假設(shè)下整個極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)過程只需要59個時步，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于定步長算法（步長為30 s時需456個時間步），計算量也遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[10]的修正變步長C-N法．極性反轉(zhuǎn)過程中A點（圖2所示）電位和各時間步步長hn+1隨時間的變化曲線如圖3所示．

圖3 hmax=∞時的計算結(jié)果及各時步的步長Fig.3 Computational resultsand time-step ofeach time instantat hmax=∞

結(jié)合圖1和圖3可以看出，當(dāng)外施電壓保持恒定時，時步長總體上趨于增加，理論上在各次反轉(zhuǎn)開始時刻應(yīng)該達(dá)到最大值．但圖3表明，反轉(zhuǎn)開始時刻的步長迅速減小，這是由于此時步長不是由此時刻的階段誤差決定，而是由式(14)，式(15)決定．

由圖3可以看出，整個極性反轉(zhuǎn)過程中各時步的最大步長接近400 s．為了更好的反應(yīng)極性反轉(zhuǎn)過程中的電場變化情況，往往需要知道更多時刻的電位（電場強(qiáng)度）值．本文在hmax取不同值時重新分析了上述極性反轉(zhuǎn)過程，并將計算結(jié)果列于表3中，同時在圖4～6中給出了A點的電位和時步同時間的變化曲線．

從表3可知，當(dāng)限制hmax時，整個極性反轉(zhuǎn)過程的計算量將有所增加，但表3中的A點最大電位值卻相差很小，最大差值僅為0.000 2 V．

從上文分析可看出，即使限制了hmax值，例如hmax=120 s的時步數(shù)為121，而采用當(dāng)定步長Runge-Kutta法（或C-N法）的步長取20 s、30 s和60 s時，其極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)過程分別需要計算684、256和228個時步，限制后的計算量仍將比定步長算法小．對于相同的極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)過程，文獻(xiàn)[8]雖然采用修正變步長法，但整個瞬態(tài)過程仍需要394個時步，而文獻(xiàn)[9]根據(jù)極性反轉(zhuǎn)電壓的變化認(rèn)為設(shè)定時步長的方法計算量更大，因此本文的自適應(yīng)變步長顯式Runge-Kutta方法可以用來快速分析換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場問題．

表3 hmax取不同值時的計算結(jié)果Tab.3 Computational results of different hmax

圖4 hmax=240 s時的計算結(jié)果及各時步的步長Fig.4 Computational resultsand time-stepsof each time instantat hmax=240 s

圖5 hmax=180 s時的計算結(jié)果及各時步的步長Fig.5 Computational resultsand time-stepsof each time instantat hmax=180 s

圖6 hmax=120 s時的計算結(jié)果及各時步的步長Fig.6 Computational resultsand time-steps of each time instantat hmax=120 s

6 結(jié)論

本文針對換流變壓器極性反轉(zhuǎn)外施電壓的特點，提出了基于顯式Runge-Kutta法根據(jù)局部截斷誤差實現(xiàn)自適應(yīng)變步長的算法，并將算法應(yīng)用到換流變壓器極性反轉(zhuǎn)電場分析中，實際換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型計算結(jié)果表明，采用自適應(yīng)變步長顯式Runge-Kutta算法后，可以大大減少計算時步數(shù)，從而能夠降低計算量和內(nèi)存需求．

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[責(zé)任編輯 代俊秋]

Variable runge-kuttaalgorithm for the computationof transientelectric field in oil-paper insulation construction of HVDC transformer

YUEXiaom ing1，F(xiàn)AN Hui1，LIHuiqi2，LIU Gang2

(1.HebeiElectric PowerCommissioning Institute,Hebei Shijiazhuang 050021,China;2.HebeiProvincialKey Laboratory of Power Transmission EquipmentSecurity Defense,North China Electric PowerUniversity,Hebei Baoding 071003,China)

The fixed-time stepmethod isoften used to solve the transientelectric field problem of the converter transformerunderpolarity reversalvoltage,whichoften choosessmallersteps in order to ensureaccuracy and causes largeamount of calculation.In order to effectively reduce the com putationalcost,avariablestep-sizeexplicitRunge-Kuttamethod decided by the local truncation errorateach timestep isproposed to analyze the transientelectric field underpolarity reversal voltage.With the proposedmethod,a typicalmodelof the converter transformervalvewinding isanalyzed.The results show that the proposed algorithm isable to effectively reduce the computationalcostand can beused to analyze the transientelectric field of theconverter transformerunder polarity reversalvoltage．

converter transformer；polarity reversal；transientelectric field；Runge-Kuttaalgorithm；variable time stepsize

TM 15

A

1007-2373(2015)02-0005-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.02.002

2014-12-10

國家自然科學(xué)基金（51407075）

岳嘯鳴（1980-），男（漢族），高級工程師．

數(shù)字出版日期：2015-04-16數(shù)字出版網(wǎng)址：http://www.cnki.net/kcms/detail/13.1208.T.20150416.1100.010.htm l