談普林

（武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430072）

1 引 言

其中，u＝U（0）≥0為初始盈余，c為保費(fèi)率即收入率，S（t）表示保險(xiǎn)公司的總索賠額即支出，一般為復(fù)合泊松過(guò)程．在研究一般公司的盈余過(guò)程時(shí)發(fā)現(xiàn)公司的支出是持續(xù)的，收入是隨機(jī)的．通過(guò)改進(jìn)得到了對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，可參見(jiàn) Avanzi等人（2007）［1］，Avanzi 和 Gerber （2008）［2］，Gerber 和 Smith（2008）［3］的工作．在對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，t時(shí)刻的盈余表示為

在這個(gè)模型中c表示費(fèi)用率即支出率，S（t）表示總收益，其中N（t）和Yi相互獨(dú)立．假設(shè)是非負(fù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，密度函數(shù)為p（y）且期望為μ＝E（Y1）．

De Finetti（1957）［4］首次提出在風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮分紅策略，認(rèn)為這個(gè)過(guò)程更貼切實(shí)際情形．分紅策略一般有兩種．一種是邊值策略，即當(dāng)盈余過(guò)程超過(guò)給定的邊值時(shí)，紅利才分發(fā)且發(fā)放超過(guò)邊值部分的全部．另一種是閥值策略，相同的是在盈余過(guò)程超過(guò)給定閥值才分發(fā)紅利，不同的是當(dāng)超過(guò)閥值時(shí)，分紅率是一個(gè)固定的常數(shù)．Avanzi等人（2007）［1］研究了在邊值策略下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)紅利問(wèn)題，Avanzi等人（2013）［5］研究了在邊值策略下帶觀察時(shí)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率和貼現(xiàn)紅利，Ng（2009）［6］研究了在閥值策略下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的貼現(xiàn)紅利．關(guān)于收益過(guò)程，這些文章都是基于復(fù)合泊松過(guò)程討論的，在模型的進(jìn)一步推廣時(shí)，收益改用更新過(guò)程來(lái)研究．Li和 Garrido（2004）［7］研究了復(fù)合更新過(guò)程（索賠時(shí)間間隔即跳過(guò)程服從Erlang（n）分布）下風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，Albrecher等人（2005）［8］則給出了跳服從廣義Erlang（n）分布的貼現(xiàn)紅利任意階矩，Eugenio等人（2014）［9］在跳服從Erlang（n）分布下把模型推廣到對(duì)偶情形并討論破產(chǎn)概率和貼現(xiàn)紅利問(wèn)題，Yang和Sendova（2014）［10］在此基礎(chǔ)上推廣到廣義Erlang（n）分布．關(guān)于收益過(guò)程采用復(fù)合更新過(guò)程來(lái)描述已經(jīng)有很多文章了，但是他們都沒(méi)考慮帶觀察時(shí)的情形．基于此，考慮在邊值策略下帶觀察時(shí)跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型．不同于Peng等人（2013）［11］（紅利分發(fā)和破產(chǎn)均在觀察時(shí)發(fā)生）的研究，而是類(lèi)似于Avanzi等人（2013）［5］紅利分發(fā)只在觀察時(shí)發(fā)生而破產(chǎn)可能是在任意時(shí)刻發(fā)生的（即盈余U（t）＜0就破產(chǎn)）．

本文的結(jié)構(gòu)如下：在第二部分，介紹具體模型和定義．在第三部分第一節(jié)，給出紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）滿(mǎn)足的微積分方程組．在第三部分第二節(jié)，利用第三部分第一節(jié)結(jié)果討論收益額服從PH（m）分布時(shí)的紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)，并給出V（u；b）的解析解．在第三部分第三節(jié)，給出觀察時(shí)及收益額均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的具體求解．在第四部分第一節(jié)，給出跳退化為指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的顯示解及其極限，并與 Avanzi等人（2007）［1］和 Avanzi等人（2013）［5］的結(jié)果進(jìn)行比較．在第四部分第二節(jié)，給出跳服從Erlang（2）分布時(shí)，V（u；b）的數(shù)值舉例．

2 模型及定義

根據(jù)式（1），｛U（t），t≥0｝ 的破產(chǎn)時(shí)間定義為τ＝inf ｛t≥0：U（t）≤0｝ ．計(jì) 數(shù) 過(guò) 程N(yùn)（t）＝min ｛k：T1＋T2＋…＋Tk＋1＞t｝是 一 個(gè) 更 新 過(guò)程，是正的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列（T定義i為第（i－1）次產(chǎn)生收益到第i次產(chǎn)生收益的時(shí)間間隔）．

假定Ti（i＝1，2，…）服從 Erlang（n）分布，即密度函數(shù)為！．假設(shè)公司是可盈利的，即c＜μ／E（Ti）?cn＜λμ．

其中Mi為第（i－1）次觀察與第i次觀察所經(jīng)歷的時(shí)間，｛Mi，i≥1｝獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為F（x），并假設(shè)與 ｛Yi，i≥1｝以及相互獨(dú)立．進(jìn)一步，假設(shè)邊值策略下紅利分發(fā)只發(fā)生在時(shí)刻，即任意時(shí)刻Zk盈余超出邊界值b（＞0），則超出部分全部作為紅利分發(fā)．

以及對(duì)k＝1，2…，

類(lèi)似地定義當(dāng)前模型的破產(chǎn)時(shí)間為令Kb＝則Kb表示直到破產(chǎn)為止總共發(fā)生觀察的次數(shù)．

紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)可定義為

其中a＋＝max（a，0），δ為貼現(xiàn)力．假設(shè)V（u；b）線性有界．圖1給出了盈余過(guò)程的變化軌跡圖．

圖1 盈余過(guò)程 ｛Ub（t），t≥0｝ 的變化軌跡圖

3 跳服從Erlang（n）分布時(shí)V（u，b）的求解

由Erlang（n）是n個(gè)獨(dú)立同分布的指數(shù)分布之和，把跳過(guò)程分成n步，前n－1步跳的大小為0，最后一步跳的密度函數(shù)為p（y），y≥0．第i步跳的紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)記為Vi（u；b），i＝1，2，…，n，且假設(shè)在b點(diǎn)連續(xù)．對(duì)i＝1，2，…，n，定義

3．1 V（u；b）的微積分方程組

定理1Vi（u；b），i＝1，2…，n，滿(mǎn)足下面的微積分方程組

當(dāng)i＝1，2，…，n－1時(shí)，

當(dāng)i＝n時(shí)，

Vi（u；b），i＝1，2，…，n滿(mǎn)足邊界條件

其中f（x）是觀察時(shí)分布函數(shù)F（x）的密度函數(shù)．

證明 對(duì)u≥0，在每一步i足夠小的時(shí)間區(qū)間［0，h］中考慮跳和觀察兩個(gè)事件，注意到這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，在這個(gè)區(qū)間中根據(jù)它們是否發(fā)生以及發(fā)生的先后關(guān)系得到下面的等式．

當(dāng)i＝1，2，…n－1時(shí)，跳的大小為0，于是

對(duì)上式代入密度函數(shù)f（x），利用泰勒展式得到

可以看出上面等式右邊第四項(xiàng)趨向于o（h2）．于是，對(duì)上式兩邊同時(shí)除以h，并令h→0即可得式（2）．

當(dāng)i＝n時(shí)，跳的大?。词找骖~）的密度函數(shù)為p（y），y≥0，類(lèi)似可推得

由上式同理可證式（3）成立，邊界條件由初始值假設(shè)和連續(xù)性假設(shè)得到．

當(dāng)f（x）＝，x＞0時(shí)，由定理1可以得到下面的推論．

推論1Vi（u；b），i＝1，2，…，n滿(mǎn)足下面的微積分方程組

當(dāng)i＝n時(shí)，

Vi（u；b），i＝1，2，…n滿(mǎn)足邊界條件

證明 由于f（0）＝γ，并把式（2）代入定理1即可證明推論成立．

注1 在推論1中，i＝n時(shí)發(fā)生了跳，由連續(xù)性假設(shè)可知令u＝b，有（b；b）＝（b；b），該條件在后面求解V（u；b）時(shí)將被應(yīng)用．

注2 顯然V（u；b）≡V1（u；b），因此只需求解（u；b）和VL，1（u；b）．

3．2 觀察時(shí)和收益額分別服從指數(shù)和PH（m）

分布時(shí)V（u；b）的求解

假定Erlang（2）為PH（m）分布，其中PH（m）定義可參見(jiàn) Eugenio等人（2014）［9］的5．2部分．

3．2．1VU，1（u；b）的解析解

由Eugenio等人（2014）［9］的定理5．2知p（xu）的零化因子為qΒ（－Du），其中Du＝?／?u，qΒ（y）＝Det（Β－yΙm）．考慮qΒ（－Du）的多項(xiàng)式形式：

其中qi，i＝0，1，…，m，是常數(shù)．

對(duì)式（8）做變換y＋u＝x得到

對(duì)上式作用qΒ（－Du）＝得到

對(duì)上式求偏導(dǎo)?／?u得到

對(duì) 式（6）求偏導(dǎo)?／?u，當(dāng)i＝1，2，…，n－1時(shí)有

上式為遞歸形式，令?／?u＝Du，可知

把式（11）代入式（10）式整理可得

上式也可以歸納為

故VU，1（u；b）的解析解為

3．2．2VL，1（u；b）的解析解

由式 （5）可得，

先對(duì)式（7）做變換y＋u＝x，再作用qΒ（－Du）得到

將式（15）代入上式整理可得到

注意到對(duì)照Eugenio等人（2014）［9］的 （5．7）式，發(fā)現(xiàn)與上式是相同的．因此得到VL，1（u；b）的解析解為

3．3 觀察時(shí)及收益額均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的求解

在PH（m）中令m＝1，即p（y）＝βe－βy，y＞0，為指數(shù)分布，探討VU，1（u；b）和VL，1（u；b）顯示解的具體求解過(guò)程．

3．3．1VU，1（u；b）的解析解

由于此時(shí)p（y）為指數(shù)分布，整理式（12）得到

上式經(jīng)過(guò)展開(kāi)可以得到關(guān)于VU，1（u；b）的n＋2次微分方程，即

其中k0，k1，…，kn＋2是由λ，γ，δ，β，c組成的常數(shù)．令

則當(dāng)i＝1，2，…，n＋2時(shí)，

當(dāng)i＝0時(shí)

其中Ai為待求系數(shù)，ri為下面式（22）的根，

引理1 方程式（22）有n個(gè)實(shí)部為負(fù)的根，且有唯一的正根．

證明 首先令f（ξ）＝＋…＋下面計(jì)算f（ξ），由式（20）可得

注意到上面系列等式左邊相加等于f（ξ），右邊相鄰兩式正負(fù)依次組合在一起提取公共項(xiàng)（1／λ）n－1（ξ－β）然后相加即得二項(xiàng)式展開(kāi)形式．

經(jīng)過(guò)整理可得

故存在一個(gè)正根．

令f（－ξ）＝0，整理后得到

因?yàn)閰?shù)為β的指數(shù)分布的拉普拉斯變換等于，所以有的拉普拉斯變換）．根據(jù)Eugenio等人（2014）［9］第三部分的討論，可知方程22有n個(gè)實(shí)部為負(fù)的根．又因?yàn)榉匠?2共有n＋1個(gè)根，故有唯一的正根．

由引理1，假設(shè)是唯一的正根，根據(jù)V（u；b）線性有界假設(shè)，可得＝0．對(duì)VU，1（u；b）還有A0，A1，．．．，An共n＋1個(gè)待求系數(shù)，將在后文給出具體的求解過(guò)程．

3．3．2VL，1（u；b）的解析解

整理 式（16）得到

把 式（23）改寫(xiě)成式 （24）

其中l(wèi)1，i＝0，1，…，n＋1，可寫(xiě)成下面形式

于是，VL，1（u；b）的形式解為

其中，i＝1，2，…，n＋1，是下面方程的根

注意到有A0，A1，…，An，B1，B2，…，Bn＋1共2n＋2個(gè)待求系數(shù)，需要2n＋2個(gè)方程．首先，根據(jù)推論1的邊界條件共得到2n個(gè)方程．其次，利用注1得到一個(gè)方程．最后，把VU，1（u；b）和VL，1（u；b）的解析解以及 式（15）代入 式（7），根據(jù)的系數(shù)等于零得到第2n＋2個(gè)方程．

4 紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）的求解實(shí)例

現(xiàn)在討論觀察時(shí)及收益額均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的顯示解和數(shù)值舉例．其中，在4．1中考慮跳服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的顯示解以及γ→ ∞時(shí)V（u；b）的極限．在4．2中考慮跳服從 Erlang（2）分布，并給出相應(yīng)的數(shù)值舉例．在不引起歧義的情況下，令V1（u；b）＝VL，1（u；b），

4．1 跳及觀察時(shí)均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的求解

假設(shè)跳服從Erlang（1）分布，即指數(shù)分布，則式（7）改寫(xiě)為

根據(jù) 式（21）得

由線性有界假設(shè)知A2＝0，因此

同理可得V1（u；b）的解析解為

其中，s1，s2是下面方程的兩根

根據(jù)V1（0；b）＝0，可推得

由邊界條件V1（b；b）＝V2（b；b）和（b；b）＝（b；b）以及 式（29）和（31）得

于是，由 式（32）和式（33）求得V1（u；b），V2（u；b）

其中g(shù)（x）＝βbr1x＋r1x－β（r1＋x），h（x，y）＝（β－x）（y－r1）．

注3 將上述結(jié)果與 Avanzi等人（2013）［5］的（4．2）式對(duì)比，當(dāng)－ργ＋δ＝r1時(shí)，由r1和s1分別是方程（28）和 （30）的根，可得下面的等式

于是，當(dāng)n＝1時(shí)，本文中的結(jié)果和Avanzi等人（2013）［5］的（4．2）式是一致的．

注4 由求解r對(duì)應(yīng)的方程可得出＝－11．對(duì)V1（u；b），0＜u≤b，取極限得到

分別為

對(duì)上述結(jié)論做數(shù)值模擬，見(jiàn)圖2、圖3和表1、表2．其中，圖2和圖3分別表示固定b在不同u值下隨著γ趨向無(wú)窮V1（u；b）的極限值．對(duì)比表1和表2會(huì)發(fā)現(xiàn)相同u值下，V1（u；b）隨b的增大而減?。?/p>

圖2 c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝12

圖3 c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝14

表1 參數(shù)γ和u對(duì)V1（u；γ）的影響，其中c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝12

表2 參數(shù)γ和u對(duì)V1（u；γ）的影響，其中c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝14

4．2 跳和觀察時(shí)分別服從Erlang（2）和指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的數(shù)值舉例

跳服從Erlang（2）分布時(shí)，由第三部分第三節(jié)的討論可知

例 令c＝0．8，λ＝2，δ＝0．05，β＝1求得根s1＝0．1515，s2＝－0．5625，s3＝－3．7140和r1＝－3．9374，r2＝－6．0069．由上面的方程組可以看出待求系數(shù)與b相關(guān)，即給定b的值就可以求出相應(yīng)的系數(shù)，故有

經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算得到圖4和表3，圖表中的數(shù)據(jù)說(shuō)明總體上V1（u；b）隨著b的增大而減小，隨著u的增大而增大．

圖4 關(guān)于b，V1（u；b）的函數(shù)圖像，u＝1，2，…，5

表4 參數(shù)γ和u對(duì)V1（u；γ）的影響，其中c＝0．8，λ＝2，γ＝2，δ＝0．05，β＝1

5 結(jié) 論

建立了邊值策略下帶觀察時(shí)的跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，通過(guò)求解隨機(jī)微分方程組給出了紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）的解析解．相比較于傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)模型用于研究保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程，而其對(duì)偶模型適用于一般公司．對(duì)比Eugenio等人（2014）［9］研究Erlang（n）分布，利用更新過(guò)程的無(wú)記憶性，把Erlang（n）分布分成n個(gè)階段來(lái)討論．紅利分發(fā)只在觀察時(shí)發(fā)生的假設(shè)和使用更一般的更新過(guò)程來(lái)研究使研究結(jié)果更加具有現(xiàn)實(shí)意義和一般性．對(duì)于觀察時(shí)為指數(shù)分布等其它情形，可以進(jìn)一步使用其他分布來(lái)研究．

［1］B AVANZI，H U GERBER，E S W SHIU．Optimal dividends in the dual model［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2007，41（1）：111－123．

［2］B AVANZI，H U GERBER．Optimal dividends in the dual model with diffusion［J］．ASTIN Bulletin，2008，38（2）：653－667．

［3］H U GERBER，N SMITH．Optimal dividends with incomplete information in the dual model［J］．Insurance：Mathemat－ics and Economics，2008，43（2）：227－233．

［4］B DE FINETTI．Su un＇impostazione alternatival dell teoria colletiva del rischio［C］．／／Proceedings of the Transactions of the XV International Congress of Actuaries，1957，2（2）：433－443．

［5］B AVANZI，E C K CHEUNG，B WONG，etal．On a periodic dividend barrier strategy in the dual model with continuous monitoring of solvency［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2013，52（1）：98－113．

［6］A C NG．On a dual model with a dividend threshold［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2009，44（2）：315－324．

［7］SM LI，J GARRIDO．On ruin for the Erlang（n）risk process［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2004，34（3）：391－408．

［8］H ALBRECHER，M M CLARAMUNT，M MARMOL．On the distribution of dividend payments in a Sparre Andersen model with generalized Erlang（n）interclaim times［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2005，37（2）：324－334．

［9］V R EUGENIO，M R C RUI，D E ALFREDO．Some advances on the Erlang（n）dual risk model［J］．ASTIN Bulletin，2014，45（1）：127－150．

［10］C YANG，K P SENDOVA．The ruin time under the Sparre－Andersen dual model［J］．Insurance：Mathematics and Economics，2014，54（1）：28－40．

［11］D PENG，D H LIU，Z M LIU．Dividend problems in the dual risk model with exponentially distributed observation time［J］．Statistics and Probability Letters，2013，83（3）：841－849．