趙 頤，游泰杰，趙 平

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽550001）

半群PORn理想的極大正則子半群

趙 頤，游泰杰，趙 平

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽550001）

設(shè)POPn和PORn分別是Xn上的方向保序部分變換半群和方向保序或反方向保序部分變換半群.對任意2≤r≤n－1，研究了半群I（n，r）＝｛α∈PORn：｜im（α）｜≤r｝的極大正則子半群的結(jié)構(gòu).利用Miller-Clifford定理，證明了半群I（n，r）的極大正則子半群有且僅有兩類：（?。㎝α＝I（n，r－1）∪（Jr＼Rα），α∈Jr；（ⅱ）Nr＝I（n，r－1）∪.其中：Jr＝｛α∈PORn：｜im（α）｜＝r｝，＝｛α∈PORn：｜im（α）｜＝r｝，Rα表示α所在R-類.

變換半群；方向保序；反方向保序；極大正則子半群

1 預(yù)備知識

設(shè)Xn＝｛1，2，…，n｝，并賦予自然序.Pn和Tn分別為Xn上的部分變換半群和全變換半群.設(shè)c＝（c1，c2，…，ct）是一個序列，其中c1，c2，…，ct∈Xn，t≥1（當(dāng)t＝0時，c表示空序列），若至多存在一個i∈｛1，2，…，t｝，使得ci＞ci＋1（ci＜ci＋1）（當(dāng)i＝t時，ct＋1＝c1），則稱c是一個圈（反圈）.設(shè)α∈Pn且dom（α）＝｛a1＜a2＜…＜at｝，其中t≥1，若（a1α，…，atα）是一個圈（反圈），則稱α是方向保序的（反方向保序的）.設(shè)POPn和PORn分別為Pn中的所有方向保序部分變換之集和所有方向保序或反方向保序部分變換之集，則POPn和PORn都是Pn的子半群；稱POPn和PORn分別為方向保序部分變換半群和方向保序或反方向保序部分變換半群.令OPn＝POPn∩Tn，且ORn＝PORn∩Tn，則OPn和ORn都是Tn的子半群；稱OPn和ORn分別為方向保序全變換半群和方向保序或反方向保序全變換半群.

變換半群具有某種性質(zhì)的極大子半群的研究一直以來都是半群理論研究中的熱點之一［1－9］.特別地，2002年，游泰杰得到了全變換半群Tn和部分變換半群Pn理想的極大正則子半群的完全分類［2］，2011年，趙平與游泰杰研究了方向保序全變換半群OPn理想的極大正則子半群的結(jié)構(gòu)和分類［4］；I.Dimitrova與J.Koppitz得到了保序變換半群On和保序或保反序變換半群ODn理想的極大正則子半群的完全分類［5］.在上述工作的基礎(chǔ)上，本文將考慮方向保序或反方向保序部分變換半群PORn理想的極大正則子半群的結(jié)構(gòu)和分類.

據(jù)文獻［10］知，PORn中的Green關(guān)系刻畫為：對任意α，β∈PORn，αLβ當(dāng)且僅當(dāng)im（α）＝im（β）；αRβ當(dāng)且僅當(dāng)ker（α）＝ker（β）；αJβ當(dāng)且僅當(dāng)｜im（α）｜＝｜im（β）｜，D＝J.設(shè)J0為空變換所構(gòu)成的集合.對1≤r≤n，記Jr＝｛α∈PORn：｜im（α）｜＝r｝，則PORn有n＋1個J-類J0，J1，…，Jn.令

引理1.1［11］設(shè)x，y是完全0-單半群中兩個非零元，則xy≠0當(dāng)且僅當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元.此時，xy∈Ly∩Rx.當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元時，xRy＝Rx，Lxy＝Ly，LxRy＝S＼｛0｝；否則，xRy＝Lxy＝LxRy＝｛0｝.

設(shè)U是半群S的任意子集，通常用E（U）表示U中的冪等元之集.對任意a∈S，通常用Ra，La，Ha，Ja分別表示a所在R-類，L-類，H-類，J-類.本文未定義的術(shù)語及記法參見文獻［12］.

2 半群PORn理想的極大正則子半群

設(shè)PRn為Pn中的所有反方向保序部分變換之集，則顯然PORn＝POPn∪PRn.對0≤r≤n，設(shè)

則

定義2.1 設(shè)2≤r≤n－1，S是I（n，r）的正則子半群（S?I（n，r））.若S滿足：對I（n，r）的任意正則子半群T，有

則稱S是I（n，r）的極大正則子半群.

定理2.1 設(shè)2≤r≤n－1，則I（n，r）的極大正則子半群有且僅有如下兩類：

（A）Mα＝I（n，r－1）∪（Jr＼Rα），α∈Jr；

（B）Nr＝I（n，r－1）∪JPOPnr.

為證明定理2.1，我們需要以下引理：

引理2.1 設(shè)I是正則半群S的理想，則I是正則的.

證明 設(shè)x∈I，則由S的正則性可得，存在y∈S，使得x＝xyx，y＝y(tǒng)xy.于是由x∈I及I是理想可得，y＝y(tǒng)xy∈I，從而y是x在I中的逆元.因此I是正則的.

引理2.2 POPn和PORn都是正則半群.

證明見文獻［10］第746頁和文獻［13］的命題2.3.

引理2.3 設(shè)2≤r≤n－1，則I（n，r）和IPOPn（n，r）都是正則半群.

注意到I（n，r）和IPOPn（n，r）分別是PORn和POPn的理想.由引理2.1—2.2可推出結(jié)論.

引理2.4 設(shè)S是正則半群且E（S）是S的冪等元之集，則對任意a∈S，有

證明見文獻［12］的命題2.3.1—2.3.2.

引理2.5 設(shè)S是正則半群，a，b∈S，則H-類Hb包含a的逆元的充分必要條件是

且

證明見文獻［11］的定理2.18.

引理2.6 設(shè)2≤r≤n－1，α∈Jr，則｜E（Lα）｜≥2，且｜E（Rα）｜≥1.

證明 設(shè)

其中a1＜a2＜…＜ar.令B1＝｛1，…，a1｝；Bi＝｛ai－1＋1，…，ai｝，i＝2，…，r－1；Br＝｛ar－1＋1，…，n｝；且ci＝maxAi，i∈｛1，2，…，r｝.設(shè)

則ε，η，ρ∈E（Jr）.由im（ε）＝im（η）＝im（α），且ker（ρ）＝ker（α），可得εLηLαRρ.因此，｜E（Lα）｜≥2，且｜E（Rα）｜≥1.

引理2.7 設(shè)2≤r≤n－1，α∈Jr，則存在α的逆元α1，α2，使得（α1，α2）?R，且α1，α2∈Jr.

證明 由引理2.6可知，｜E（Rα）｜≥1，且｜E（Lα）｜≥2.設(shè)ε1，ε2∈E（Lα），ε1≠ε2，η∈E（Rα），則（ε1，ε2）?R（否則，ε1，ε2∈Hα，與每個H-類至多包含一個冪等元矛盾，見文獻［12］的推論2.2.6）.注意到εiLαRη，i＝1，2.由引理2.5可得，Rε1∩Lη和Rε2∩Lη都包含α的逆元.不妨分別設(shè)為α1，α2，則εiRαi（i＝1，2），從而（α1，α2）?R.由αiRεiLα可知，αiJα，從而｜im（αi）｜＝｜im（α）｜＝r.因此αi∈Jr.

引理2.8 設(shè)2≤r≤n－1，α∈Jr，則Mα＝I（n，r－1）∪（Jr＼Rα）是I（n，r）的極大正則子半群.

證明 首先，證明Mα是I（n，r）的子半群.由引理1.1知，對任意β，γ∈Jr＼Rα，有βγRβ或βγ∈I（n，r－1）.因此，Mα是I（n，r）的子半群.

其次，證明Mα是I（n，r）的正則子半群.任意取β∈Mα.（?。┤籀隆蔍（n，r－1），由引理2.3知，I（n，r－1）是正則的，于是I（n，r－1）中存在β的逆元，從而β在Mα中存在逆元；（ⅱ）β∈Jr＼Rα，則由引理2.7知，存在β的逆元β1，β2，使得（β1，β2）?R且β1，β2∈Jr，從而β1，β2中至少有一個屬于Mα.因此β是正則的.Mα是I（n，r）的正則子半群得證.

最后，證明Mα是極大正則子半群.設(shè)T是I（n，r）的正則子半群且Mα?T.任意取β∈T＼Mα，則β∈Rα.由引理2.6知，｜E（Lβ）｜≥2，于是存在ε∈E（Jr）∩Lβ，使得ε?Rα，從而Rε?Mα?T.由引理1.1可得，Rα＝Rβ＝βRε?T.因此，T＝I（n，r）.至此引理2.8得證.

注2.1 據(jù)文獻［10］知，關(guān)于半群PORn有如下事實：（1）J0＝J0POPn，J1＝J1POPn.（2）對任意α∈PORn，｜Hα｜＝2｜im（α）｜.此時，｜POPn∩Hα｜＝｜PRn∩Hα｜＝｜im（α）｜.（3）對任意α，β∈PORn，如果α∈POPn，β∈PRn，則αβ，βα∈PRn.（4）E（JrPOPn）＝E（Jr）.

引理2.9 設(shè)2≤r≤n－1，則IPOPn（n，r）＝〈E（JrPOPn）〉＝〈E（Jr）〉.

據(jù)文獻［14］定理2可知，IPOPn（n，r）＝〈E（JrPOPn）〉.再由注2.1中的（4）可得此結(jié)論.

引理2.10 設(shè)2≤r≤n－1，則對任意γ∈JrPRn，有Jr?〈E（Jr）∪｛γ｝〉.

證明 由E（JrPOPn）＝E（Jr）可得γ?E（Jr）.由引理2.6知，｜E（Lγ）｜≥2，｜E（Rγ）｜≥1.取ε∈E（Lγ），η∈E（Rγ），則ε≠η.設(shè)β∈Rε∩Lη∩POPn，則由引理1.1可得，βγ∈Rβ∩Lγ，γβ∈Rγ∩Lβ（因為η∈Rγ∩Lβ，ε∈Lγ∩Rβ）.由注2.1及β∈POPn，γ∈PRn可得，βγ，γβ∈JrPRn.注意到ε∈E（Lγ∩Rβ），η∈E（Rγ∩Lβ），Rβ∩POPn，Lβ∩POPn?JrPOPn.由引理1.1可得

從而由注2.1，γ∈JPRn

r及引理2.9可得

再由引理2.9可知

注意到

由（2.1）—（2.3）式可得

注意到ε∈E（Lγ∩Rβ）.再由引理1.1可得

引理2.11 設(shè)2≤r≤n－1，則I（n，r）＝〈Jr〉.

證明 顯然〈Jr〉?I（n，r）.注意到I（n，r）＝J0∪J1∪J2∪…∪Jr.任意取α∈I（n，r），則存在0≤k≤r，使得α∈Jk.以下分兩種情形證明α∈〈Jr〉：

情形1 k＝0或1.由引理2.9及注2.1可得

情形2 2≤k≤r.由引理2.9及注2.1可得

令

在金融機構(gòu)“引進來”和“走出去”方面，1996年，泰京銀行進入云南，這是第一家進入云南的外資銀行。之后，恒生銀行、匯豐銀行、東亞銀行、渣打銀行等相繼進入云南市場。到了2017年，進入云南的外資銀行數(shù)量已達8家。同時，云南省金融業(yè)深入推進沿邊金融綜合改革，積極支持輻射中心建設(shè)，重點改革領(lǐng)域取得多項突破。

進而，由引理2.10及（2.4）式可得

從而α∈Jk?〈Jr〉.綜上所述，α∈〈Jr〉.由α的任意性，I（n，r）?〈Jr〉.因此I（n，r）＝〈Jr〉.

引理2.12 設(shè)2≤r≤n－1，α∈Jr，則Nr＝I（n，r－1）∪是I（n，r）的極大正則子半群.

設(shè)T是I（n，r）的正則子半群，且Nr?T.由I（n，r）＝（n，r－1）∪?Nr及引理2.9，E（Jr）?〈E（Jr）〉＝（n，r）?Nr?T.任意取β∈T＼Nr，則β∈，于是由引理2.10，Jr?〈E（Jr）∪｛β｝〉?T，從而由引理2.11可得T＝I（n，r）.因此Nr是I（n，r）的極大正則子半群.

定理2.1的證明 設(shè)A1，A2，…，Am是Xn的所有基數(shù)為r的子集，其中m＝.記

其中i＝1，2，…，m，則R（A1），R（A2），…，R（Am）是Jr的一些互不相同的R-類.對任意j∈｛1，2，…，m｝，顯然有｜E（R（Aj））｜＝1.我們用εj表示R類R（Aj）中唯一的冪等元（事實上，εj是Aj上的恒等變換）.

由引理2.8，2.12可知，Mα和Nr是I（n，r）的極大正則子半群.我們將用反證法證明I（n，r）的極大正則子半群僅有定理2.1中的形式.假設(shè)S是I（n，r）的極大正則子半群，且不是定理2.1中的形式，則

否則，存在α∈Jr，使得Rα?Jr＼S或?Jr＼S，于是Mα或Nr是I（n，r）的包含S的正則子半群，由S的極大性可得，S＝Mα或S＝Nr，與S不是定理2.1中的形式矛盾.我們斷言

事實上，如果存在α∈Jr，使得La?Jr＼S.設(shè)im（α）＝Ai，考察R-類R（Ai）中唯一的冪等元εi，則εi∈E（R（Ai））∩Lα，于是εi?S，從而S∩Rεi＝?（否則，由S的正則性及引理2.4可推出，R（Ai）中唯一的冪等元εi∈S），與條件（2.5）矛盾.

我們將證明E（Jr）?E（S）.假設(shè)E（Jr）＼E（S）≠?.任意取ε∈E（Jr）＼E（S）?Jr.由（2.5）及（2.7）式可知，S∩Lε≠?，S∩Rε≠?.任意取β∈S∩Lε，γ∈S∩Rε，由引理2.4及S的正則性可得，Lβ∩E（S）≠?，Rγ∩E（S）≠?，進而存在η∈E（S）∩Lβ＝E（S）∩Lε，ρ∈E（S）∩Rγ＝E（S）∩Rε，使得η，ρ?Hε（因為ε?E（S））.再由引理1.1可得，ηρ∈S∩Rη∩Lρ（因為ε∈E（S），且ε∈Lβ∩Rγ＝Lη∩Rρ）.注意到η，ρ∈E（S），ηρ∈S，ηRηρLρ.由引理2.5可知，存在ηρ的逆元δ，使得δ∈S∩Lη∩Rρ＝S∩Lβ∩Rγ＝S∩Lε∩Rε＝S∩Hε，從而δ是一個群元素.進而存在自然數(shù)n，使得ε＝δn∈E（S），與ε∈E（Jr）＼E（S）矛盾.因此E（Jr）?E（S）.

由（2.6）式可知，S∩JrPRn≠?.任意取γ∈S∩，由引理2.10可得Jr?〈E（Jr）∪｛γ｝〉?〈E（S）∪｛γ｝〉?S，從而由引理2.11可得，S＝I（n，r），與S的極大性矛盾.至此定理2.1得證.

［1］ YANG XIU-LIANG，LU CHUNG-HAN.Maximal properties of some subsemigroups in finite order-preserving transformation semigroups［J］.Communications in Algebra，2000，28（6）：3125-3135.

［2］ YOU TAI-JIE.Maximal regular subsemigroups of certain semigroups of transformations［J］.Semigroup Forum，2002，64（3）：391-396.

［3］ YANG HAO-BO，YANG XIU-LIANG.Maximal subsemigroups of finite transformation semigroups K（n，r）［J］.Acta Mathematica Sinica，2004，20（3）：475-482.

［4］ 趙平，游泰杰，徐波.方向保序變換半群K（n，r）的極大正則子半群［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，49（2）：203-206.

［5］ DIMITROVA I，KOPPITZ J.On the maximal regular subsemigroups of ideal of order-preserving or order-reversing transformations［J］.Semigroup Forum，2011，82（1）：172-180.

［6］ ZHAO PING.Maximal regular subsemibands of finite order-preserving transformation semigroups K（n，r）［J］.Semigroup Forum，2012，84（1）：97-115.

［7］ DIMIMTROVA I，F(xiàn)ERNANDES V H，KOPPITZ J.The mmaximal subsemigroups of semigroups of transformations preserving or reversing the orientation on a finite chain［J］.Publicationes Mathematicae Debrecen，2012，81（1）：11-30.

［8］ 羅永貴，瞿云云.半群POn中理想的非群元秩和相關(guān)秩［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2014（3）：20-27.

［9］ 吳江燕，游泰杰.保序部分變換半群POn的平方冪等元［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2015（1）：6-11.

［10］ FERNANDES V H，GOMES G M S，JESUS M M.Congruences on monoids of transformations preserving the orientation on a finite chain［J］.Journal of Algebra，2009，321（3）：743-757.

［11］ CLIFFORD A H，PRESTON G B.The algebraic theory of semigroups［M］.Providence：American Mathematical Society，1961：1-223.

［12］ HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：The Clarendon Press，1995：1-349.

［13］ FERNANDES V H.The monoid of all injective orientation preserving partial transformations on a finite chain［J］.Communications in Algebra，2000，28（7）：3401-3426.

［14］ 張傳軍，朱華偉.由秩為r的冪等元生成的保向部分變換半群V（n，r）［J］.西南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，35（8）：72-76.

Maximal regular subsemigroups of the ideals of semigroup PORn

ZHAO Yi，YOU Tai-jie，ZHAO Ping
（School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China）

Let POPnand PORnbe the partial orientation-preserving transformation semigroup and the partial orientation-preserving or orientation-reserving transformation semigroup on Xn，respectively.For an arbitrary integer r such that 2≤r≤n－1，the structures of the maximal regular subsemigroups of the semigroup I（n，r）＝｛α∈PORn：｜im（α）｜≤r｝are studied.Using Miller-Clifford theorem，the authors proved that I（n，r）has exactly two class of maximal regular subsemigroups，i.e.：（?。㎝α＝I（n，r－1）∪（Jr＼Rα），α∈Jr；（ⅱ）Nr＝I（n，r－1）∪，where Jr＝｛α∈PORn：｜im（α）｜＝r｝＝｛α∈POPn：｜im（α）｜＝r｝，Rαbe the R-class ofα.

transformation semigroup；orientation-preserving；orientation-reserving；maximal regular semigroup

O 152.7 ［學(xué)科代碼］ 110·2115

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0044-05

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.010

2014-03-04

國家自然科學(xué)基金資助項目（11461014）；貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目（黔科合J字［2013］2225號）.

趙頤（1980—），男，碩士，講師，主要從事群論和編碼理論研究；游泰杰（1959—），男，教授，主要從事群論和半群理論研究.