朱 碩，張曉輝

引言

在光學(xué)檢測領(lǐng)域中大口徑平面鏡作為標(biāo)準(zhǔn)器具常用作光學(xué)系統(tǒng)的自準(zhǔn)，對其本身的面形精度具有很高的要求［1－5］。隨著平面鏡制作口徑越來越大，干涉測量法無法對口徑過大的平面鏡進(jìn)行直接檢測，使高精度大口徑平面鏡檢測成為難題［6］。瑞奇－康芒法作為在大口徑平面鏡檢測中一種常用的檢測方法［7－13］，測試時需要一塊面形精度較高的球面鏡作為參考鏡，檢測方法直觀、易于實(shí)現(xiàn)，且具有較好的穩(wěn)定性。在國外，有關(guān)瑞奇－康芒檢測法的研究已經(jīng)相對成熟并能達(dá)到較高的測試精度［14－15］；近些年來，針對大口徑平面鏡檢測問題，國內(nèi)一些研究機(jī)構(gòu)已相繼開始使用瑞奇－康芒法對大口徑平面鏡進(jìn)行檢測，但檢測精度仍有待提高［16］。本文根據(jù)瑞奇－康芒檢測原理，針對面形結(jié)果計(jì)算精度問題，提出利用幾何坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系對系統(tǒng)波像差進(jìn)行恢復(fù)的方法，兩角度檢測后結(jié)合最小二乘法分離出調(diào)整誤差影響，從而得到被檢平面鏡的面形。通過仿真證明此方法的有效性并給出計(jì)算精度，與目前常使用的影響矩陣算法的計(jì)算結(jié)果作對比，證明坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法在一定程度上可以提高計(jì)算結(jié)果精度，使結(jié)果更接近平面鏡面形的真實(shí)情況。最后通過實(shí)驗(yàn)對一塊口徑為100 mm的平面鏡進(jìn)行檢測，分別采用2種數(shù)據(jù)處理方法對所測波前進(jìn)行面形恢復(fù)并與干涉儀直接檢測檢測結(jié)果對比，結(jié)果證明對同一組測試數(shù)據(jù)處理后，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系計(jì)算得到的面形精度更高，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確性，為提高瑞奇－康芒法的檢測結(jié)果精度提供了理論依據(jù)。

1 算法原理分析

圖1為瑞奇－康芒法檢測原理圖。干涉儀發(fā)出的準(zhǔn)直光束經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)鏡頭成為發(fā)散光出射，鏡頭焦點(diǎn)恰好位于標(biāo)準(zhǔn)球面鏡的曲率中心處，將被檢平面鏡以一定的角度θ斜插入到光路中，光束經(jīng)過平面鏡反射到標(biāo)準(zhǔn)球面鏡，再經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)球面鏡反射沿原光路返回與干涉儀內(nèi)部的參考光束發(fā)生干涉，最終根據(jù)測得系統(tǒng)波像差分析并計(jì)算得到平面鏡的面形誤差［17－18］。

圖1 瑞奇－康芒法檢測原理圖Fig.1 Principle diagram of Ritchey－Common test

圖2 給出了準(zhǔn)直光束在不同入射角度情況下，系統(tǒng)波像差與面形誤差的關(guān)系［19］。根據(jù)測試原理可知，瑞奇－康芒法在檢測時測試光束2次經(jīng)過被檢平面鏡，測得系統(tǒng)波像差中包含4倍的平面鏡面形誤差，并且由于平面鏡以一定角度插入在發(fā)散光路中，光束實(shí)際經(jīng)過的光程差為s×cosθ，故測得的波像差W＝4s×cosθ，但不同于準(zhǔn)直光束的是由于測試光束是以發(fā)散的球面波形式入射到平面鏡上，導(dǎo)致平面鏡上任一點(diǎn)入射角的大小都不同，如對測得系統(tǒng)波像差仍進(jìn)行單一角度的轉(zhuǎn)換會使計(jì)算得到的面形誤差存在一定誤差。

圖2 面形誤差與波像差關(guān)系Fig.2 Relationship between surface error and wave fronts

目前常用于瑞奇－康芒檢測面形恢復(fù)的方法是利用Zernike多項(xiàng)式表示面形誤差以及系統(tǒng)波像差的具體形式，根據(jù)面形誤差中的各誤差項(xiàng)對波像差的貢獻(xiàn)，在近似的條件下推導(dǎo)出二者之間的影響函數(shù)［17］，利用此影響函數(shù)以及多角度測得的系統(tǒng)波像差數(shù)據(jù)求出面形誤差的Zernike系數(shù)，進(jìn)而根據(jù)（1）式擬合出平面鏡的面形：

式中：ai為Zernike多項(xiàng)式的系數(shù)；Zn為Zernike多項(xiàng)式基底。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)瑞奇－康芒檢測原理，分析系統(tǒng)光瞳面坐標(biāo)系與平面鏡坐標(biāo)系之間的相對位置關(guān)系，如圖3所示。

圖3 坐標(biāo)關(guān)系圖Fig.3 Relationship between coordinates

利用幾何方法直接推導(dǎo)二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

式中：xs、ys表示被檢平面鏡鏡面坐標(biāo)；xp、yp表示系統(tǒng)光瞳面坐標(biāo)；兩坐標(biāo)系間的夾角與瑞奇角θ大小相同；d為干涉儀鏡頭焦點(diǎn)到被檢平面鏡中心的距離。平面鏡面形誤差S（xs，ys）引起了系統(tǒng)波像差W（xp，yp）的變化，經(jīng)過2次反射后，二者的關(guān)系可表示為

式中I表示任意入射角。同樣利用幾何位置關(guān)系來表示I：

根據(jù)（4）式和（5）式即可建立平面面形誤差與系統(tǒng)波像差之間的幅值轉(zhuǎn)換函數(shù)。

利用以上轉(zhuǎn)換公式對測得波像差進(jìn)行處理即可對測得壓縮波前進(jìn)行恢復(fù)展開從而得到被檢平面鏡的面形誤差。

由于測試過程中使用一塊面形精度較高的球面鏡作為參考鏡，光路調(diào)整過程中會引入離焦項(xiàng)誤差，并且被檢平面鏡斜插入在發(fā)散測試光路中，平面鏡自身像散與大曲率半徑引入的影響混疊在一起，單次檢測無法區(qū)分，需要進(jìn)行多角度檢測以得到最終的面形結(jié)果。利用兩角度檢測數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法可以分離出調(diào)整誤差影響，以得到最終的面形結(jié)果。

2 仿真

為進(jìn)一步分析此算法的計(jì)算精度，在Zemax軟件中搭建瑞奇－康芒仿真測試光路對檢測進(jìn)行模擬。在軟件中以點(diǎn)光源模擬干涉儀的發(fā)散光束，仿真光路圖如圖4所示。

圖4 仿真測試光路Fig.4 Simulation test path

利用Zernike多項(xiàng)式給出一個假設(shè)的平面鏡面形：將假設(shè)平面鏡插入到仿真光路中，光線追跡后得到系統(tǒng)波像差，利用坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)換法對其進(jìn)行展開，計(jì)算平面鏡的面形，將結(jié)果與假設(shè)的原始面形作對比并分析計(jì)算精度。再使用影響矩陣法對測試波前進(jìn)行計(jì)算，對比2種方法的計(jì)算精度，為實(shí)際測試提供理論依據(jù)。

假設(shè)平面鏡的面形情況如圖5所示，其峰谷值PV為0.047 4λ，均方根誤差RMS值為0.007 4λ，將瑞奇角設(shè)定為30°、45°進(jìn)行光線追跡后得到兩角度下的系統(tǒng)波像差，使用幾何坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法對波像差數(shù)據(jù)進(jìn)行展開處理，計(jì)算出的面形結(jié)果其PV值為0.046 4λ、RSM 值為0.007 3λ，圖6（a）為計(jì)算得到的平面面形圖，理論上算法的PV檢測精度達(dá)到0.001λ、RMS檢測精度達(dá)到0.000 1λ。同時也對波像差數(shù)據(jù)使用影響矩陣法來分析，計(jì)算得到的面形結(jié)果其PV值為0.036 3λ、RMS值為0.005 8λ，面形情況如圖6（b）所示，比較結(jié)果可知，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法可以更好的恢復(fù)出平面鏡的面形情況且精度較高。

圖5 假設(shè)平面鏡面形誤差Fig.5 Supposed flat surface error

通過仿真分析可知，相比影響矩陣法，幾何坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)換法可以更好地對測得系統(tǒng)波像差進(jìn)行面形恢復(fù)。此方法可以將測得波前中數(shù)據(jù)每一采樣點(diǎn)精確地對應(yīng)到其鏡面坐標(biāo)位置上，并且按其相應(yīng)的入射角度進(jìn)行幅值轉(zhuǎn)換，不但避免了近似關(guān)系下推導(dǎo)引入的誤差，同時也避免了使用Zernike多項(xiàng)式擬合帶來的誤差。并且在實(shí)際檢測中，影響矩陣法在數(shù)據(jù)處理時平面鏡面形誤差對離焦項(xiàng)的貢獻(xiàn)與光路調(diào)整過程中引入的離焦誤差無法區(qū)分，需要舍棄離焦項(xiàng)再進(jìn)行擬合，而坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法可以利用兩角度檢測在最終結(jié)果中分離出由光路調(diào)整誤差帶來的誤差，一定程度上使瑞奇－康芒檢測法的精度得到了提高，可使最終計(jì)算得到的面形結(jié)果更為真實(shí)地反映出平面鏡的面形情況，更利于瑞奇－康芒檢測數(shù)據(jù)分析。

圖6 仿真面形結(jié)果Fig.6 Surface result of simulation

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)通過對一塊口徑為100mm的平面鏡進(jìn)行檢測來進(jìn)一步證明理論分析的正確性。選擇一塊球面反射鏡作為參考鏡，其口徑為280mm，曲率半徑為1 172mm，實(shí)驗(yàn)平臺布局如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺布局Fig.7 Experimental layout

根據(jù)目前實(shí)驗(yàn)室檢測條件，選擇抗震能力較好的4D動態(tài)干涉儀進(jìn)行瑞奇－康芒實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)首先對標(biāo)準(zhǔn)球面鏡進(jìn)行標(biāo)定，得到球面鏡的面形誤差以便在后續(xù)處理時予以剔除；第二步搭建瑞奇－康芒檢測光路，在瑞奇角角度為24°狀態(tài)下對平面鏡進(jìn)行檢測，微調(diào)光路直到干涉儀所測得的波像差穩(wěn)定開始記錄數(shù)據(jù)；在獲得第一組波前數(shù)據(jù)后旋轉(zhuǎn)平面鏡至40°位置，調(diào)整光路完成兩角度檢測。需要注意的是，在改變?nèi)鹌娼堑倪^程中必須確保干涉標(biāo)準(zhǔn)鏡頭焦點(diǎn)到平面鏡中心的距離保持不變，從而保證兩角度檢測時系統(tǒng)光瞳面坐標(biāo)系與平面鏡坐標(biāo)系間對應(yīng)位置的一致性與正確性，檢測時可利用高精度轉(zhuǎn)臺配合完成角度的旋轉(zhuǎn)。

對兩角度下測得數(shù)據(jù)分別使用2種方法進(jìn)行分析解算，圖8給出了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法計(jì)算平面鏡面形誤差的最終結(jié)果，面形的PV值為0.149λ，RMS值為0.017 7λ，表1給出了使用最小二乘法分離出的離焦項(xiàng)誤差系數(shù)。

圖8 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法結(jié)果Fig.8 Result of coordinate transforming（PV＝0.149，RMS＝0.0177λ）

表1 離焦項(xiàng)系數(shù)Table 1 Coefficients of defocus

使用影響矩陣法對測得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算得到的面形PV值為0.136λ，RMS值為0.014λ，面形結(jié)果如圖9所示。

由于4D干涉儀提供的準(zhǔn)直光束的口徑較小，不能對被檢平面鏡直接進(jìn)行檢測，故選擇ZYGO干涉儀直接對平面鏡檢測，得到的面形情況如圖10所示，PV值為0.162λ，RMS值為0.022λ。為便于比較，表2列出了3次結(jié)果的PV及RMS值。

圖9 影響矩陣法結(jié)果Fig.9 Result of impact matrix（PV＝0.136λ，RMS＝0.014λ）

圖10 Zygo干涉儀測得平面鏡面形Fig.10 Flat surface figure measured by Zygo

表2 3次結(jié)果比較 λTable 2 Comparison of results by 3 methods

分別將2種面形恢復(fù)方法的分析計(jì)算結(jié)果與直接檢測得到的結(jié)果作比對，可以看到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法計(jì)算出的面形更為接近實(shí)際面形情況，峰谷值PV實(shí)際檢測精度優(yōu)于1／20λ，均方根值RMS實(shí)際檢測精度優(yōu)于1／100λ，且相對影響矩陣法PV精度提高了0.013λ，RMS精度提高了0.003 7λ。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法在數(shù)據(jù)后續(xù)處理時，在將面形數(shù)據(jù)從橢圓域展開成圓域的過程中，需要對弧矢方向的數(shù)據(jù)作插值處理，一定程度上會造成對高頻誤差的平滑，但由于平面鏡在加工過程中高頻誤差較小，故對最終計(jì)算結(jié)果的影響不大，可以忽略其影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法的計(jì)算精度較高，在實(shí)際測試時可以分離出系統(tǒng)的調(diào)整誤差，使檢測結(jié)果更為真實(shí)地反映出真實(shí)的平面鏡面形情況，更有利于高精度瑞奇－康芒檢測。為提高瑞奇－康芒法檢測精度提供理論依據(jù)。實(shí)驗(yàn)過程中為減小環(huán)境和人為因素的影響，必須進(jìn)行多次測量取穩(wěn)定的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

4 結(jié)論

本文針對使用瑞奇－康芒法檢測大口徑平面中數(shù)據(jù)處理問題，著重介紹了利用幾何坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系計(jì)算出平面鏡面形誤差的方法，詳細(xì)介紹了其原理及計(jì)算方法。通過仿真模擬實(shí)際測試光路，分析了此方法的計(jì)算精度，并給出了與影響矩陣法結(jié)果的對比結(jié)果。通過實(shí)驗(yàn)對一小口徑平面鏡檢測，分別使用2種面形恢復(fù)方法計(jì)算得到平面鏡面形數(shù)據(jù)，對比干涉儀直接檢測的結(jié)果，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法的PV實(shí)際檢測精度優(yōu)于1／20λ，RMS實(shí)際檢測精度優(yōu)于1／100λ，實(shí)現(xiàn)了高精度檢測，證明了仿真分析的正確性，也為提高瑞奇－康芒檢測法精度提供了依據(jù)，在實(shí)驗(yàn)中選擇坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法對測得波前數(shù)據(jù)進(jìn)行分析解算可以使結(jié)果更為真實(shí)準(zhǔn)確地反映出被檢平面鏡的面形情況。

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