李福沛 于文靜 蔡琪 劉宇豪

摘 要：設(shè)計(jì)了基于小波的多尺度圖像邊緣算法的實(shí)驗(yàn)。通過此實(shí)驗(yàn)，在熟練掌握圖像邊緣提取的經(jīng)典算法基礎(chǔ)上，了解小波對于圖像多層提供可實(shí)現(xiàn)上述方法的matlab程序代碼，學(xué)生可利用相關(guān)程序?qū)D像進(jìn)行邊緣提取，比較邊緣提取利用不同方法獲得不同特征的邊緣。在數(shù)字圖像實(shí)驗(yàn)中首次引入小波的多尺度圖像邊緣算法。

關(guān)鍵詞：邊緣檢測；邊緣算子；小波變換

引言

目前的邊緣提取算法有傳統(tǒng)的利用微分算子的邊緣檢測算法，正在迅速發(fā)展的小波多尺度邊緣檢測算法，另外還有基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣檢測算法等。本實(shí)驗(yàn)將引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)傳統(tǒng)的邊緣檢測算法，體會小波邊緣檢測算法，并利用Matlab進(jìn)行編程實(shí)驗(yàn)觀察比較各算法的邊緣檢測效果。

1 經(jīng)典的圖像邊緣檢測算子的原理

將圖像邊緣定義為灰度變化比較劇烈的地方，可以具體為其周邊像素灰度有階躍變化或屋頂變化的像素的集合。一般邊緣檢測方法是考察圖像的每個(gè)像素在某個(gè)鄰域內(nèi)灰度的變化，利用邊緣一階或二階方向?qū)?shù)變化規(guī)律來檢測邊緣，這種方法通常稱為邊緣檢測局部算子法。幾種經(jīng)典的邊緣檢測算子：

（1）基于一階微分的邊緣檢測算子，包括Roberts算子，Sobel算子和Prewitt算子

Roberts邊緣算子是一種斜向差分的梯度計(jì)算方法，梯度的大小代表邊緣的強(qiáng)度，梯度的方向與邊緣走向垂直。其計(jì)算公式表示為：

式中，f（x，y）是具有整數(shù)像素坐標(biāo)的輸入圖像。

Roberts邊緣算子定位精度，在水平和垂直方向效果較好，但對噪聲敏感。

Sobel邊緣算子是一組方向算子，從不同的方向檢測邊緣。Sobel算子不是簡單求平均再差分，而是加強(qiáng)了中心像素上、下、左、右四個(gè)方向像素的權(quán)重，運(yùn)算結(jié)果是一副邊緣圖像。該算子通常由下列計(jì)算公式表示：

Prwitte邊緣算子是一種邊緣樣板算子，利用像素點(diǎn)上下、左右鄰點(diǎn)灰度差，在邊緣處達(dá)到極值檢測邊緣，對噪聲具有平滑作用。由于邊緣點(diǎn)像素的灰度值與其鄰域點(diǎn)像素的灰度值有顯著不同，在實(shí)際應(yīng)用中通常采用微分算子和模板匹配方法檢測圖像邊緣。該算子通常由下列計(jì)算公式表示：

Prewitt算子不僅能檢測邊緣點(diǎn)，而且能抑制噪聲的影響，因此，對灰度和噪聲較多的圖像處理的較好。

（2）基于二階微分的邊緣檢測算子，Laplacian算子是最常用的二階導(dǎo)數(shù)算子。

由二元函數(shù)f（x，y）的Laplacian變換公式：

？犖2f算子能突出反映圖像中的角線和孤立點(diǎn)。

（3）基于最優(yōu)化方法的邊緣檢測算子，常用的有Canny邊緣算子。

Canny算子是采用二維高斯函數(shù)的任意方向上的一階方向?qū)?shù)為噪聲濾波器，通過與圖像f（x，y）卷積進(jìn)行濾波，然后對濾波后的圖像尋找圖像梯度的局部極大值，確定圖像邊緣。數(shù)學(xué)描述為：首先取二維高斯函數(shù)

，式中，■為方向矢量，？犖G（x，y）為梯度矢量。

Canny算子是建立在二維？犖G（x，y）×f（x，y）基礎(chǔ)上，邊緣強(qiáng)度由

|？犖G（x，y）×f（x，y）|和方向 來決定。[1]

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

（1）圖像的基本操作[4][5][6]

imread（‘filename.fmt） 該語句用于讀取指定名稱和文件格式的圖像

rgb2gray（X） 該語句用于將變量X中存儲的彩色圖像轉(zhuǎn)換成灰度圖像

imshow（X） 該語句用于使用通用的圖形圖像視窗來顯示變量X中存儲的圖像

邊緣檢測：edge（I，methodparameters） 圖像邊緣檢測，I為輸入圖像，method可以為robertssobelprewittlog等分別對應(yīng)相應(yīng)的算子

BW=edge（I，roberts）

BW=edge（I，sobel）

BW=edge（I，prewitt）

BW=edge（I，log）

BW=edge（I，canny）

小波變換：[C，S]=wavedec2（X，N， ‘wname） 用指定的小波基計(jì)算圖像X的N層二維離散小波分解。

X=wrcoef2（‘type，C，S，wname，N）用多層分解得到的結(jié)構(gòu)來重構(gòu)第N層信號。

（2）利用經(jīng)典算子提取圖像邊緣

在上一節(jié)中已對于圖像的經(jīng)典算子進(jìn)行邊緣提取的理論作了詳細(xì)論述，這里以圖像lena.png為例，提取圖像的邊緣得到如下結(jié)果。學(xué)生可以對于不同算法的邊緣提取進(jìn)行比較并利用程序?qū)嶒?yàn)中提供的程序edge.m通過改寫程序中圖像名稱對不同圖像的邊緣進(jìn)行提取。

圖1 經(jīng)典算法對于圖像的邊緣提取

（3）利用小波變換對圖像進(jìn)行處理

圖2 利用小波變換對圖像進(jìn)行邊緣提取

（4）利用小波的多層分解的模極值獲取圖像的邊緣對于變換后的圖像，利用小波的多層分解，提取每層模的極大值點(diǎn)以獲取圖像的主體結(jié)構(gòu)信息。

設(shè)二元函數(shù)？茲（x，y）滿足以下條件：

則稱？茲（x，y）為二元平滑函數(shù)。對于？茲（x，y），定義兩個(gè)小波函數(shù)：

記 ，其中i=1，2，則在尺度2j時(shí)函數(shù)f（x，y）

沿水平方向和垂直方向的二進(jìn)小波變換為：

并記作：

按照卷積和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可以將其改寫為：

定義在尺度2j時(shí)函數(shù)f（x，y）小波變換的模和輻角分別為：

函數(shù)的突變點(diǎn)對應(yīng)于矢量方向 上 的局部極大值點(diǎn)，在處理圖像時(shí)，函數(shù)的突變點(diǎn)即圖像的邊緣點(diǎn)。對任意點(diǎn)f（x0，y0），若 在由 給定的梯度方向上取局部模極大值，則稱點(diǎn)f（x0，y0）為f（x，y）的二進(jìn)小波變換的模的局部極大值點(diǎn)，這些二進(jìn)小波變換的模取極大值點(diǎn)的位置就給出了圖像的一個(gè)多尺度邊緣。[2]

圖3中第一列是原始圖像的模值的圖像，第二列給出了模值的局部極大值的圖像，第三列是給出了模值的局部極大值的圖像，當(dāng)紋理光線的變化的極大值大于給定的閾值時(shí)，則用該閾值表示。[3]

3 結(jié)束語

通過這一實(shí)驗(yàn)學(xué)生了解mallat原理和方法的實(shí)現(xiàn)，利用程序及具體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，使學(xué)生對經(jīng)典邊緣提取，小波分解的邊緣提取，和mallat算法多層小波分解局部極大值的邊緣提取有了感性的認(rèn)識。通過圖像處理結(jié)果對比，激發(fā)學(xué)生對于這一方向的興趣。希望能對于學(xué)生在這一方向的研究上具有一定的指導(dǎo)作用。

參考文獻(xiàn)

[1]張德豐，等.MATLAB數(shù)字圖像處理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社.

[2]高國榮，劉冉，羿旭明，等.一種改進(jìn)的基于小波變換的圖像邊緣提取算法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2005，51（5）：615-619.

[3]Mallat，S. Zhong， S. Characterization of signals from multiscale edges[J].Pattern Analysis and Machine Intelligence， IEEE Transactions on ，Jul 1992，710-732.

[4]張德豐.數(shù)字圖像處理（MATLAB版）[M].北京：人民郵電出版社，2009：15-30.

[5]王家文.MATLAB7.6圖形圖像處理[M].北京：國防工業(yè)出版社，2009：21-32.

[6]J. Wu and Q. Q. Ruan. Object removal by cross isophotes exemplar-based inpainting [C]//Proceedings of 18th International Conference on Pattern Recognition. Hong Kong： IEEE， 2006，3：810-813.