李文霞，許洪建，李文帥

(1．蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州 730070；2．天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，天津 300222；3．石家莊鐵道大學(xué)材料科學(xué)和工程學(xué)院，河北石家莊 050000)

具有Allee效應(yīng)的食餌-捕食模型的最優(yōu)捕獲問題

李文霞1，許洪建2，李文帥3

(1．蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州 730070；2．天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，天津 300222；3．石家莊鐵道大學(xué)材料科學(xué)和工程學(xué)院，河北石家莊 050000)

建立了食餌含Allee效應(yīng)的最優(yōu)捕獲模型，證明了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，并討論了生態(tài)平衡點(diǎn)的存在性，最后利用Pontryain最大值原理確定了最優(yōu)捕獲策略．

Allee效應(yīng)；Pontryain最大值原理；最優(yōu)捕獲

所謂Allee效應(yīng)，即在自然環(huán)境中，由于個(gè)體很難找到食物或配偶時(shí)，種群遭遇相反的密度依賴維持很低的密度，并對(duì)生殖發(fā)生負(fù)作用，甚至最終走向滅亡．

植物[1]、海洋無脊椎動(dòng)物[2]、哺乳動(dòng)物[3]等都具有Allee效應(yīng)．近年來，Allee效應(yīng)對(duì)種群和生態(tài)學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響問題一直是許多專家學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)，相關(guān)研究成果已有很多[4-9]，其中大多數(shù)文獻(xiàn)討論的是增長函數(shù)具有乘法形式的Allee效應(yīng)．文獻(xiàn)[10]考慮了食餌自然增長函數(shù)具有加法形式的Allee效應(yīng)，模型如下：

本文受其啟發(fā)，將對(duì)食餌自然增長函數(shù)具有加法形

式的Allee效應(yīng)的最優(yōu)捕獲問題進(jìn)行研究，于是得到如下模型：

其中，E1,E2分別表示食餌和捕食者的捕獲努力度，q1,q2分別表示食餌和捕食者的捕獲能力系數(shù)，E1,E2,q1,q2均大于0．其它參數(shù)生物意義同模型（1）．

1 正平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性

證明：系統(tǒng)（3）的線性近似系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

2 系統(tǒng)（3）的全局穩(wěn)定性

證明：通過構(gòu)造Lyapunon[11]函數(shù)：

顯然，其為正定函數(shù)．沿系統(tǒng)（3）對(duì)V求導(dǎo)，得：

3 生態(tài)經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)的存在性

下面在生產(chǎn)模型（3）的基礎(chǔ)上，建立生物經(jīng)濟(jì)模型．

設(shè)p1,p2分別表示資源x,y的價(jià)格（元/噸），c1,c2分別表示食餌和捕食種群進(jìn)行捕獲的單位努力度成本，則社會(huì)經(jīng)濟(jì)收入為：

為了計(jì)算簡(jiǎn)單，假設(shè)c1,c2為常數(shù)，捕食者和食餌所獲得的收入均為正值，即

證明：當(dāng)系統(tǒng)（3）存在平衡點(diǎn)時(shí)應(yīng)滿足下面的條件：

生態(tài)平衡點(diǎn)又是經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)，也就是：

4 最優(yōu)捕獲策略

利用比較系數(shù)法得非齊次線性方程的通解為：

5 結(jié) 論

在自然界中，Allee效應(yīng)很可能影響食餌或捕食者在生態(tài)環(huán)境中的穩(wěn)定性，因此在該系統(tǒng)中討論最優(yōu)捕獲問題是很切合實(shí)際的，這一方面有利于種群的發(fā)轉(zhuǎn)，另一方面也可保護(hù)環(huán)境，維持生態(tài)平衡．

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Optimal Capture Strategy of a Predator-prey Model with Allee Effect

LI Wenxia, XU Hongjian, LI Wenshuai
(1. Department of Mathematics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070; 2. Department of Mathematics, Tianjin Normal University of Vocational Technology, Tianjin, China 300222; 3. College of Materials Science and Engineering, Shijiazhuang Railway Institute, Shijiazhuang, China 050000)

This paper proves asymptotic stability of the equilibrium point of the system and the overall stability on the basis of the optimal prey capture model with Allee effect. Meanwhile, the existence of ecological equilibrium is discussed then. Finally the optimal capture strategy is determined by means of the Pontryain maximum principle.

Allee Effect; Pontryain Maximal Principle; Optimal Capture Strategy

O175

A

1674-3563(2015)01-0017-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.01.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-03-17

李文霞(1987- )，女，山西朔州人，碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)