雷騰飛，陳 恒，王 震

(西京學(xué)院控制工程學(xué)院，陜西西安 325035)

Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)及自適應(yīng)控制研究

雷騰飛，陳 恒，王 震

(西京學(xué)院控制工程學(xué)院，陜西西安 325035)

針對一類具有四參數(shù)的Shimizu-Morioka系統(tǒng)，對系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并利用分岔圖與Lyapunov指數(shù)對新增加的兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行了數(shù)值分析．運(yùn)用Multisim軟件設(shè)計(jì)了Shimizu-Morioka系統(tǒng)的混沌電路，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌同步．Matlab仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出同步方法的有效性和可實(shí)現(xiàn)性．

Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)；電路仿真；自適應(yīng)控制

自1963年Lorenz[1]提出第一個(gè)混沌模型以來，人們對混沌系統(tǒng)產(chǎn)生了極大的興趣，并在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，發(fā)現(xiàn)了許多新的三維混沌系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)[2]，Lü系統(tǒng)[3]、Liu系統(tǒng)[4]等．此后，國內(nèi)外不少學(xué)者提出了以Lorenz系統(tǒng)為基礎(chǔ)的若干變種的新混沌系統(tǒng)[5-8]，混沌系統(tǒng)的不斷提出進(jìn)一步促進(jìn)了人們對混沌現(xiàn)象更深入的認(rèn)識(shí)和研究，豐富和完善了混沌學(xué)的研究內(nèi)容，從而也提高了混沌理論在圖像數(shù)據(jù)加密、保密通信、電力電網(wǎng)動(dòng)態(tài)分析和保護(hù)、機(jī)械振動(dòng)故障診斷、振蕩發(fā)生器設(shè)計(jì)、信號(hào)檢測與處理等方面的工程應(yīng)用能力[9-14]．

由于混沌運(yùn)動(dòng)對初值的敏感性和長時(shí)間發(fā)展趨勢具有不可預(yù)測性，因此混沌振蕩在大多數(shù)情況下是有害的，如何有效地抑制或消除混沌現(xiàn)象，已經(jīng)引起了全球眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注．1990年，Ott E.等[8]提出一種比較系統(tǒng)和嚴(yán)密的參數(shù)微擾方法，即OGY方法．近年來，混沌同步的研究得到了蓬勃發(fā)展，該研究方向迅速成為混沌控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)．人們提出了多種混沌同步的思路和方法，如狀態(tài)反饋方法[9]、自適應(yīng)控制方法[10]、觀測器方法[11]等，取得了良好的控制效果，但所研究的混沌系統(tǒng)多集中在以上幾個(gè)系統(tǒng)及分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[16-20]．早在1980年，Shimizu T.和Morioka N.[13]就發(fā)明了Shimizu-Morioka系統(tǒng)，到目前為止，此系統(tǒng)的相關(guān)研究甚少．

本文對四參數(shù)的Shimizu-Morioka系統(tǒng)，通過理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真系統(tǒng)的吸引子圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)研究了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性；同時(shí)為了在實(shí)際中更好地應(yīng)用此系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的硬件電路并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步說明系統(tǒng)的客觀存在性，最后利用Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的自適應(yīng)同步控制器，將兩個(gè)初始值參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)行為同步，數(shù)值仿真證實(shí)了該方法的有效性與可實(shí)現(xiàn)性．本系統(tǒng)只有六項(xiàng)，比Lorenz系統(tǒng)少一項(xiàng)，故易于工程中實(shí)現(xiàn)．

1 混沌系統(tǒng)與分析

根據(jù)文[15]所提出的混沌系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上再增加兩個(gè)參數(shù)，則四參數(shù)的Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)如下：

其中x, y, z為系統(tǒng)變量，a, b, c, d為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)a=1,b=2,c=0.85,d=0.5，系統(tǒng)（1）存在一個(gè)典型的混沌吸引子如圖1所示，此時(shí)的Lyapunov指數(shù)穩(wěn)態(tài)值分別為LE1=0.110931、LE2= -0.000 065 、LE3=-1.460867，維數(shù)dL=2.076．

圖1 系統(tǒng)吸引子

1.1 耗散性

由（1）式得：這就意味著系統(tǒng)（1）具有耗散性，且以指數(shù)速率e-1.35t收 斂，當(dāng)t→∞時(shí)，包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)體積元以指數(shù)速率收縮到0．因此，所有系統(tǒng)軌線最終會(huì)限制在一個(gè)體積為零的集合上，且漸近固定在一個(gè)吸引子上，即說明吸收引子存在性．

1.2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

由此可知，三個(gè)平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，且是雙渦卷混沌吸引子．

1.3 Lyapunov指數(shù)及分岔圖

從系統(tǒng)的三個(gè)方向的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，可以直觀看出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化．

固定參數(shù)b=2,c=0.85,d =0.5，從圖2(a)可以看出，當(dāng)a∈[0.8,6]系統(tǒng)出現(xiàn)了一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，分岔圖也可以表明如圖2(b)所示．當(dāng)a∈(6,20]，最大的Lyapunov指數(shù)為0，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)形式，如圖3所示．

圖2 a變化時(shí)系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜與關(guān)于x的分岔圖

同理，固定參數(shù)a=1,c=0.85,d=0.5，分析參數(shù)b對系統(tǒng)的影響．當(dāng)b∈[1,13]系統(tǒng)出現(xiàn)了一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，分岔圖也可以表明，如圖4所示．

2 系統(tǒng)電路原理圖及方程

采用NI公司的Multisim軟件進(jìn)行仿真，在仿真軟件中，元件庫中虛擬器件特性與實(shí)際元器件幾乎性能一樣，Multisim是國際上公認(rèn)的電路設(shè)計(jì)軟件平臺(tái)，因此該應(yīng)用該軟件的仿真效果與實(shí)際效果是相符的．

圖3 a=8時(shí)系統(tǒng)相位圖

圖4 b變化時(shí)系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜與關(guān)于x的分岔圖

對四參數(shù)的Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)（1）進(jìn)行電路設(shè)計(jì)，根據(jù)系統(tǒng)（1）的狀態(tài)表達(dá)式，設(shè)計(jì)電路圖如圖5．系統(tǒng)（1）是由線性電阻、電容、運(yùn)算放大器LM741和模擬乘法器AD633來實(shí)現(xiàn)的．因?yàn)長M741與AD633允許工作電壓的限制，故將輸出電壓線性縮小為原來的0.1倍．

圖5 系統(tǒng)(1)的電路原理圖

根據(jù)電路圖，寫出其相應(yīng)的振蕩電路方程為：

運(yùn)用Multisim 10對電路進(jìn)行仿真，將水平軸線進(jìn)行了調(diào)整，顯示在示波器上且為實(shí)時(shí)顯示，如圖6所示．

圖6 系統(tǒng)(5)的相位圖

混沌電路的搭建應(yīng)該注意兩個(gè)重要問題：

1）對于電阻誤差精度的選擇，建議選擇精密電阻，對于非標(biāo)電阻可以通過串并實(shí)現(xiàn)．

2）對于供電系統(tǒng)的選擇，采用線性穩(wěn)壓電源，盡量避免開關(guān)電源的使用，因開關(guān)電源紋波較大，對輸出波形干擾較大．

上述的理論分析、數(shù)值仿真、以及電路系統(tǒng)仿真均證明了Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)具有混沌系統(tǒng)共有的一切特征，因?yàn)槠鋮?shù)多和電路的可容易實(shí)現(xiàn)性，該系統(tǒng)具有更多潛在的應(yīng)用價(jià)值，如電路的抗干擾性，混沌通信和圖像加密以及檢測等．

3 自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)

為了更好的研究本系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一種簡單的同步控制器，加以控制．

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為系統(tǒng)：

4 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證上述同步控制器的有效性，對該方法用Matlab進(jìn)行了仿真．取參數(shù)a=1，b=2，c=0.85，未知參數(shù)d=0.5，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象．取兩系統(tǒng)的初始條件分別是：x1(0)=0.1，y1(0)=0.1，z1(0)=0.1，x2(0)=1，y2(0)=2，z2(0)=3， d*(0)=0，仿真的同步結(jié)果與誤差結(jié)果如圖7、圖8所示．由圖7圖8可知，當(dāng)t接近14 S左右時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)三個(gè)狀態(tài)量都達(dá)到了同步．

圖7 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步的過程結(jié)果

圖8 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)誤差結(jié)果

5 結(jié) 論

本文對含有四參數(shù)Shimizu-Morioka系統(tǒng)，進(jìn)行數(shù)值仿真和電路仿真，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的混沌吸引子形狀有別于Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)，該系統(tǒng)混沌吸引子形狀像是振動(dòng)翅膀的蝴蝶．通過計(jì)算該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性、數(shù)值仿真和電路仿真驗(yàn)證了該系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)特性．基于Lyapunov穩(wěn)定性原理，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)同步控制器，實(shí)現(xiàn)了Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)的同步．Mtalab仿真結(jié)果，證實(shí)了該方法的可行性及可實(shí)現(xiàn)性．本文研究的系統(tǒng)參數(shù)較多，并且可以用電子振蕩器電路來實(shí)現(xiàn)，所以該系統(tǒng)可廣泛應(yīng)用于電子圖像加密等領(lǐng)域．

致謝：本文寫作過程中，上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院王劃教授對本文提出寶貴意見，在此一并致謝．

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The Research of Circuit Design for Shimizu-Morioka Chaotic System and Its Self-adaptive Control

LEI Tengfei, CHEN Heng, WANG Zhen
(School of Control Engineering, XiJing University, Xi’an, China 710123)

In this paper, the stability of equilibrium point for a Shimizu-Morioka chaotic system with four parameters is studied. By means of the system bifurcation diagram and Lyapunov exponent, the newly-added two parameters are numerically analyzed. In addition, the chaotic circuit of Shimizu-Morioka system is designed with the Multisim software. Finally, the self-adaptative controller is designed based on Lyapunov stability theory so as to realize the chaotic synchronization of the system. The result of Matlab simulation verifys the effectiveness and realizability of the synchronization.

Shimizu-Morioka Chaotic System; Circuit Simulation; Self-adaptive Control

O415.5

A

1674-3563(2015)01-0023-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.01.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-05-27

陜西省教育廳自然科學(xué)項(xiàng)目(12JK1077)；西京學(xué)院科研基金(XJ130117)

雷騰飛(1988- )，男，山東肥城人，碩士研究生，研究方向：混沌電路與混沌控制