張雨晴

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

Smagorinsky模型的變分多尺度有限元方法

張雨晴

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

主要研究求解 Smagorinsky模型的變分多尺度有限元方法．從理論上給出了有限元逼近解與真解之間的誤差估計，并給出了大雷諾數(shù)Re = 10 000時的數(shù)值算例，算例結(jié)果驗證了所給方法的有效性．

Smagorinsky模型；變分多尺度方法；有限元方法；誤差估計

大渦模擬是湍流數(shù)值模擬中一種流行且高效的方法．Smagorinsky模型是常用的大渦模擬模型．與Navier-Stokes方程相比，Smagorinsky模型引入了γ= 3的γ-Laplacian人工粘性項．關(guān)于該模型的有限元數(shù)值方法，國內(nèi)外有一些學者進行了研究，例如，文獻[1]研究了該模型的兩重網(wǎng)格算法，其有限元空間采用P1–P2元進行構(gòu)造；文獻[2]基于壓力投影穩(wěn)定化有限元方法，研究了該模型的兩重網(wǎng)格算法．變分多尺度方法最早是由Hughes[3]等提出的，采用該方法可數(shù)值模擬大雷諾數(shù)下不可壓縮粘性流體的運動規(guī)律．最近，Zheng等[4]提出了一種新的基于局部Gaussian積分的變分多尺度方法，與文獻[3]中的方法相比，這種新的變分多尺度方法不需要引入額外的變量和存儲空間，但可保持相同的計算效率．本文將采用文獻[4]中所提出的變分多尺度方法，研究Smagorinsky模型的有限元逼近，在理論上分析其真解與逼近解的有限元誤差估計，并給出數(shù)值算例驗證理論分析的結(jié)果．

1 Smagorinsky模型

其中， Ω ∈R2是具有 Lipschitz邊界的有界凸域，u,p和f分別代表流體的速度、壓力和體積力．μ=1/Re是粘性系數(shù)，Re是雷諾數(shù)，CS是Smagorinsky常數(shù)，δ是運用于大渦模擬中的空間濾波器gδ的半徑．引入下列函數(shù)空間：

在證明有限元誤差估計時，還用到了下面的引理1．

引理1 對于所有的u1,u2,v∈W1,r(Ω)，存在一個依賴于d和Ω，但不依賴于u1,u2和v的常數(shù)C，使得下面的不等式成立：

2 變分多尺度有限元方法

記Th是Ω的擬一致的三角劃分，相關(guān)有序三角形可表示為K1,K2···Kn，令hi=diam(ki)，i= 1,2···n，h=max{h1,h2···hn}．Pr(K)是K∈Th上度數(shù)最大為r的多項式空間．分別定義如下的有限元子空間：

3 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)將給出數(shù)值結(jié)果來驗證定理3中所得到的有限元誤差階．取Ω為R2上的單位正方形區(qū)域．選取適當?shù)捏w積力f(x,y)使得真解有如下的形式：

表1 不同網(wǎng)格下的數(shù)值相對誤差

從表1中可以得出以下結(jié)論：隨著網(wǎng)格尺度h的減小，速度的H1相對誤差和壓力的L2相對誤差也減小，并且它們的收斂階數(shù)也逐漸達到最優(yōu)階數(shù)O(h2)，與本文理論分析的結(jié)果相一致．

[1] Borggaard J, Iliescu T, Lee H, et al. A two-level discretization method for the Smagorinsky model [J]. Multiscale Modeling and Simulation, 2008, 7(2): 599-621.

[2] Huang P, Feng X, Liu D. Two-level stabilized method based on Newton iteration for the steady Smagorinsky model [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2013, 14(3): 1795-1805.

[3] Hughes T, Franca L P, Hulbert G M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics ,VIII, the Galerkin / least-squares method for advective-diffusive equations [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1989, 73(2): 173-189.

[4] Zheng H, Hou Y, Shi F, et al．A finite element variational multiscale method for incompressible flows based on two local Gauss integrations [J]. Journal of Computational Physics, 2009, 228(16): 5961-5977.

Study on the Finite Element Methods with Variational Multiscale for Smagorinsky Model

ZHANG Yuqing
(College of Mathematics and Information science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper probes chiefly into the variational multiscale finite element method for Smagorinsky model. The finite element error estimations between the finite element approximation solution and the genuine solution are obtained from the theory, and an example of Re = 10 000 is given. Moreover, the results of numerical analysis show that this method is more effective to get the theoretical results．

Smagorinsky Model; Variational Multiscale Method; Finite Element Method; Error Estimation

O242.21

A

1674-3563(2015)04-0008-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.04.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2015-01-02

張雨晴(1988- )，女，吉林長春人，碩士研究生，研究方向：計算機數(shù)學與復雜系統(tǒng)控制