蔡 惠，何文明

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

在具有光滑曲線邊界的有界域上-Δu=λu的數(shù)值特征值外推法的研究

蔡 惠，何文明

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

主要討論在外推技術下，域Ω（Ω??2，是具有光滑曲線邊界的有界域）內-Δu=λu特征值的超收斂性．在區(qū)域內部采用擬一致的矩形剖分，邊界的曲邊四邊形則剖分成兩個三角形（其中一個三角形的一條邊是曲邊），進而得到一種尺寸為h的特殊的剖分τh，在此基礎上，在區(qū)域內部采用雙線性元，在邊界采用線性元，提出一種數(shù)值模擬該方程的有限元方法．利用外推技術發(fā)現(xiàn)，對于特征值來說，該有限元方法具有O(h3)的超收斂性．

超收斂性；特征值外推法；雙線性元

本文將重點討論解決-Δu=λu的有限元超收斂估計問題．外推法技術對長期以來被廣泛研究的有限元超收斂性起著重要作用，林群等人就曾使用外推法技術對數(shù)值問題的超收斂性進行了研究[1-6]．本文將引進特征值外推法的一些結論對-Δu=λu特征值的超收斂性進行研究．

本文將討論在一個光滑曲線邊界的有限區(qū)域Ω??2上，問題（1）的特征值外推法的超收斂性，其中光滑曲線邊界不具有擬一致的矩形剖分或三角剖分．在區(qū)域內部采用擬一致的矩形剖分，在區(qū)域邊界上，把邊界的曲邊四邊形剖分成兩個三角形（其中一個三角形的一條邊是曲邊），得到一種尺寸為h的特殊的剖分τh．對于分區(qū)τh上的-Δu=λu，在區(qū)域的內部采用雙線性元，邊界上采用線性元，本文提出了一種數(shù)值模擬該方程的有限元方法，并通過外推法技術發(fā)現(xiàn)，對于特征值來說，該有限元方法具有O(h3)的超收斂性．

注：本文中使用了索伯列夫空間的一些標準符號以及它們的范數(shù)．定義Ω是二維空間的一個有界區(qū)域，并且c表示常量但每次出現(xiàn)不一定相同，并與h和u無關．

1 一些定義與符號

2 光滑曲線邊界的有限區(qū)域Ω??2上（1）的特征值外推法的超收斂性

基于文獻[10]，得到尺寸為h的特殊剖分τh和相應元素空間S0h．在區(qū)域內部采用擬一致的矩形剖分，在區(qū)域邊界上，把邊界的曲邊四邊形剖分成兩個三角形（其中一個三角形的一條邊是曲邊）．現(xiàn)在在τh上對問題（1）采取一種特殊的有限元方法，即在區(qū)域內部使用雙線性元素，在區(qū)域邊界上，使用如下定義的一種特殊元．假設e是一個邊界元素，并選擇e位于s軸的邊界頂點，且它們中之一在原點s=0處的笛卡爾坐標系．現(xiàn)在假設網(wǎng)格大小h足夠小，以至于使得?e=e∩?Ω能夠被表示為一個圖（見圖1）．

這里p是一個坐標變換．讓AC為一個直邊并且(0 ,0),(h,0)是AC的兩個端點，假設在AC上二次Lobotto點是s0=0＜s1＜s2=h，讓p2(s)是二次多項式并且 (0,0),(s1,p(s1)),(h,p(h))是它所有的節(jié)點，可得：

定義曲線σn:t=p2(s),0≤s≤h．通過連接所有的σn，得到?Ω的一個近似邊界?Ωh．對于問題（1），在τh上，現(xiàn)在引入一種特殊的有限元方法．假設Ω被分割成：

圖1 曲線擬合

其中Ω1是所有擬一致剖分的并集．在區(qū)域內部使用雙線性元素，但在邊界上對任意具有彎曲邊界的三角剖分使用一種特殊的元．假設e?Ω2并且l是e的一個邊緣，如果l是一個直線段，本文要求插值函數(shù)Ihu(x)在l上是一個線性函數(shù)，如果l是一個曲線段，則uI(x)是一個二次函數(shù)．

現(xiàn)在闡述一下本文的思想，設A( 0,0),B(0,h1),C(h,0),E(x,y)是具有一個曲線邊界BC的三角形ABC的四個節(jié)點，并且NA(x,y)是節(jié)點A處相應的基礎函數(shù)．

令

經(jīng)觀察可得NA(x,y)滿足：

1）NA(0,0)=1,NA(0,h1)=NA(h,0)=NA(x1,y1)=0；

2）NA(x,y)在AB和AC是一個線性函數(shù)；

3）NA(x,y)在BC上是一個二次函數(shù)．

假設集合Φ是邊界?Ωh上的所有節(jié)點所組成的集合．進一步，定義S0h：

利用（12）式，通過A（uh,w）= (f,w)， ?w∈S0h對于問題（1）有有限元的解uh∈S0h．對于上述有限元，存在以下的估計．

引理1 假設v∈H3(?Ω),φ∈L2( ?Ω)，并且v(x,y)是邊界?Ω上v(x,y)的一個二次插值函數(shù)，則有：

證明：在τh上把?Ω劃分為l1, … ,ln，可以發(fā)現(xiàn)存在xi,xi+1(xi＜xi+1＜xi+h)和函數(shù)p(x),σ(x)使得

證明完畢．

如上所述，本文使用有限元的方法定義，在τh上有λ的數(shù)值近似λh．現(xiàn)在在剖分τh上引入數(shù)值外推技術去解決問題（1）．首先把包含在Ω1內的每個分區(qū)劃分為 4個相同的分區(qū)，并且把包含在Ω2內的每個分區(qū)也劃分為四個相同分區(qū)，此時得到了剖分τh2族，進而得到了在τh2上的有限元近似λh2，最后通過

來定義λ*．下面的引理2和引理3在分析解λ*與λ之間的誤差時起到了重要的作用．

引理2[11]假設a(u,v)和(u,v)如（5）式所定義，且(λh,uh)是(λ,u)的有限元近似，則有：

并且τ是區(qū)域Ω上尺寸為h的特殊的矩形剖分，Iu(x,y)和uh(x,y)分別是雙線性插值函數(shù)

h2h和（20）式的雙線性有限元解，從而對于任意的e∈Th和v∈Sh有：

基于引理1、引理2和引理3，現(xiàn)在給出解λ*與λ之間的一個誤差估計．

定理 1 假設(λ,u)是問題（1）的解，且λ*如（18）式所定義．在假設u∈H4(Ω)的情況下，存在常數(shù)c，使得

證明：首先估計λ-λh．可從引理2得：

[1] 陳傳淼. 有限元超收斂的構造理論[M]. 長沙: 湖南科學與技術出版社, 2001: 15-44.

[2] 林群, 朱起定. 有限元的預處理和后處理技術[M]. 上海: 上?？茖W技術出版社, 1994: 22-56

[3] 張智民, 朱建州. 超收斂修補恢復技術和有限元后驗誤差估計: I [J]. 應用力學與工程學報, 1995, 123: 173-187.

[4] 張鐵. 導數(shù)小片插值恢復技術與超收斂性[J]. 應用數(shù)學學報, 2001, 56(6): 513-531.

[5] He W M. A new superconvergence and extrapolation for second order triangular element [J]. Applied mathematicsand computation, 2006, 174: 300-315.

[6] 孟令熊, 朱起定. 雙三次有限元的Ultraconvergence衍生品[J]. 應用力學與工程學報, 2007, 196(37): 3771-3778.

[7] 林群, 周俊明. 高次Galerkin有限元的超收斂性[J]. 應用力學與工程學報, 2007, 196(37): 3779-3784.

[8] 張智民. Ultraconvergence的修補恢復技術: II [J]. 計算數(shù)學, 1999, 69(229): 141-158.

[9] Scott R. Interpolated boundary conditions in the finite element method [J]. SIAM J Numerical Analysis, 1975, 12: 404-427.

[10] 林群. 有限元方法的精度與改善[M]. 北京: 科學出版社, 2006: 16-54.

[11] 朱超定, 林群. 有限元超收斂理論[M]. 長沙: 湖南科學與計算出版社, 1989: 5-44.

The Probe into Extrapolation of Numerical Eigenvalue for -Δu=λuon a Bounded Domain with Smooth Curve Boundary

CAI Hui, HE Wenming
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Superconvergence; Eigenvalue Extrapolation; Bi-linear Element

O24

A

1674-3563(2015)04-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.04.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-09-30

蔡惠(1988- )，女，安徽淮南人，碩士研究生，研究方向：計算機系統(tǒng)與復雜系統(tǒng)控制