董仁達(dá)，舒 崧，張 輝

（湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北武漢430062）

退禁閉相變和孤子性質(zhì)的研究

董仁達(dá)，舒 崧，張 輝

（湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北武漢430062）

研究有限溫度密度下的FL模型，通過溫度場(chǎng)論的標(biāo)準(zhǔn)方法，得到有限溫度密度下的有效勢(shì).在FL模型中，重子內(nèi)部亞穩(wěn)態(tài)真空與外部物理真空有效勢(shì)相等時(shí)退禁閉相變發(fā)生.據(jù)此在有限溫度密度下進(jìn)行計(jì)算，得到FL模型中的退禁閉相圖.研究發(fā)現(xiàn)，該模型在強(qiáng)子相一直有穩(wěn)定的孤子解，發(fā)生退禁閉相變后孤子解消失，孤子的變化與退禁閉相變的物理圖像一致.

退禁閉相變；FL模型；孤子；溫度場(chǎng)論

0 引言

現(xiàn)代粒子物理學(xué)認(rèn)為，物質(zhì)的基元是夸克與輕子，然而實(shí)驗(yàn)上可以觀測(cè)到自由存在的輕子，例如電子，卻從來沒能觀測(cè)到自由存在的夸克.夸克總是以強(qiáng)子束縛態(tài)的形式出現(xiàn)，3個(gè)夸克組成重子，兩個(gè)組成介子，為什么作為基本粒子的夸克不能自由出現(xiàn)，夸克禁閉或色禁閉是高能物理的一個(gè)基本問題.理論上認(rèn)為在極端高溫高密的條件下，核物質(zhì)會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N新的物態(tài)——夸克膠子等離子體（QGP）.在這種形態(tài)下夸克膠子可看作類自由的粒子，不再局限于強(qiáng)子袋內(nèi).在實(shí)驗(yàn)上，可通過加速重核，例如金原子核，使獲得極大動(dòng)能的重核束流相撞，會(huì)產(chǎn)生瞬間存在的高溫高密火球，這時(shí)在理論上認(rèn)為會(huì)產(chǎn)生QGP.進(jìn)行重離子碰撞實(shí)驗(yàn)的主要目的就是產(chǎn)生QGP并研究它的性質(zhì).

量子色動(dòng)力學(xué)QCD是描述強(qiáng)相互作用的基本理論，然而由于禁閉與手征對(duì)稱性的自發(fā)破缺，QCD很難直接用于研究低能下的物理問題.在低能下，QCD格點(diǎn)計(jì)算得到的結(jié)果是很可靠的，但由于其工作非常依賴于大規(guī)模高性能計(jì)算機(jī)的運(yùn)算，不便于理論解析研究，因而很多物理學(xué)工作者從具備QCD重要性質(zhì)的有效模型出發(fā)，用溫度場(chǎng)論的方法引進(jìn)溫度密度效應(yīng)，進(jìn)而討論有關(guān)物理問題.Friedberg-Lee（FL）模型，此模型是上世紀(jì)七十年代由李政道等人提出用于研究禁閉及孤子性質(zhì)的有效模型［1］，又稱為非拓?fù)涔伦幽Ｐ?，在平均?chǎng)近似下Wilets廣泛地研究模型在真空環(huán)境中的性質(zhì)［2］.FL模型通過其孤子解非常成功地給出強(qiáng)子的靜態(tài)性質(zhì)［3-4］.孤子又稱為孤立波，傳播過程速度和位形都維持不變，孤子是解非線性微分場(chǎng)方程組得到的一種穩(wěn)定的能量有限的不彌散解，從物理角度看是場(chǎng)的能量在位形空間的一種局域分布.近些年來FL模型又?jǐn)U展到有限溫度密度下研究退禁閉相變［5-7］，很多研究者關(guān)注FL模型在有限溫度密度下的有效勢(shì).

本文中關(guān)心高溫下的退禁閉相變以及相變過程中孤子性質(zhì)的變化，采用有限溫度場(chǎng)論的標(biāo)準(zhǔn)方法引進(jìn)溫度密度效應(yīng)［8］，通過有限溫度密度下的熱力學(xué)勢(shì)討論退禁閉相變，并給出退禁閉相圖，同時(shí)將數(shù)值計(jì)算不同溫度密度下的孤子解，討論孤子的變化及其與退禁閉相變的關(guān)系.

1 物理真空中的FL模型

在零溫零密條件下，F(xiàn)L模型的拉格朗日密度為

它描述了自旋1/2的夸克場(chǎng)ψ與唯象標(biāo)量場(chǎng)σ以及它們的相互作用，g是耦合常數(shù).低能條件下σ場(chǎng)唯象的描述了膠子的作用，U(σ)是一種經(jīng)典勢(shì)表征由于色場(chǎng)的非線性相互作用導(dǎo)致的真空凝聚.本文中將只討論u夸克和d夸克的情況.σ場(chǎng)的經(jīng)典勢(shì)形式取為

模型中的參數(shù)ɑ,b,c和g可調(diào)，在一組固定的ɑ,b,c參數(shù)下，則U(σ)在σ0=0時(shí)有一個(gè)局域最小值，在σ=συ時(shí)有絕對(duì)最小值，συ由U（σ）的一階導(dǎo)數(shù)為零得到

σ0代表的亞穩(wěn)態(tài)真空，συ代表物理真空或非微擾真空，兩個(gè)真空狀態(tài)的勢(shì)能差定義為袋常數(shù)B.如果我們?nèi)(συ)=0，袋常數(shù)可表達(dá)為B=-(/2!+/3!+/4!).

應(yīng)用歐拉-拉格朗日方程，從（1）式可得到對(duì)應(yīng)的方程

在平均場(chǎng)近似下，σ場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的經(jīng)典場(chǎng)，并且是球?qū)ΨQ的.組分夸克位于最低的s波能級(jí)，σ場(chǎng)和ψ場(chǎng)可以寫成以下形式

應(yīng)用等式（4）～（7），可以推導(dǎo)出關(guān)于u，v，σ的微分方程

歸一化條件為4π∫r2(u2(r)+v2(r))dr=1，滿足的邊界條件為v(0)=0=0,u(∞)=0,σ(∞)=σv.方程組邊界條件選取的物理考慮如下：v(r)是狄拉克旋量解的P波部分，所以v(0)=0，另外在方程（9）中存在v(r)/r的項(xiàng)，r=0處方程組有解也要求v(0)=0；同樣從解方程的角度，方程（10）中存在r的項(xiàng)，所以=0；強(qiáng)子是一種束縛態(tài)，u(r)在無窮處的值為0，所以u(píng)(∞)=0；強(qiáng)子外是物理真空，物理真空的σ期望值是σv，所以σ(∞)=σv.

夸克數(shù)N=3對(duì)應(yīng)重子，N=2對(duì)應(yīng)介子.由于方程組高度非線性，無法解析求解，可以用數(shù)值方法通過一套基于colsys的程序集解得，在MATLAB、Scilab中可以方便的得到數(shù)值結(jié)果.在文獻(xiàn)［3］中用了很多參數(shù)計(jì)算強(qiáng)子性質(zhì)，我們?nèi)〉膮?shù)為ɑ=17.70 fm-2,b=-1 457.4 fm-1,c=2 000,g=12.16.在零溫度零密度下，我們得到的孤子解如圖1所示，孤子解與Wilets文中的結(jié)果一致［2］，σ場(chǎng)階躍式的位形確保了夸克的囚禁.

圖1 零溫度零密度下的孤子解

2 退禁閉相變

在有限溫度密度下，也就是重離子碰撞產(chǎn)生的熱密環(huán)境中，σ場(chǎng)的經(jīng)典勢(shì)不再適用，考慮溫度密度效應(yīng)經(jīng)典勢(shì)要替換為有效勢(shì)V（σ，β，μ）.應(yīng)用溫度場(chǎng)論引進(jìn)溫度密度效應(yīng)，使用Dolan和Jackiw的方法［9］，在有限溫度密度下FL模型的有效勢(shì)計(jì)算如下.

VB和VF為玻色子和費(fèi)米子在有限溫度密度下對(duì)有效勢(shì)的貢獻(xiàn).x是無量綱的積分變量.β為T的倒數(shù)，mq與mσ分別為夸克場(chǎng)與σ場(chǎng)的有效質(zhì)量，其形式為mq=gσ，mσ=ɑ+bσ+cσ2/2.γ是自由度簡(jiǎn)并因子，它包含了夸克的自旋、味道和顏色的自由度，即：γ=2(自旋)×2(味道)×3(顏色)=12.

在給定溫度密度下，V(σ,β,μ)只是σ的函數(shù)，應(yīng)用數(shù)值方法可得到有限溫度密度下的有效勢(shì)圖.圖2為零密下不同溫度時(shí)有效勢(shì)的變化情形，隨著溫度升高，強(qiáng)子外部物理真空對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)有效勢(shì)極值不斷上升，若固定物理真空有效勢(shì)極值為零則表現(xiàn)為強(qiáng)子內(nèi)部微擾真空有效勢(shì)極值逐步降低，當(dāng)兩個(gè)真空對(duì)應(yīng)的有效勢(shì)極值相等時(shí)，退禁閉相變發(fā)生.B為強(qiáng)子內(nèi)外兩個(gè)真空的勢(shì)能差，即袋常數(shù)，通過B=0尋找相變臨界點(diǎn)，而

從圖2可以看到，在一定化學(xué)勢(shì)下隨著溫度的升高，固定強(qiáng)子外部物理真空有效勢(shì)為零時(shí)強(qiáng)子內(nèi)的亞穩(wěn)態(tài)真空勢(shì)能降低，慢慢接近物理真空勢(shì)能，在給定溫度下隨著化學(xué)勢(shì)的升高，有效勢(shì)的變化也是類似的.由熱力學(xué)勢(shì)變化確定臨界點(diǎn)，給定μc=60 MeV，通過B=0可以找到Tc=116.4 MeV的臨界點(diǎn)，同樣給定Tc=10 MeV，也可以找到μc=295.5 MeV的臨界點(diǎn).由此，我們可以找到不同溫度和密度下的退禁閉相變點(diǎn)（Tc,μc），圖3是計(jì)算156個(gè)點(diǎn)給出的退禁閉相圖.

圖2 零密度不同溫度下的有效勢(shì)

圖3 有限溫度密度下的退禁閉相圖

3 有限溫度密度下孤子的變化

得到有限溫度密度下的有效勢(shì)后，在實(shí)際孤子方程的計(jì)算中可將V(σ)用數(shù)值方法擬合成關(guān)于σ的冪級(jí)數(shù)形式，仍取σ2、σ3、σ4的形式，這些項(xiàng)起主要作用.在固定溫度密度值下，可得到一組ɑ,b,c參數(shù)值，所以有限溫度密度下的有效勢(shì)可表示為

將（15）式替換（10）式中的U(σ)便得到有限溫度密度下的孤子方程組，采用與零溫零密下類似的方法可得到不同溫度密度下的孤子解.圖4給出了零密下不同溫度時(shí)的孤子解，u、v隨溫度升高幅度變小寬度變寬，u、v、σ的位形均向右移動(dòng)，反應(yīng)了夸克活動(dòng)范圍的擴(kuò)展.在相邊界附近，孤子解會(huì)突然消失，這說明孤子在相變區(qū)域發(fā)生了解體.

如果考慮最低能量狀態(tài)下的N個(gè)夸克，體系的總能量為

孤子在空間的能量分布可由能量密度Ω(r)展現(xiàn)出來，如圖5所示.由圖5可以看出，隨著溫度的升高，孤子能量密度位形分布寬度變寬且幅度變小，并且整體向右遷移，這說明空間局域的能量分布在逐漸由中心向外圍延展.在相變附近，孤子能量波包突然坍塌，孤子能量只剩下作準(zhǔn)自由運(yùn)動(dòng)的夸克的能量.這與退禁閉相變的物理圖景是一致的.在重離子碰撞實(shí)驗(yàn)中，重核碰撞產(chǎn)生高溫高密的極端條件下發(fā)生退禁閉相變，這時(shí)重子擠壓在一起重子袋破裂，夸克束縛解除，解禁閉的夸克可以在火球內(nèi)準(zhǔn)自由運(yùn)動(dòng).

圖4 零密度不同溫度下的孤子解

圖5 能量的空間位形分布

4 結(jié)論

研究表明，在有限溫度密度下固定化學(xué)勢(shì)當(dāng)T＜Tc（或固定溫度當(dāng)μ＜μc）時(shí)，始終存在非零的袋常數(shù)，微分方程組始終有穩(wěn)定的孤子解.然而，當(dāng)T＞Tc（或μ＞μc）時(shí)，袋常數(shù)等于零，孤子解消失，空間局域的能量分布消失，夸克可以作準(zhǔn)自由運(yùn)動(dòng)，退禁閉相變發(fā)生.孤子的變化與退禁閉相變是一致的.值得注意的是在我們的計(jì)算中還發(fā)現(xiàn)在相變臨界點(diǎn)孤子解并不會(huì)立即消失，而是在過了臨界點(diǎn)一定范圍后，孤子解才消失.這說明退禁閉相變后還存在著短暫的夸克束縛態(tài)，這可能和高能重離子碰撞實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的強(qiáng)耦合QGP有關(guān)，這是一個(gè)有趣的現(xiàn)象，值得以后作進(jìn)一步深入研究.

［1］Friedberg R，Lee T D.Fermion-field nontopological solitons［J］.Physical Review D，1977，15（6）:1694-1711.

［2］Wilets L.Nontopological solitons［M］.Singapore:World Scientific，1989.

［3］Goldflam R，Wilets L.Soliton bag model［J］.Physical Review D，1982，25（7）:1951-1963.

［4］高道國.孤粒子袋模型的數(shù)值解法［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1990（2）:190-196.

［5］Shu S，Li J R.Describing the strongly interacting quark-gluon plasma through the Friedberg-Lee model［J］.Physical Review C，2010，82（4）:0452031-0452035.

［6］Shu S，Li J R.The vacuum tunnelling and the crossover of deconfinement in Friedberg-Lee model［J］.Nuclear Physics A，2013，901:1-13.

［7］Mao H，Yao M，Zhao W Q.Friedberg-Lee model at finite temperature and density［J］.Physical Review C，2008，77（6）: 0652051-0652059.

［8］Kapusta J I，Gale C.Finite-temperature field theory:principles and applications［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2006.

［9］Dolan L，Jackiw R.Symmetry behavior at finite temperature［J］.Physical Review D，1974，9（12）:3320-3341.

（責(zé)任編輯 郭定和）

Research on deconfinement phase transition and the properties of soliton

DONG Renda，SHU Song，ZHANG Hui
（School of Physics and Electronic Science，Hubei University，Wuhan 430062，China）

The FL model is studied at finite temperature and density，the effective potential has been calculated at different temperatures and densities by using the technique of the finite temperature field theory. Deconfinement phase transition takes place in FL model when the effective potentials inside and outside hadron are equal.The phase diagram of deconfinement is obtained by calculating critical points carefully.It turns out that there are always stable soliton solutions in hadronic phase and soliton solutions vanish after deconfinement phase transition.The variation of solition is consistent with the deconfinement phase transition.

deconfinement phase transition；friedberg-lee model；soliton；finite temperature field theory

O572.24+6

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2015.05.009

1000-2375（2015）05-0447-04

2014-11-26

國家自然科學(xué)基金（10905018）資助

董仁達(dá)（1990-），男，碩士生；通信作者，舒崧，副教授，E-mail:shus@hubu.edu.cn