☉上海市浦江高級中學 陸麗娜

重視“勾形”圖像特征啟發(fā)函數(shù)解題思維

☉上海市浦江高級中學 陸麗娜

本文所說的“勾形”是指呈勾狀的曲線形狀，是對一類函數(shù)圖像的通俗稱謂，旨在描述函數(shù)圖像類似于“勾形”時呈現(xiàn)的單調性、極值點、端點等.函數(shù)是高中數(shù)學中非常重要又極其抽象的概念，函數(shù)性質的應用涵蓋整個高中數(shù)學學習過程，更是高考的重點考查內容，特別是函數(shù)在區(qū)間內呈現(xiàn)多種局部單調性的相關問題，常常作為數(shù)學高考的壓軸題.若學生對函數(shù)性質的相互聯(lián)系掌握不到位，習得的知識呈碎片型，則往往不能針對性地對知識進行綜合應用，解題無從下手，存在較大困難.之所以把本文提及的函數(shù)圖像比擬成“勾形”，源于它是學生學習、生活中最常見、樂見的形狀符號，且能直觀呈現(xiàn)函數(shù)圖像的類似特征.把抽象的函數(shù)知識與具體的生活圖形進行結合，能獲得學生心理上的認同，在此基礎上逐步加深對性質的理解，對特征的把握，增強學生對問題的辨識能力和分析能力，并通過這個過程逐步發(fā)展對方法的概括能力，提高其思維的活躍性及綜合應用水平.筆者對近幾年高考試題進行梳理分析，愈加感受到這類函數(shù)圖像的重要性，本文以2015年數(shù)學高考真題為例，介紹此類出現(xiàn)頻率極高的圖像呈“勾形”的函數(shù)問題理解的切入點及解題常用的方法技巧.

一、勾底兩頭出最值

求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B，x∈［a，b］的最值是歷年高考的熱點，當區(qū)間長度|b-a|≥T時，函數(shù)的最大值、最小值分別為|A|+B，-|A|+B.當|b-a|＜T，則應充分考慮圖像的單調性.

例1搖（2015年北京卷理科第15題）已知函數(shù)f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（ⅠⅠ）求f（x）在區(qū)間［-π，0］上的最小值.

例2搖（2015年天津卷理科第15題）已知函數(shù)f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

在歷年考試中，此類三角函數(shù)問題考查的圖像多具有“勾形”特征，探究是否存在“勾底”（說明：正勾時，勾底為函數(shù)的極小值；倒勾時，“勾底”為函數(shù)的極大值），即能否成立，即可判斷函數(shù)在非端點處是否取得一個最值；比較“勾形”兩個端點的高低，便能輕松求得函數(shù)的另一個最值.學生在解題中用非單調的“勾形”去辨析函數(shù)圖像，不僅可以準確把握圖像特征，還可以避免兩類常見錯誤：（1）把函數(shù)在某個區(qū)間的最值問題當成在R上的最值問題求解；（2）把非單調函數(shù)的最值問題當成單調函數(shù)直接代入兩個端點求解.

除了以上類型的函數(shù)外，凡是圖像具有“勾形”特征的函數(shù)都可以用此方法求解，很常見的如二次函數(shù)y= ax2+bx+c（a≠0），V型函數(shù)y=a|x+b|（a≠0），對勾函數(shù)y=等.

二、趨勢最值定大小

含參不等式的恒成立問題能把函數(shù)、不等式、三角等知識有機地結合起來，覆蓋知識面廣，解題方法靈活，涵蓋高中數(shù)學幾種重要的思想方法：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類與整合思想、轉化與化歸思想等，對學生思維能力有很大挑戰(zhàn)，因此，備受命題者的青睞.合理轉化成函數(shù)，通過函數(shù)的最值或圖像的變換趨勢及位置關系進行求解是解決此類問題的主要方法.恒成立問題從數(shù)看，是值的大小關系；從形看，是圖的上下關系.觀察“勾形”特征，找定點、看趨勢、求最值、比大小，必要時進行分類辨析.

例4（2015年全國卷新課標ⅠⅠ理科第21題）設函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；

（ⅠⅠ）若對于任意x1，x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

解析：（Ⅰ）f′（x）=memx+2x-m，f′′（x）=m2emx+2＞0恒成立，所以f′（x）在R上單調遞增.

又因為f′（0）=0，所以x∈（-∞，0），f′（x）＜0；x∈（0，+∞），f′（x）＞0.所以x∈（-∞，0）時，f（x）是減函數(shù)；x∈（0，+∞）時，f（x）是增函數(shù).

（ⅠⅠ）x∈［-1，1］，f（x）在［-1，0］上遞減，在［0，1］上遞增.故要使條件成立，只需f（x）max-f（x）min≤e-1即可.

考慮函數(shù)y=ex-x，可知其在（-∞，0）上遞減，在（0， +∞）上遞增.

當x=1時，y=e-1；x=-1時，y=e-1+1，并且e-1+1＜e-1，如圖2所示.故存在x0＜-1，使得x=x0時，y=e-1.

此題涉及的兩個函數(shù)都具有“勾形”特征，且在勾底有最小值，在端點有最大值.y=ex-x的最大值能直接通過比較數(shù)值得出.f（x）=emx+x2-mx的最大值需要分類討論，令端點兩個值都能使不等式成立是避免討論的常用方法.抓住“勾形”的特征，能輕松辨析得出令y=ex-x=e-1的另一個實數(shù)x0＜-1.因此，“勾形”不僅方便學生認識區(qū)間內已有的圖像特點，也更容易理解并表示區(qū)間外圖像上點的變化趨勢.

例5（2015年山東卷理科第21題）設函數(shù)f（x）= ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；

（Ⅰ）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解析：（Ⅰ）略.

因為f（0）=0，可知函數(shù)過定點（0，0）.

設y=2ax2+ax-a+1，其對稱軸圖像過定點

圖3

圖4

圖5

如圖3，a<0，函數(shù)f（x）在（0，x0）上遞增，在（x0，+∞）上遞減，所以舍去.

如圖4函數(shù)f（x）在（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，所以舍去.

即當x0≤0時，滿足題設條件.

綜上可知，a∈［0，1］.

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

解析：（Ⅰ）略.

當x∈（0，1），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上單調遞增.

因為g（0）=0，所以x∈（0，1），g（x）＞0恒成立，即f（x）＞

求k的最大值，只需考慮k＞2的情況.

所以k的最大值是2.

抓住“勾形”的特征可以加強對函數(shù)圖像的辨析能力.例5中，由f′（x）可知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上可能單調遞增，可能先減后增呈現(xiàn)“正勾”或先增后減呈現(xiàn)“倒勾”上遞增.特征，因為函數(shù)經(jīng)過原點，所以在（0，+∞）上呈現(xiàn)“勾形”的變化趨勢不能使f（x）≥0恒成立，例6中函數(shù)h（x）也是同樣.可見，對圖像有具體的感知，解題便能找到切入點，分類討論就能有路可循，條理清晰，得出結論也是輕而易舉.

不等式在區(qū)間D上恒成立問題是不等式有解問題的一種特殊情況，即不等式的解集為D.觀察函數(shù)的最值和圖像的變換趨勢，也能如法炮制求解不等式有解、不等式恒不成立等問題.

三、對稱圖形剪一半

函數(shù)中的對稱主要有兩類：一是函數(shù)圖像自身具有對稱性，如圖像是一個關于直線x=a對稱的“勾形”或圖像呈現(xiàn)兩個對稱“勾形”樣式的函數(shù)，在高考數(shù)學中很常見，前者如二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），V型函數(shù)y= a|x+b|（a≠0），后者如y=ax3+bx+c（ab＜ 0），y=ax2+b|x|+c（ab＜0）；二是兩個函數(shù)圖像有軸對稱或中心對稱的關系.抓住對稱性對“勾形”圖像進行分析，剪半考慮，化繁為簡，可作為理解函數(shù)性質的一個切入點，繼而合理轉化，準確高效解題.

例7（2015年天津卷理科第7題）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x-m|-1（m是實數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log0.53），b= f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關系為（）.

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a

解析：y軸為其對稱軸，所以m=0，［0，+∞）是遞增區(qū)間，因此可令a=f（-log23）=f（log23），求得選項為C.

解析：y=g（x）是由y=f（x）的圖像作關于（1，0）的中心對稱后，再上（下）平移|b|個單位得到，如圖6所示.由圖像的對稱性可知，在左右相切與中間段重合之間，y=f（x）與y=g（x）有四個交點，即y=f（x）-g（x）有四個零點.

圖6

四、零點個數(shù)看相交

函數(shù)零點反映了函數(shù)與x軸的相交情況，是函數(shù)的一個重要特性.根據(jù)“勾形”的端點和勾底，可以輕松判斷出此類連續(xù)函數(shù)零點的個數(shù)；當正面分析函數(shù)性質、直接刻畫函數(shù)圖像存在困難時，可把零點個數(shù)化歸成兩個相對簡單輔助函數(shù)的交點個數(shù)并通過數(shù)形結合的方法求解.

（Ⅰ）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（ⅠⅠ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數(shù)h（x）= min{f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）的零點的個數(shù).

解析：（Ⅰ）f′（x）=3x2+a，令f′（x）=0，可知a＜0，得x=

（ⅠⅠ）從函數(shù)圖像可知，當a≥0時，y=f（x）在（0，+∞）上遞增，h（x）的零點個數(shù)是一個；

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

分類討論是解決問題的一種邏輯思維，也是高中數(shù)學的重要思想方法，涉及的數(shù)學問題在高考中占有一席之地，常常是學生的失分點.因此，學生要有直觀的感知，才能在分類解析中保持清醒的頭腦，做到不重不漏.“勾形”中的關鍵點是分類的依據(jù)，因此，學生在對不同情況的“勾形”有具體的深刻的印象的基礎上才能辨識出區(qū)分不同“勾形”的關鍵點并展開討論.

在立足以上四個方法對函數(shù)圖像及性質進行全面把握和綜合應用的同時，對帶參函數(shù)圖像上特殊定點的探究非常重要.如例4中導函數(shù)f′（x）經(jīng)過定點（0，0）是證明單調區(qū)間的直接有效條件；例5中函數(shù)圖像經(jīng)過定點（0，0）是直觀判定“勾形”圖像能否滿足條件的重要前提；函數(shù)y=2ax2+ax-a+1過定點（-1，1）是準確直接刻畫拋物線的捷徑；例9中函數(shù)f（x）的圖像以定點為對稱中心是判斷切點和分類解析“勾形”的關鍵.帶參函數(shù)的主要特征是變，難點也是變，因此在變化中尋求不變是解決問題的切入點.函數(shù)圖像經(jīng)過的定點是其“不變”的性質之一，“勾形”的圖像特征也是諸多非單調函數(shù)的共同屬性.

高考不僅考查學生的學科知識和基本技能，而且對知識內在聯(lián)系的掌握，基本規(guī)律及方法的理解和應用提出更高的要求.高中數(shù)學學習中我們能深刻體會到單調函數(shù)的基礎性、普遍性和重要性，而高考涉及的函數(shù)往往呈現(xiàn)局部單調性的特點，多為定義域內的非單調函數(shù)，給學生的理解增加難度.《普通高中數(shù)學課程標準》說要把數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài).因此，從生活符號中尋找共性，善于把握圖像特征，從數(shù)學角度加以描述，用數(shù)學符號進行表示，讓學生最終達到基礎知識的夯實，理解能力的提高，應用技能的增強和思維方式的優(yōu)化.