殷惠琴

【摘 要】本文基于作者多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，首先概括了方程思想的定義，并結(jié)合具體習(xí)題重點(diǎn)介紹了方程思想在代數(shù)以及幾何方面的應(yīng)用。最后分析了方程思想在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用當(dāng)中存在的主要問題以及解決對策。本文的研究成果將對方程思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用具有一定的貢獻(xiàn)意義。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);方程思想;應(yīng)用;問題;對策

前言

剛剛升入初中的學(xué)生，往往把初中數(shù)學(xué)看作是“計(jì)算”的代稱。這是因?yàn)樵谛W(xué)階段，他們一直都在計(jì)算，而且是最原始的計(jì)算（四則運(yùn)算）。所學(xué)的方程知識，只是利用互逆運(yùn)算來解方程。談及方程思想，最早的應(yīng)用還應(yīng)該算是初中，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，讓學(xué)生體會方程的優(yōu)越性是教學(xué)的重要內(nèi)容之一。通過對方程以及方程思想的進(jìn)一步了解，讓學(xué)生更好的學(xué)習(xí)方程、應(yīng)用方程，真正意義上實(shí)現(xiàn)算數(shù)向代數(shù)的轉(zhuǎn)變。

1.方程思想的定義

初中數(shù)學(xué)教材中涉及的方程思想主要立足于具體數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系，然后通過學(xué)生正確理解將問題中所給的語言文字轉(zhuǎn)化成為相關(guān)的數(shù)學(xué)語言以及數(shù)學(xué)量，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成既定的數(shù)學(xué)模型。這里提到的數(shù)學(xué)模型包括方程、不等式、混合式（方程與不等式共存）等，然后通過計(jì)算獲得方程或者不等式的解，從而使得數(shù)學(xué)問題得到解決。值得強(qiáng)調(diào)的是，方程思想的適用范圍很廣，它并不是只針對方程問題存在。就像前面提到過的不等式等同樣用到了方程思想。隨著初中數(shù)學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)，我們便能夠體會到方程思想的用處很廣，它會潛移默化的影響學(xué)生的解題思路，幫助學(xué)生提高解題能力。

笛卡爾將方程思想進(jìn)行了具體的概括，他認(rèn)為的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，幾乎到處都會有等式或者不等式存在。初中數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)教育，大部分內(nèi)容也都是建立在等式與不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具體應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)上來，設(shè)未知數(shù)、列方程、研究方程、解方程都是學(xué)生應(yīng)用方程思想的重要體現(xiàn)。

不得不介紹一下方程，方程作為方程思想的載體，是初中數(shù)學(xué)方程思想的主要體現(xiàn)。但是二者是有區(qū)別的，其根本區(qū)別在于方程屬于具體的知識體系，而方程思想屬于認(rèn)知體系。方程思想是一種良好的思維模式，它是對方程知識熟練掌握后的一種升華。方程思想在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用是相當(dāng)廣的，通過方程應(yīng)用題的解答，可以讓學(xué)生很清楚的了解方程相對于算數(shù)的簡單性，而且學(xué)生理解起來也并不是很難。通過不斷的加強(qiáng)相關(guān)的鍛煉，使初中學(xué)生能夠輕松準(zhǔn)確的根據(jù)具體應(yīng)用題型列出方程式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)方程思想的重要部分。除此之外，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)之中多多聯(lián)系實(shí)際，以便將方程思想運(yùn)用到實(shí)際中去。

2.初中數(shù)學(xué)中方程思想的應(yīng)用

2.1方程思想在代數(shù)中的應(yīng)用

首先對于一些概念性的問題可以用方程的思想來解決。 例如m/3+1與（2m-7）/3互為相反數(shù)，求m的值;p（x，x+y）與q（y+5，x-7）關(guān)于x軸對稱，求p、q坐標(biāo)。下面結(jié)合具體例子談一下方程思想在代數(shù)中的應(yīng)用。

（1）一元一次方程的應(yīng)用

例：小明爸爸前年存了年利率為2.43%的二年期定期儲蓄， 今年到期后， 扣除利息稅（稅率為20%）， 所得利息為48.60元，恰好購買一只手表。問小明爸爸前年存了多少元？

分析：利息全額-利息稅=48.60。

解：設(shè)小明爸爸前年存了x元。則根據(jù)題意，得

X×2×2.43%-X×2×2.43%=48.60

解這個(gè)方程，得 x=1250

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。

答：小明爸爸前年存了1250元。

（2）二元一次方程組的應(yīng)用

例：蔬菜公司收購140噸蔬菜，準(zhǔn)備加工后投放市場銷售。公司的加工方式分為兩種：一種為精加工，每天可以加工6噸;另一種為粗加工，每天可以加工16噸。公司打算用15天時(shí)間完成蔬菜的加工。請制定加工方案。后又知蔬菜粗加工后利潤為1000元/噸，精加工后為2000元/噸，計(jì)算加工方案獲得的利潤是多少？

分析：問題的關(guān)鍵是先解答前一半問題，即先求出安排精加工和粗加工的天數(shù)。我們不妨用列方程組的辦法來解答。

解：設(shè)應(yīng)安排x天精加工，y天粗加工。根據(jù)題意，得

x+y=15

6x+16y=140

解這個(gè)方程組，得

x=10

y=5

出售這些加工后的蔬菜一共可獲利

2000×6×10+1000×16×5=200000（元）

答：應(yīng)安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可獲利200000元。

（3）分式方程的應(yīng)用

例：某校招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位程序操作員各向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致。已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完。問這兩個(gè)操作員每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？

分析：甲和乙的輸入速度之間有關(guān)系，時(shí)間相差2小時(shí)。則可設(shè)速度或時(shí)間。

解：設(shè)乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則甲每分能輸入2x名學(xué)生的成績。根據(jù)題意，得

2640/2x=2640/x-2×60

解得 x=11。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=11是原方程的解。并且x=11，2x=22，符合題意。答：甲每分鐘能輸入22名學(xué)生的成績，乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績。

2.2方程思想幾何上的應(yīng)用

方程的思想在幾何中也有應(yīng)用。最典型的就是給出邊（角、對角線、圓的半徑）的比，求有關(guān)的問題。如：若三角形三個(gè)內(nèi)角之比是1：1：2，則這三角形是什么三角形。解題思路為：設(shè)每一份為x，三個(gè)角分別就是x，x，2x，則x+x+2x=180，解方程得x=45，因此可以知道三角形為等腰直角三角形。

從上面的例子看出，方程思想就是利用方程的觀點(diǎn)、知識解決問題。方程是代數(shù)中的重要內(nèi)容，學(xué)生把方程學(xué)好了，就能利用已有的知識解決后學(xué)的內(nèi)容，從而獲得學(xué)習(xí)的興趣。學(xué)習(xí)興趣的提高是學(xué)習(xí)最有效的動力，有動力才能進(jìn)步。

3.初中生在方程思想應(yīng)用時(shí)存在的問題

分析初中生在方程思想的應(yīng)用時(shí)存在的問題，應(yīng)該從初中數(shù)學(xué)方程應(yīng)用題的錯(cuò)誤原因入手，筆者認(rèn)為方程應(yīng)用題的做答是初中學(xué)生利用方程思想的集中表現(xiàn)。根據(jù)筆者多年的任教經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在做方程解題時(shí)出現(xiàn)問題的情況還是很多的，其原因多種多樣。除去一些學(xué)生的個(gè)人原因，大部分錯(cuò)題原因可以概括為在應(yīng)對方程應(yīng)用題時(shí)，不能對題意做出正確的解讀，也就不能分析出已知量和未知量的關(guān)系，無法正確列出方程式，導(dǎo)致做題錯(cuò)誤。

大多數(shù)的初中生總是按照小學(xué)時(shí)養(yǎng)成的固定思維模式去分析題意，從而導(dǎo)致對題目理解起來較困難，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤理解。當(dāng)然學(xué)生在題意理解方面出現(xiàn)問題并不等同于學(xué)生在語言方面存在不足，其主要原因還是認(rèn)知模式的影響。初中生缺乏對方程思想的重視，不能很好的將方程思想運(yùn)用到做題中去。教師在日常的教學(xué)活動中，應(yīng)該積極培養(yǎng)學(xué)生的方程意識，讓學(xué)生能利用方程思想準(zhǔn)確的分析數(shù)學(xué)語言并找出題中的已知量與未知量，從而列出相關(guān)的等式或者不等式，解決問題。

4.解決對策

解決函數(shù)應(yīng)用當(dāng)中存在的問題需要通過教學(xué)實(shí)踐并結(jié)合各方面因素。相關(guān)學(xué)者將培養(yǎng)中學(xué)生方程思想的途徑概括為以下幾點(diǎn)，這也是解決方程應(yīng)用的關(guān)鍵所在。

（1）注重學(xué)生方程基礎(chǔ)知識的練習(xí);

（2）要注重對學(xué)生初中數(shù)學(xué)整體知識的培養(yǎng);

（3）在平時(shí)的練習(xí)過程中不斷完善學(xué)生的認(rèn)知體系：

（4）教師在方程應(yīng)用題的講解時(shí)，應(yīng)該注重思考過程而非結(jié)果;

（5）鼓勵(lì)學(xué)生遇到問題時(shí)主動構(gòu)建方程模型。

方程思想作為初中數(shù)學(xué)的一種解題思想，應(yīng)用時(shí)的主要步驟就是首先通過設(shè)元尋找未知量與已知量的等量關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造方程或者方程組。然后對其求解完成未知量向已知量的轉(zhuǎn)化。設(shè)元是一種未知轉(zhuǎn)化為已知的手段，通過設(shè)元可以尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，進(jìn)而造方程或方程組。想要真正的避免進(jìn)入方程思想應(yīng)用的誤區(qū)，首先就應(yīng)該具備用方程思想解題的意識，有些幾何問題表面上看起來與代數(shù)問題無關(guān)，但是還是要利用代數(shù)方法——列方程來解決，因此要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識。還有一些綜合性的問題，需要通過構(gòu)造方程來解決，所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法。并且要掌握運(yùn)用方程思想解決問題的要點(diǎn)。還應(yīng)意識到除了幾何的計(jì)算問題要使用方程或方程思想以外，經(jīng)常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系，方程，函數(shù)，不等式的關(guān)系等內(nèi)容，在解決與這些內(nèi)容有關(guān)的問題時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用。

5.結(jié)語

方程思想是對具體數(shù)學(xué)量的劃分，包括已知量和未知量。然后分析它們之間的關(guān)系列出方程式（等式或者不等式），再通過解方程、分析方程等方法解決問題。方程思想作為重要的數(shù)學(xué)思想，能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)。對于初中學(xué)生而言，加強(qiáng)方程思想的訓(xùn)練能夠不斷的提高學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)而提高初中學(xué)生的解題效率。

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（作者單位：江蘇省昆山市婁江實(shí)驗(yàn)學(xué)校）