徐光明，王英姿，2，史 峰，秦 進(jìn)

(1.中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，長沙410075;2.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙410082)

0 引 言

城市交通網(wǎng)絡(luò)用戶均衡分析方法［1-2］和長期習(xí)慣性用戶均衡分析方法［3-4］在城市交通組織中具有重要意義。用戶均衡分析使得路徑出行時(shí)間達(dá)到用戶均衡;長期習(xí)慣性用戶均衡分析在給定出行時(shí)間可靠的基礎(chǔ)上使得路徑出行時(shí)間達(dá)到用戶均衡。由于支路路段較窄，可靠性較差，人們通常更愿意選擇干道出行，所以，對(duì)支路網(wǎng)絡(luò)而言，長期習(xí)慣性用戶均衡分析具有特殊意義。

通行能力降級(jí)程度是道路網(wǎng)絡(luò)的屬性之一。相比于支路路段，更小的通行能力降級(jí)程度通常會(huì)導(dǎo)致干道路段平均飽和度更大一些。為了描述網(wǎng)絡(luò)通行能力的不確定性，反映因自然災(zāi)害、惡劣天氣、交通事故、道路維護(hù)等造成的隨機(jī)通行能力降級(jí)，提出了出行時(shí)間可靠性的概念。Sumalee等［5］針對(duì)通行能力降級(jí)路網(wǎng)在一定可靠度下研究了用戶均衡模型。Lo 等［3-4］通過構(gòu)建長期習(xí)慣性均衡模型，針對(duì)多類風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)群體，研究了通行能力降級(jí)路網(wǎng)中的出行時(shí)間預(yù)算問題，從降級(jí)網(wǎng)絡(luò)和可靠性的角度深化了均衡分析的研究內(nèi)容。

支路網(wǎng)絡(luò)的均衡分析與一般意義的城市交通網(wǎng)絡(luò)均衡分析存在較大差異，這是因?yàn)樵谝恍┲仿范紊想p向車流不分道行駛，雖然能夠雙向調(diào)劑使用路段通行能力，但路段通行能力與雙向流量比例相關(guān)，越對(duì)稱的雙向流量的路段通行能力越小。Wang 等［6］利用元胞自動(dòng)機(jī)模型模擬分析了雙向支路路段的通行能力，獲得其在不同方向流量比例分布下的路段通行能力、車輛平均速度與路段寬度之間的關(guān)系曲線，以及在不同方向流量比例分布下主路和輔路飽和流量、車輛平均速度與路段寬度之間的關(guān)系曲線。史峰等［7］進(jìn)一步提出了雙向支路路段通行能力依賴于路段寬度、單車道通行能力、雙向流量比例等因素的近似解析公式，擴(kuò)展了雙向支路路段費(fèi)用的解析表達(dá)式。

本文注意到支路網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)通行能力降級(jí)現(xiàn)象比干道網(wǎng)絡(luò)更為嚴(yán)重的規(guī)律性，結(jié)合出行時(shí)間的可靠性研究了支路網(wǎng)絡(luò)均衡問題。通過分析雙向支路路段通行能力特征，結(jié)合擴(kuò)展的支路路段的出行時(shí)間函數(shù)，針對(duì)各類路段通行能力降級(jí)特征，分別描述各類路段能力降級(jí)參數(shù)，在長期習(xí)慣性均衡模型基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于出行時(shí)間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析模型。設(shè)計(jì)了逐個(gè)起點(diǎn)分步實(shí)施的相繼平均法，通過將交通分配的常規(guī)相繼平均法進(jìn)行分拆，求解該模型，并進(jìn)行了相應(yīng)的算例分析。

1 考慮支路雙向干擾和出行時(shí)間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)均衡問題

在城市道路網(wǎng)絡(luò)N=(V，A ∪B1∪B2)中，V 為節(jié)點(diǎn)集，V={v1，v2，…，vn};A 為干道路段集;B1為單行道支路路段集;B2為不分道行駛支路路段集。

當(dāng)路段a ∈A ∪B1∪B2時(shí)，C－a 為路段a 的通行能力上限;θa∈(0，1)為路段通行能力降級(jí)參數(shù);路段a 的實(shí)際通行能力Ca為隨機(jī)變量，在區(qū)間中服從均勻分布。顯然，降級(jí)參數(shù)θa越大，能力降級(jí)程度越小。一般來說，干道路段的通行能力降級(jí)參數(shù)最大，單向支路路段次之，雙向支路路段最小。

當(dāng)a ∈A ∪B1時(shí)，為常數(shù);當(dāng)a ∈B2時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)［7］，為雙向支路路段a 與反向路段的共同通行能力，可用如下公式表示:

當(dāng)a ∈A ∪B1時(shí)，出行時(shí)間采用標(biāo)準(zhǔn)BPR 函數(shù):

式中:ta0為路段a 的自由流出行時(shí)間;α 和β 為參數(shù)，顯然Ta也是隨機(jī)變量。

當(dāng)a ∈B2時(shí)，出行時(shí)間采用BPR 函數(shù)的拓展形式:

RS ?V×V 為O-D 需求點(diǎn)對(duì)集，qrs，(r，s)∈RS 為O-D 需求。

基于出行時(shí)間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析問題面向支路網(wǎng)絡(luò)，考慮路網(wǎng)隨機(jī)通行能力降級(jí)和支路雙向干擾，在保證可靠度ρ 的情況下，以路徑出行時(shí)間預(yù)算作為路徑費(fèi)用，對(duì)已知交通需求進(jìn)行用戶均衡交通分配。

2 基于出行時(shí)間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)均衡模型

記Krs為O-D 對(duì)(r，s)之間的路徑集，fp為路徑p ∈Krs上的流量。從雙向支路路段通行能力方面擴(kuò)展Lo 等［3-4］的思想，假設(shè)不同路段通行能力相互獨(dú)立，則路段費(fèi)用的期望和方差分別為:

由中心極限定理，路徑p 的出行時(shí)間Tp=近似地服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望E(Tp)和方差σ(Tp)2分別為:

出行者在路徑p ∈Krs上基于可靠度ρ 的出行時(shí)間預(yù)算為:

在降級(jí)路網(wǎng)中，用戶以出行時(shí)間預(yù)算最短為準(zhǔn)則選擇路徑，由Wardrop 第一原理，在支路網(wǎng)絡(luò)中任意點(diǎn)對(duì)之間最小出行時(shí)間預(yù)算πrs與路徑出行時(shí)間預(yù)算bp、路徑流量fp之間滿足如下關(guān)系:

因此，基于出行時(shí)間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)用戶均衡問題可通過以下不等式組求解:

式(4)～式(15)等價(jià)于數(shù)學(xué)規(guī)劃模型:

由于數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)非負(fù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為零時(shí)達(dá)到用戶均衡。

3 本文算法

基于出行時(shí)間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)用戶均衡數(shù)學(xué)規(guī)劃模型與常規(guī)基于出行時(shí)間可靠性的用戶均衡模型的差異，在于雙向支路路段費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望E(Tp)和方差σ(Tp)的表達(dá)式不同，由于路徑費(fèi)用的不可加性，所以采用路徑配流方法和相繼平均法設(shè)計(jì)模型的求解算法。

由于雙向支路路段的通行能力與雙向流量比例有關(guān)，使得基于出行時(shí)間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型不是凸規(guī)劃，如果對(duì)所有O-D 流的全有全無分配同時(shí)實(shí)施相繼平均處理，則可能導(dǎo)致支路路段雙向流量比例大幅振蕩，通行能力也相應(yīng)地大幅振蕩，難以保證算法的收斂性。為了解決這個(gè)問題，對(duì)常規(guī)的相繼平均法進(jìn)行分解，逐個(gè)起點(diǎn)相繼平均處理，這樣可以明顯降低雙向流量比例的振蕩幅度，達(dá)到提高收斂速度的目的。

路徑配流的適用性及相關(guān)問題已被廣泛討論［8-12］。由于路徑費(fèi)用的不可加性，難以在全體路徑集內(nèi)求解，為此，先求取沒有重復(fù)點(diǎn)的k-最短路徑集，再在該路徑集中求解出行時(shí)間預(yù)算最短路徑。綜上所述，設(shè)計(jì)求解算法如下。

算法1 基于出行時(shí)間可靠性的支路網(wǎng)絡(luò)用戶均衡交通分配算法

輸入:支路網(wǎng)絡(luò)N=(V，A ∪B1∪B2);單向支路路段通行能力參數(shù);雙向支路路段通行能力參數(shù)和η，w0，w1，wa;θa，a ∈A ∪B1∪B2;O-D 需求qrs，(r，s)∈RS;可靠度ρ;k-最短路集參數(shù)k;收斂參數(shù)ε。

輸出:流量xa，a ∈A ∪B1∪B2;流量fp，p ∈Krs，(r，s)∈RS 和時(shí)間預(yù)算πrs，(r，s)∈RS。

4 算例分析

含支路路段的網(wǎng)絡(luò)如圖1 所示，由17 個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，所有雙實(shí)線為干道路段(除了路段(3，11)、(11，7)、(7，1)的通行能力上限為2400 pcu/h 以外，其他干道路段的通行能力上限均為1600 pcu/h)，所有單實(shí)線段為支路路段(路段寬度均為4.85 m)，具有箭頭的支路路段為單行道，其箭頭指向?yàn)閱蜗蛐旭偡较颍渌仿范螢殡p向不分道行駛，干道路段雙向分道行駛，圖中數(shù)字表示各路段的自由流時(shí)間，單位為min(干道路段雙向具有等值能力和自由流出行時(shí)間，圖中僅列出單方向數(shù)據(jù))。交通需求量如表1 所示。支路路段的單向單車道通行能力均為C1a=800 pcu/h。

圖1 算例網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Test network

表1 交通需求(pcu/h)Table 1 Traffic demands(pcu/h)

無論是干道路段還是支路路段，均取α =0.15，β=4，可靠度ρ=0.9，路段降級(jí)參數(shù)為:

以上是網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置，在算法執(zhí)行參數(shù)中，設(shè)置k-最短路集參數(shù)k=5，收斂參數(shù)ε=10－5?？紤]多種交通需求水平，以表1 交通需求為基礎(chǔ)，分別按照η 的倍數(shù)確定需求。利用算法1 分別求解各種需求進(jìn)行交通分配，其路段分類平均飽和度的變化趨勢如圖2 所示。

從圖2 可以看出:路段平均飽和度都隨著需求水平的增加而單調(diào)增加，干道平均飽和度幾乎與需求水平等比例增加，支路平均飽和度隨需求水平的增長速度相對(duì)平緩。

圖2 路段平均飽和度與需求水平η 的關(guān)系曲線Fig.2 Relation curves between the average saturation of road sections and the demand level η

總體來看，干道平均飽和度高于支路平均飽和度、雙向支路路段平均飽和度高于單向支路路段平均飽和度。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因有兩個(gè):其一為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所致(一些支路不便于利用)，其二為支路路段能力降級(jí)程度更大。

圖3 展示了網(wǎng)絡(luò)中各雙向路段流量、通行能力關(guān)于需求水平的變化趨勢，圖中的正向表示標(biāo)明弧段的相同方向，反向則是與之相反的方向，比如在路段(11，12)的子圖中，正向?yàn)辄c(diǎn)11 至點(diǎn)12的方向，反向?yàn)辄c(diǎn)12 至點(diǎn)11 的方向。

由文獻(xiàn)［4］可知，對(duì)于這些寬度僅為4.85 m的路段，雙向行駛通行能力低于單向行駛通行能力，并且隨著雙向流量的對(duì)稱性增加通行能力進(jìn)一步減小。路段(11，12)和(14，15)的雙向流量都較大，組織雙向行車是合理的，除了較低的需求水平外，雙向流量趨于對(duì)稱，通行能力趨于下降，并且在需求水平η=3 時(shí)都已處于飽和狀態(tài)。至于路段(13，14)和(14，17)，除了較低需求水平外都是單向流量，這兩個(gè)路段的飽和度都較低。

最后，再分析一下不同可靠度對(duì)出行者選擇干道和支路出行的影響。在可靠度ρ =0.9 和ρ=0.2 兩種情形下，干道和支路路段平均飽和度與需求水平的關(guān)系曲線如圖4 所示。顯然，在任何一個(gè)需求水平上，可靠度ρ=0.9 對(duì)應(yīng)的干道平均飽和度較大，支路的平均飽和度較小，平均飽和度的這種大小關(guān)系隨著需求的增加幾乎等比例增加。當(dāng)可靠度ρ=0.2 時(shí)，與可靠度ρ=0.9相比，支路平均飽和度增加，干道平均飽和度減少。相比之下，干道平均飽和度的差異性沒有支路的顯著，其原因在于干道路段通行能力遠(yuǎn)高于支路路段通行能力。由此看來，在較高可靠度的期望下，出行者更傾向于選擇干道而不選擇支路出行;或者說，越保守的出行者選擇支路出行的概率越小。

圖3 雙向支路路段通行能力、雙向流量和、正反方向流量與需求水平的關(guān)系曲線Fig.3 Relation curves between the demand level η and the capacity，total two-way flows，traffic flows with two different directions in two-way branch road sections

圖4 不同可靠度下路段平均飽和度與需求水平η 的關(guān)系曲線Fig.4 Relation curves between the average saturations of road sections under different travel time reliabilities and the demand level η

5 結(jié) 論

(1)在隨機(jī)通行能力降級(jí)的城市支路網(wǎng)絡(luò)中，由于雙向路段通行能力與雙向流量比例相關(guān)，可以在長期習(xí)慣性均衡模型基礎(chǔ)上，增加雙向路段通行能力特征，構(gòu)建基于出行時(shí)間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析模型。

(2)由于雙向路段的通行能力特征，使得基于出行時(shí)間可靠性的城市支路網(wǎng)絡(luò)均衡分析的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型不是凸規(guī)劃，為了提高收斂性，可逐個(gè)起點(diǎn)分步實(shí)施相繼平均法，以降低每一步的波動(dòng)，提高算法收斂性。

(3)由于干道通行能力降級(jí)程度較支路更小，在同等可靠度條件下，干道路段平均飽和度比支路更大。在支路網(wǎng)絡(luò)交通組織優(yōu)化中，只要合理描述路段能力降級(jí)參數(shù)，便可獲得合理的飽和度狀態(tài)，更真實(shí)地反映了支路網(wǎng)絡(luò)出行的可靠性特征。

(4)在不同的可靠度要求下，出行者對(duì)干道和支路選擇結(jié)果是有差異的。在較高可靠度的期望下，出行者更傾向于選擇干道、而不選擇支路出行;或者說，越保守的出行者選擇支路出行的概率越小。

［1］Sheffi Y.Urban Transportation Network:Equilibrium Analysis with Mathematical Programming Methods［M］.New York:Prentice Hall，1985.

［2］黃海軍.城市交通網(wǎng)絡(luò)平衡分析-理論與實(shí)踐［M］.北京:人民交通出版社，1994.

［3］Lo H K，Tung Y K.Network with degradable links:capacity analysis and design［J］.Transportation Research Part B，2003，37(4):345-363.

［4］Lo H K，Luo X W，Siu B.Degradable transport network:Travel time budget of travelers with heterogeneous risk aversion［J］.Transportation Research Part B，2006，40(9):792-806.

［5］Sumalee A，Watling D P.Travel time reliability in a network with dependent link modes and partial driver response［J］.Journal of the Eastern Asia Society for Transportation Studies，2003，5:1686-1701.

［6］Wang Ying-zi，Long Dong-fang，Shi Feng.Cellular automation model for analyzing the capacity of branch road section［J］.Journal Central South University of Technology，2011，18(5):1744-1749.

［7］史峰，王英姿，徐光明，等.考慮支路路段雙向車流相互影響的交通網(wǎng)絡(luò)均衡分析［J］.中國公路學(xué)報(bào)，2013，26(3):137-142.Shi Feng，Wang Ying-zi，Xu Guang-ming，et al.Traffic flow equilibrium analysis of urban road traffic system with bi-directional flow＇s effect of local road［J］.China Journal of Highway and Transport，2013，26(3):137-142.

［8］Lo H K，Chen A.Traffic equilibrium problem with route-specific costs:formulation and algorithms［J］.Transportation Research Part B，2000，34(6):493-513.

［9］Chen A，Lo H K，Yang H.A self-adaptive projection and contraction algorithm for the traffic assignment problem with path-specific costs［J］.European Journal of Operational Research，2001，135(1):27-41.

［10］Han D，Lo H K.Solving non-additive traffic assignment problems:a descent method for co-coercive variational inequalities［J］.European Journal of Operational Research，2004，159(3):529-544.

［11］Xu M，Chen A，Qu Y，et al.semismooth newton method for traffic equilibrium problem with a general nonadditive route cost［J］.Applied Mathematical Modelling，2011，35(6):3048-3062.

［12］Chen A，Zhou Z，Xu X.A self-adaptive gradient projection algorithm for the nonadditive traffic equilibrium problem［J］.Computer＆Operations Research，2012，39(2):127-138.