張正林

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 050000）

0 引 言

建立偏微分方程的一般步驟如下：首先要確定研究的系統(tǒng)和邊界，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小微元，確定自變量與因變量；根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和這個(gè)微元部分的相互作用，抓住主要因素，略去非主要因素，應(yīng)用守恒定律用算式表達(dá)出這種相互作用在一個(gè)短時(shí)間里如何影響物理量；經(jīng)簡化整理得到偏微分方程。因?yàn)闊o論是初始條件中的數(shù)據(jù)，還是邊界條件中的數(shù)據(jù)，甚至方程中的非齊次項(xiàng)，都是由實(shí)驗(yàn)測得，必定存在誤差，如果該微小誤差帶來解的很大變化，這個(gè)定解問題已經(jīng)沒有多大的實(shí)際意義。如果給出矛盾的定解條件，解顯然是不存在的。在數(shù)學(xué)上認(rèn)為由實(shí)際工程問題導(dǎo)出的定解問題存在唯一且穩(wěn)定的解，此定解問題是適定的［1］。分離變量法是求解偏微分方程常用的基本方法之一，該法將偏微分方程分離變量后化為求解含參變量常微分方程的邊值問題。通常是要求出參數(shù)的值，使常微分方程邊值問題對(duì)于所求出的參數(shù)值有非零解，這就是本征值問題。本征值問題是分離變量法求解數(shù)學(xué)物理方程的核心［2－7］。

1 一類擬線性拋物型偏微分方程的初邊值問題

當(dāng)判別式Δ＝B2－4AC＞0時(shí)，從方程（1）可以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解

及

也就是說，偏微分方程（1）有兩條實(shí)的特征線，于是，令

做變換并代入原方程原偏微分方程變?yōu)椋?/p>

此方程稱為雙曲線偏微分方程的第1種標(biāo)準(zhǔn)形式，或者進(jìn)一步作變換α＝ξ＋η，β＝ξ－η，偏微分方程變?yōu)椋?/p>

此方程稱為雙曲型偏微分方程的第2種標(biāo)準(zhǔn)形式

波動(dòng)方程即為雙曲型偏微分方程。

原方程為

在y＜0的區(qū)域中，其判別式Δ＝B2－4AC＝0－4y＞0，所以方程為雙曲型。

其特征方程為

即

該微分方程的解為

代入原方程得

所以原偏微分方程化簡為下列標(biāo)準(zhǔn)形式：

2 一類擬線性拋物型偏微分方程初邊值問題的逐層優(yōu)化算法

在周期性外源引起的輸運(yùn)問題或周期性外力作用下的振動(dòng)問題，經(jīng)過很多周期以后，初始條件引起的自由輸運(yùn)或自由振動(dòng)衰減到可忽略。這時(shí)的輸運(yùn)或振動(dòng)完全是周期性外源或外力引起。處理這類問題時(shí)，完全可忽略初始條件的影響。這類問題稱為沒有初始條件的問題。如在輸運(yùn)問題里，如果區(qū)域周圍的溫度或濃度是穩(wěn)定的，那么經(jīng)過較長時(shí)間后，區(qū)域內(nèi)的溫度或濃度會(huì)趨于穩(wěn)定，不要誤解為溫度或濃度是均勻的，而是問題與時(shí)間變量無關(guān)“u≠u（t）”。這時(shí)輸運(yùn)方程可簡化為拉普拉斯方程，沒有初始條件的問題［8－10］。

試將方程

化為標(biāo)準(zhǔn)方程。

積分，得到兩組積分曲線

做變換

拋物型偏微分方程。

當(dāng)判別式Δ＝B2－4AC＝0時(shí)，方程（2）一定有重根，所以特征曲線是一族實(shí)函數(shù)曲線。其特征方程的解為

因此令ξ＝φ（x，y），η＝y(tǒng)作變換，則原方程變?yōu)?/p>

此方程稱為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。

拋物型方程又可記為

原偏微分方程為

其判別式Δ＝B2－4AC＝4x2y2－4x2y2＝0，所以特征方程為拋物型，其特征方程為

上式又可變形為

分離變量法正是利用了駐波的一個(gè)特點(diǎn)。既然每個(gè)特解都是滿足泛定方程和邊界條件的，那么一開始就可以把特解分離變量的因式之積代入泛定的方程，結(jié)合邊界條件確定它們的函數(shù)形式，然后疊加成為一般解。由此產(chǎn)生了分離變量法。分離變量法求解偏微分方程的步驟大致分為4步：

1）把待求的特解命為變量分離的因式之和代入齊次泛定方程。把求解的偏微分方程分解為幾個(gè)常微分方程；

2）關(guān)于空間坐標(biāo)的常微分方程與齊次邊界條件構(gòu)成本征值問題，解此本征值問題，確定本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；

3）再求解其余常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，找到滿足邊界條件的特解，將所有特解疊加成為一般解；

4）最后使用初始條件或邊值條件由傅里葉級(jí)數(shù)確定一般解的疊加系數(shù)，從而得到定解問題的解。

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