宋 宇， 游海龍， 翁新武， 李 嵩， 宋雋煒

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012）

0 引 言

傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法是將數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，再對(duì)傅里葉譜進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，但這種方法有很大的局限性，也就是數(shù)據(jù)嚴(yán)格周期平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)。雖然針對(duì)傳統(tǒng)傅里葉變換許多學(xué)者提出了一些改進(jìn)措施，例如功率譜、小波分析等，但這些歸根結(jié)底還是基于傅里葉分析，還是局限在線性系統(tǒng)。

1998年，N.E.Huang等人研究出了一種新方法，這種方法主要包括兩部分：一是先對(duì)信號(hào)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD），EMD方法由黃鍔博士提出；二是在EMD方法的基礎(chǔ)上利用了Hilbert變換［1］，這種方法分析高頻數(shù)據(jù)，減小高頻噪聲［2］，同時(shí)這種方法會(huì)產(chǎn)生一個(gè)內(nèi)在模式函數(shù)（IMF）集。IMF表達(dá)式有益于進(jìn)行希爾伯特變換，從而計(jì)算出瞬時(shí)頻率。

1 希爾伯特－黃變換相關(guān)基本理論介紹

1.1 瞬時(shí)頻率

對(duì)于任何信號(hào)的頻譜分析都會(huì)用到頻率這個(gè)概念。但對(duì)于非線性非平穩(wěn)信號(hào)的處理，頻率時(shí)刻在變化，對(duì)于這種信號(hào)的處理需要引入一個(gè)新的概念，那就是瞬時(shí)頻率。在傅里葉變換分析處理信號(hào)時(shí)，瞬時(shí)頻率是要定義在整個(gè)信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度上，并且要有連續(xù)振幅的余弦或者正弦函數(shù)。瞬時(shí)頻率是整個(gè)數(shù)據(jù)的一個(gè)擴(kuò)展，非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的頻率隨時(shí)在改變，所以一個(gè)相對(duì)于完整信號(hào)的局部信號(hào)沒(méi)有意義。任意一個(gè)時(shí)間序列X（t），都有它的希爾伯特［3］變換Y（t）：

這個(gè)定義下的X（t）和Y（t）為復(fù)共軛對(duì)，所以可以獲得解析信號(hào)Z（t）：

這里

經(jīng)過(guò)Hilbert變換，瞬時(shí)頻率則定義為［4］：

1.2 本征模函數(shù)（IMF）和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）

在實(shí)際應(yīng)用中，非平穩(wěn)信號(hào)處理對(duì)其瞬時(shí)頻率的分析需要構(gòu)建一種基于自身時(shí)間序列的函數(shù)，這樣對(duì)瞬時(shí)頻率的分析才有意義。這種函數(shù)必須是局部均值為零而且對(duì)稱，并且具有相等的過(guò)零點(diǎn)數(shù)和極值點(diǎn)數(shù)目。為此，本征模函數(shù)的概念由N.E.Huang［5］等提出來(lái)，本征模函數(shù)對(duì)于任意一點(diǎn)的瞬時(shí)頻率都有意義，這樣本征模函數(shù)就可以應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。滿足經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ胶瘮?shù)的必要條件如圖1所示。

在實(shí)際應(yīng)用中，必須要將瞬時(shí)頻率變得有意義，首先要做的是把一個(gè)數(shù)據(jù)集合削減成IMF的分量。這樣對(duì)于復(fù)雜數(shù)據(jù)在一個(gè)局部時(shí)間可以得到多個(gè)瞬時(shí)頻率。這種得到IMF的方法就是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥ǎ‥MD）。

圖1 滿足經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ胶瘮?shù)的必要條件

1.3 希爾伯特譜

根據(jù)前文所述，可以對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行EMD，得到我們所需的各個(gè)IMF，即，C1，C2，…，Cn。

根據(jù)式（1）～式（4），得出所有IMF的瞬時(shí)頻率和幅度都是時(shí)間t的函數(shù)。

3個(gè)變量a，ω，t互相相關(guān)，如三維平面的3條坐標(biāo)軸?？梢院苋菀椎玫椒謩e以（ω，a），（ω，t），（t，a）為底的三維圖像。每一個(gè)三維圖像都可以體現(xiàn)希爾伯特譜。而（ω，t）函數(shù)的幅度a，叫做希爾伯特幅度譜［6］H（ω，t）。

1.4 邊際譜

綜上，可以定義希爾伯特邊際譜h（ω）為［7］

上式中的h（ω）表示在單位頻率內(nèi)的幅度分布情況，它表現(xiàn)了一個(gè)信號(hào)段內(nèi)每個(gè)幅度分布概率之和。

2 利用希爾伯特－黃變換實(shí)現(xiàn)方法

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ胶瘮?shù)的引入使得HHT相比傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法具有了創(chuàng)新的地方。因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ胶瘮?shù)具有信號(hào)的局部時(shí)間特性，這使得在實(shí)際信號(hào)處理中能夠獲得有實(shí)際意義的瞬時(shí)頻率。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庾詈笠姑恳粋€(gè)IMF有意義。設(shè)一個(gè)時(shí)間序列X（t），它的上、下包絡(luò)分別是u（t）和v（t）。這樣上下包絡(luò)平均曲線m（t）可以表示如下：

通過(guò)移動(dòng)后，得到余項(xiàng)h1（t）：

通過(guò)對(duì)比定義IMF的必要條件，h1（t）都滿足，則h1（t）應(yīng)該就是IMF。實(shí)際上，通過(guò)分解得到的h1（t）并不嚴(yán)格滿足IMF的必要條件［8］。因此要再用h1（t）來(lái)代替原始信號(hào)。假設(shè)與h1（t）相應(yīng)的上、下包絡(luò)線分別是u1（t）和v1（t），再重復(fù)以上過(guò)程，則：

直到所得的hk（t）都滿足IMF條件。這樣就分解獲得了第一個(gè)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ胶瘮?shù)。C1（t）和信號(hào)的剩余項(xiàng)設(shè)為r1（t），即：

最后再對(duì)r1（t）進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?，分解到剩余?xiàng)部分是一個(gè)單調(diào)增或減的信號(hào)，或者它的值小于之前給定的數(shù)據(jù)時(shí)，這樣就停止繼續(xù)分解。最后經(jīng)過(guò)分解獲得了所有的IMF和余量，即：

就得出原始信號(hào)X（t），可表示為：

3 利用基于EMD分解方法應(yīng)用于鋁電解陽(yáng)極效應(yīng)檢測(cè)

對(duì)陽(yáng)極震動(dòng)信號(hào)的分析主要包括：信號(hào)分析、信號(hào)測(cè)量及提取、狀態(tài)診斷和狀態(tài)分析4個(gè)內(nèi)容。

用EMD方法對(duì)發(fā)生陽(yáng)極效應(yīng)的振動(dòng)信號(hào)做EMD分解，提取IMF，得到分解圖如圖2所示。

圖2 對(duì)陽(yáng)極效應(yīng)振動(dòng)信號(hào)的EMD分解

圖中：注意最后一個(gè)分量c8，不是IMF，是個(gè)變化趨勢(shì)，而對(duì)無(wú)陽(yáng)極效應(yīng)的陽(yáng)極振動(dòng)信號(hào)做EMD分解，如圖3所示。

圖3 對(duì)無(wú)陽(yáng)極效應(yīng)振動(dòng)信號(hào)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?/p>

原始數(shù)據(jù)和取前5階IMF分量c1～c5。

經(jīng)過(guò)EMD分解后，我們對(duì)振動(dòng)信號(hào)IMF的譜進(jìn)行研究。文中要研究振動(dòng)信號(hào)IMF的伯格譜，先求出原始信號(hào)的伯格譜如圖4所示。

圖4 沒(méi)有經(jīng)過(guò)EMD分解得到的伯格譜

在圖3中，我們對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了EMD分解得到了振動(dòng)信號(hào)的各階IMF，求得各階IMF的伯格譜之和，如圖5所示。

通過(guò)觀察圖5，它是對(duì)原始信號(hào)的各個(gè)IMF的伯格譜之和。伯格譜出現(xiàn)尖峰的位置是在頻率8Hz和12Hz［9］。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果一致，這表明利用基于EMD獲得信號(hào)IMF可以得到比較高的信噪比。在鋁電解陽(yáng)極效應(yīng)檢測(cè)中這種方法可行、高效。

圖5 經(jīng)過(guò)EMD分解獲得的信號(hào)伯格譜

4 結(jié) 語(yǔ)

利用HHT對(duì)陽(yáng)極效應(yīng)信號(hào)特征的提取和識(shí)別很有效，誤差小，這種方法相對(duì)于傅里葉變換更具有對(duì)非線性和非平穩(wěn)信號(hào)的處理能力，在未來(lái)的應(yīng)用中將會(huì)越來(lái)越廣泛，但一種新方法的提出還有很多不足的地方，在以后的應(yīng)用中不斷探索和改進(jìn)。

［1］ 宋國(guó)鋒，董小剛，秦喜文.EMD方法在高頻數(shù)據(jù)中的應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34（6）：601－605.

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［3］ 徐漢生，何平，趙聯(lián)文.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，1994.

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［8］ 胥保春，袁慎芳.IMF篩選停止條件的分析［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2011（3）：69－71.

［9］ 王志宏.淺談鋁電解的陽(yáng)極效應(yīng)［J］.山西冶金，2001（2）：108－110.