●建 (華市第一中學(xué) 浙江華 321015)

妙用判別式巧解數(shù)學(xué)題

●金建軍(金華市第一中學(xué) 浙江金華 321015)

一元二次方程根的判別式是方程知識的核心內(nèi)容，是聯(lián)系3個(gè)“二次”(二次函數(shù)、二次方程與二次不等式)的重要橋梁.運(yùn)用判別式解數(shù)學(xué)題，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)根(零點(diǎn))的一元二次方程，然后利用Δ≥0來求解;或構(gòu)造恒大于(或小于)0的二次不等式，然后利用Δ≤0來證明.現(xiàn)舉幾例，以饗讀者.

1 判別式在等式與不等式中的應(yīng)用

1.1 解方程(組)

例1若 x，y∈R，滿足2x－2x2y2－2y(x+ x2)－x2=5，則x= ______，y =______.

(2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

解把等式看成關(guān)于x的一元二次方程

例2試求滿足方程x2－2xy+126y2=2 009的所有整數(shù)對(x，y).

(第6屆東南地區(qū)高中數(shù)學(xué)競賽試題)

解設(shè)整數(shù)對(x，y)滿足方程

將其看作關(guān)于x的一元二次方程，則

由題意知Δ的值應(yīng)為一個(gè)完全平方數(shù).若y2＞42，則Δ＜0;若y2＜42，則y2可取0，12，22，32，相應(yīng)的Δ值分別為8 036，7 536，6 036和3 536，它們都不是平方數(shù).因此，僅當(dāng) y2=42時(shí)，Δ=500(42－y2)+36=62為完全平方數(shù).

當(dāng)y=4時(shí)，方程(1)可化為x2－8x+7=0，解得x=1或x=7;當(dāng)y=－4時(shí)，方程(1)可化為x2+ 8x+7=0，解得x=－1或x=－7.

綜上可知，滿足原方程的全部整數(shù)對為:(1，4)，(7，4)，(－1，－4)，(－7，－4).

點(diǎn)評利用主元變換，妙用Δ≥0，巧解方程.

1.2 證明等式

例3如果 a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且 a2d2+ b2(d2+1)+c2+2bd(a+c)=0，求證:b2=ac.

證明把等式整理成關(guān)于x的一元二次方程

點(diǎn)評構(gòu)造方程，妙用判別式，借助非負(fù)數(shù)使問題順利解決.

練習(xí)1已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a=6－b，c2= ab－9，求證:a=b.

證明由已知式得

練習(xí)2已知(z－x)2－4(x－y)(y－z)=0 (其中x≠y)，求證:2y=x+z.

證明構(gòu)造以(x－y)，(z－x)，(y－z)為系數(shù)的一元二次方程

由根與系數(shù)的關(guān)系可知

1.3 證明不等式

例4 已知α+β+γ=π，求證:

證明視不等式的左邊減去右邊為一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)，則

其判別式為

故開口向上的二次函數(shù)f(x)恒為非負(fù)，即對所有的x，y，z，所求證的不等式成立.

點(diǎn)評本題通過構(gòu)造關(guān)于x二次函數(shù)，利用判別式與二次函數(shù)的圖像關(guān)系使問題得到妙解.

例5 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，求證:

證明設(shè)，則

點(diǎn)評利用換元法，妙用判別式，使問題得到巧證.

練習(xí)3 已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2b2+a2+6ab+ 2a+9=0，求證:.

解將a2b2+a2+6ab+2a+9=0按a的降冪排列，可得

可見x=a是一元二次方程(b2+1)x2+(6b+ 2)x+9=0的1個(gè)實(shí)根，于是

練習(xí)4 已知，求證:y2≥4xz.

解據(jù)題意，只需證y2－4xz≥0，而此形式類似于一元二次方程的判別式.現(xiàn)將已知方程化為

1.4 求最值

例6 若實(shí)數(shù)x，y滿足4x2+y2+xy=1，則2x+y 的最大值是______.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)2x+y=t，則y=t－2x，將其代入4x2+ y2+xy=1，得

點(diǎn)評此類二元二次方程求最值的問題，很多都可以用判別式法來處理，盡管4x2+y2+xy=1和方程6x2－3tx+t2－1=0都有2個(gè)未知量，但用最大值t代替其中一個(gè)未知量y，離目標(biāo)更近了，使用判別式后只有一個(gè)未知量t，達(dá)到消元的目的，非常有效!

練習(xí)5 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y 的最大值是______.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

練習(xí)6已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0滿足a+2b+ ab=30，試求ab的最大值.

解設(shè)ab=y，則，由題設(shè)得

由Δ=(y－30)2－8y≥0，解得y≤18或y≥50.又由正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b+ab=30知ab＜30，則當(dāng)y=18時(shí)，a=6，b=3，ab取得最大值18.

點(diǎn)評把a(bǔ)2+(y－30)a+2y=0看成關(guān)于a的二次方程，Δ≥0只是方程在(0，+∞)上有解的必要條件，要經(jīng)檢驗(yàn)才能說明最值的取得.

練習(xí)7已知實(shí)數(shù)x＞0，y＞0滿足x+2y+ 2xy=8，則x+2y的最小值是 ( )

(2010年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)x+2y=t，代入x+2y+2xy=8消去x得

由Δ=4t2－16(8－t)≥0，解得t≥4或t≤－8，經(jīng)檢驗(yàn):t≤－8不合題意，故x+2y的最小值是4，選B.

練習(xí)8若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+ 4y的最小值是 ( )

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解略(答案:C).

1.5 求取值范圍

例7若知a2+b2≥λ(a+3b+1)對任意a，b∈R恒成立，求λ的取值范圍.

解把已知式整理成關(guān)于a的二次不等式

對任意a∈R恒成立，則

把上式整理成關(guān)于b的二次不等式

對任意b∈R恒成立，則

點(diǎn)評本題是多變量不等式恒成立問題，由定義域?yàn)镽，結(jié)合二次函數(shù)圖像，直接運(yùn)用判別式Δ求解，涉及“主元思想”，雖然本題涉及的是不等式，但仍可運(yùn)用判別式的原理.

練習(xí)9對于函數(shù)若f(x)存在x∈R使函數(shù)f(x)=x成立，則稱x為函數(shù)f(x)的不動點(diǎn).已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b－1)(其中a≠0)對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有2個(gè)相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍.

解依題意，f(x)=x有2個(gè)不同實(shí)根，即ax2+bx+b－1=0有相異實(shí)根，故a≠0，且

對任意b恒成立，因此

2 判別式在函數(shù)值域中的應(yīng)用

點(diǎn)評分子、分母中的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域.

練習(xí)10如圖1，某地有3家工廠，分別位于矩形ABCD的2個(gè)頂點(diǎn) A，B及CD的中點(diǎn) P處，AB= 20 km，BC=10 km.為了處理這3家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A，B等距的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)3條排污管道AO，BO，PO.記鋪設(shè)管道的總長度為y km.

圖1

1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:

①設(shè)∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù);

②設(shè)OP=x(km)，將y表示成的x函數(shù).

2)請你選用第1)小題中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評本題選擇函數(shù)模型②求含根式函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化為方程有解，運(yùn)用判別式體現(xiàn)反函數(shù)思想、變量相互表示思想、等式等價(jià)變形思想.

3 判別式在三角、向量中的應(yīng)用

點(diǎn)評本題通過觀察已知等式與所證不等式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)，使解題過程變得簡潔，但要求較高.

點(diǎn)評由韋達(dá)定理知，方程的根必定是正根，判別式只要保證有實(shí)根即可.

4 判別式在數(shù)列中的應(yīng)用

例11設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1、公差為d的等差數(shù)列{an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，滿足 S5S6+ 15=0.求d的取值范圍.

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評因?yàn)閍1為實(shí)數(shù)，所以本題利用構(gòu)造關(guān)于a1的二次方程求解.

5 判別式在解析幾何中的應(yīng)用

例12如圖2，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(其中m≠0)，l交橢圓于2個(gè)不同的點(diǎn)A，B.

圖2

1)求橢圓的方程;

2)求m的取值范圍.

x2+2mx+2m2－4=0．

由直線l與橢圓交于2個(gè)不同的點(diǎn)A，B，得

Δ=(2m)2－4(2m2－4)＞0，

從而m的取值范圍是{m|－2＜m＜2，m≠0}．

點(diǎn)評在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及取值范圍的問題中，要注意利用判別式來解決.

從上面的例子可以看出解決此類問題的關(guān)鍵是:從條件出發(fā)構(gòu)造出關(guān)于某個(gè)變量的一元二次函數(shù)，進(jìn)而通過判別式來求解問題.它對解決雙變量或多個(gè)變量的問題尤其有效，當(dāng)然在處理問題的過程中要特別注意問題的等價(jià)性.