●凌 紅 (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

說題
——一次“尋根之旅”

●凌 紅 (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

數(shù)學(xué)教師的基本功之一就是做題和說題.做題是教師的一種自覺修煉，說題是一種教學(xué)提煉.說題概括地講是教師在精心做題、備題的基礎(chǔ)上，闡述對某道習(xí)題解答時所采用的思維方式、解題策略及依據(jù)，進而總結(jié)出經(jīng)驗型解題規(guī)律，針對問題的特點尋找它的背景和價值，因此說題也可以成為一種有意義的教學(xué)研究活動.筆者曾參加了一次這樣的活動，下面談一談自己的感受.

例1 設(shè)△AnBnCn的3條邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，則( )

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)理科試題)

該題形式新穎，涉及知識點多，入口寬.作為一個選擇壓軸題，它辯證地體現(xiàn)了計算量與思維量的關(guān)系，綜合考查了學(xué)生運用知識分析問題和解決問題的能力.

1 題意理解

這是一道以三角形的面積為背景的數(shù)列問題，是代數(shù)和幾何問題的交融，因此可以從“形”與“數(shù)”這2個方面來分析.

1.1 從“形”的角度

1)三角形列有什么特點?

由an+1=an可知，所有的三角形都有一條等長的邊BnCn，可以研究點列{An}的軌跡.

2)如何計算三角形的面積?

由于題意涉及三角形的3條邊長，可以直接選擇海倫公式(必修5課后習(xí)題)計算面積.此時要先計算三角形的半周長

因此可以考察數(shù)列{bn+cn}.

1.2 從“數(shù)”的角度

利用消元思想，將已知混合遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為{bn}的遞推關(guān)系，求出{bn}的通項公式，進而求出{cn}的通項公式.

2)能否較簡單地表示出{Sn}的通項公式，進而判斷{Sn}的單調(diào)性?

由第1)小題可知三角形三邊數(shù)列的通項公式，可以將面積列{Sn}的通項公式表示出來.

2 解法分析

此題的核心為數(shù)列，如何轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)列知識來加以解決是問題的關(guān)鍵.

解法1轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列

1)數(shù)列{bn+cn}為常數(shù)列.

等式2邊同時減去2a1，得

又因為b1+c1－2a1=0，所以{bn+cn－2a1}為零常數(shù)列，即bn+cn=2a1.

2)數(shù)列{bn－cn}為等比數(shù)列.

又b1－c1＞0，故{bn－cn}是以b1－c1為首項、為公比的等比數(shù)列.

3)數(shù)列{bn·cn}為遞增數(shù)列.

4)數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列.

所以數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列.

評注利用方程思想，整體考查了數(shù)列{bn+ cn}，{bn－cn}的特點，利用恒等變換考查了數(shù)列{bn·cn}的單調(diào)性.當(dāng)判斷出{bn+cn}為常數(shù)列時，發(fā)現(xiàn)三角形列的特點:等周長.此時點列{An}在以Bn，Cn為焦點的橢圓上運動，要進一步挖掘點列{An}的運動規(guī)律，因此要考查數(shù)列{bn－cn}.這一解法根據(jù)形與數(shù)的結(jié)合，相輔相成，層層深入，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合百般好”，巧妙地進行了轉(zhuǎn)化與化歸，體現(xiàn)了思維的靈活性.

解法2利用好遞推數(shù)列

1)求數(shù)列{bn}和{cn}的通項公式.

①利用待定系數(shù)法或不動點法將遞推關(guān)系

3)判斷數(shù)列{Sn}的單調(diào)性.

考慮數(shù)列{Sn}的通項公式對應(yīng)的函數(shù)可知數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增的.

評注利用消元思想，將雙數(shù)列的混合關(guān)系轉(zhuǎn)化為單數(shù)列的遞推關(guān)系，進而求得數(shù)列的通項公式.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及常見遞推關(guān)系求通項公式的基本方法:待定系數(shù)法.

解法3計算歸納猜想

由選項可知，只需考察數(shù)列的前4項即可選出正確答案.

由已知條件，取a1=8，b1=10，c1=6，得.

評注從題型上看，這是一道選擇題，考慮能否用排除法.在考試時間十分緊張的情況下，這種小題小做的解題思想不失為一種很好的解題策略，既節(jié)省了時間，又保證了答案的正確性，達到了事半功倍的效果.

3 背景研究

數(shù)學(xué)問題都有它自己特殊的背景，在解決問題的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該探求它的多角度背景，全方位地了解問題，這樣才能在教學(xué)過程中更好地把握問題的實質(zhì)，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)方法不是“魔術(shù)師帽子里的兔子”.有些時候要讓學(xué)生欣賞到優(yōu)美的解法，培養(yǎng)興趣，明白“沒有最好，只有更好”的真諦.對于該試題有如下3個方面的背景研究:

3.1 特點探究——中點坐標(biāo)公式

3.2 結(jié)構(gòu)探究——橢圓的焦點三角形

△AnBnCn的周長列是一個常數(shù)列，且底邊列{an}也是常數(shù)列，此時明顯地出現(xiàn)了2個定點、1個動點的焦點三角形模型，因此點An在以Bn，Cn為焦點的橢圓上移動.當(dāng)bn與cn逐漸接近時，點A逐漸接近于短軸端點，此時邊BnCn上的高逐漸增大，因此面積列{Sn}是遞增數(shù)列.

3.3 手段探究——均值代換

當(dāng)bn與cn越來越接近時，dn逐漸減小到0，bncn越來越接近.

4 價值研究

該題考查了三角形的面積與周長的關(guān)系、等比數(shù)列與常數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推關(guān)系與通項公式、數(shù)列的單調(diào)性等知識點，檢測了學(xué)生知識的應(yīng)用能力和問題轉(zhuǎn)化的意識，是一道難度系數(shù)較大的選擇題.

通過挖掘其背景，探討其解法，體會其美妙，使我們對問題有了清晰的認識，并能在不同的場合以不同的方式加以利用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)揮題目更大的作用.

4.1 例題功能——探究

例1的適當(dāng)改變，可以在課堂教學(xué)中起到很好的教學(xué)作用，如以開放題的設(shè)問方式，增強問題解決的氛圍，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

設(shè)△AnBnCn的 3條邊長分別為 an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若 b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，試研究數(shù)列{Sn}的單調(diào)性.

4.2 習(xí)題功能——拓展

該試題背景豐富，解題方法多樣，在高中學(xué)習(xí)的各階段可以拓展學(xué)生的思維，如以下例2可作為必修5的模塊習(xí)題.

例2設(shè)△AnBnCn的3條邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，.

1)證明:數(shù)列{bn－cn}是等比數(shù)列;

2)求數(shù)列{bn}的通項公式;

3)判斷數(shù)列{Sn}的單調(diào)性，并說明理由.

4.3 檢測功能——能力

例1有一定的難度，作為檢測題，可以較好地體現(xiàn)學(xué)生的能力，表現(xiàn)出較好的區(qū)分度.題目解法較多，也為學(xué)生打開思維提供了素材:

1)考查選項的特點，只需列出數(shù)列{Sn}的前4項，就可以利用排除法找到唯一的正確答案;

2)例1可以根據(jù)龐大的計算過程(通項公式)或敏捷的數(shù)學(xué)思維(焦點三角形)作出正確選擇，因此它可以作為選擇壓軸題.

5 引申拓展

問題研究后，我們還可以思考問題可能的延伸和拓展，為思維的發(fā)散提供途徑.

例3設(shè)△AnBnCn的3條邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，.記αn=∠BnAnCn，試研究數(shù)列{αn}的單調(diào)性.

2)根據(jù)本題與中點坐標(biāo)公式的關(guān)系，可用定比分點公式進行延伸如下:

例4設(shè)△AnBnCn的3條邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，試研究數(shù)列{Sn}的單調(diào)性.

6 結(jié)束語

“題目小世界，思維大舞臺”.開展說題研究，不僅關(guān)系到教師自身素養(yǎng)的提高，也能提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.讓研究試題成為高中數(shù)學(xué)教師的“自覺”意識，讓說題成為高中數(shù)學(xué)教師交流解題心得的一個重要舞臺.