張 凱，劉雁集，馬 捷

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

水下滑翔機的反步與反饋線性化控制對比研究

張 凱，劉雁集，馬 捷

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

水下滑翔機是高階非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的線性控制方法在滑翔機俯仰角大幅度轉(zhuǎn)換過程中易出現(xiàn)調(diào)整時間變長，控制精度下降等問題。通過研究水下滑翔機動力學(xué)模型，在保留模型非線性特征的前提下，分別設(shè)計了基于反步法以及基于輸入輸出反饋線性化的水下滑翔機縱傾運動控制器。數(shù)值仿真表明，在俯仰角大范圍轉(zhuǎn)換動態(tài)過程中，2種方法均能實現(xiàn)滑翔機縱傾運動的控制，反步控制器更適宜用于俯仰角的控制，而輸入輸出反饋線性化對壓載水囊質(zhì)量的控制則更勝一籌。

水下滑翔機；反步法；輸入輸出反饋線性化；俯仰控制；仿真對比

0 引 言

水下滑翔機是一種裝有固定機翼、依靠浮力驅(qū)動的水下自治航行器(AUV)，它依靠浮力調(diào)節(jié)系統(tǒng)改變自身所受凈浮力實現(xiàn)升沉運動，借助升沉過程中機翼產(chǎn)生的升力獲得水平推力向前航行。浮力調(diào)節(jié)系統(tǒng)與內(nèi)部質(zhì)量滑塊調(diào)節(jié)系統(tǒng)的協(xié)同工作使得滑翔機能在垂直平面內(nèi)沿鋸齒狀軌跡向前運動，并通過尾舵或者內(nèi)部橫滾調(diào)節(jié)系統(tǒng)完成轉(zhuǎn)向運動。水下滑翔機具有續(xù)航能力長、作業(yè)范圍廣、作業(yè)成本低、無需母船支持、隱蔽性好等優(yōu)點，在水下偵察、水體數(shù)據(jù)采集等海洋科考領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

水下滑翔機是具有內(nèi)部動態(tài)質(zhì)量、多輸入多輸出的高階系統(tǒng)，具有很強的非線性[1]，自身不穩(wěn)定，其航向穩(wěn)定性和姿態(tài)穩(wěn)定性均需要控制器施加控制才能得以保證。目前，大多數(shù)滑翔機的控制器仍采用線性控制器，典型代表為比例積分微分控制(PID)與線性二次調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator,LQR)，PID控制器簡單有效、易于實現(xiàn)，Nina[2]、Bachmayer R[3]等人使用PID算法設(shè)計了滑翔機運動控制器，并仿真證明了控制效果；相對于PID控制，LQR在調(diào)整時間、穩(wěn)態(tài)誤差、抗干擾性等方面有明顯優(yōu)勢，Leonard[4]、Kan L[5]、王延輝[6]等在水下滑翔機LQR控制器設(shè)計領(lǐng)域開展研究，證實了LQR方法在可用于水下滑翔機運動控制；MM Noh[7]使用參數(shù)辨識方法建立了水下滑翔機數(shù)學(xué)模型，并對比分析了LQR與PID2種方法在滑翔機俯仰與深度控制中控制性能。

無論是PID還是LQR方法，都是線性系統(tǒng)控制方法，應(yīng)用在非線性系統(tǒng)上必須要將原系統(tǒng)模型進行線性化，若是系統(tǒng)狀態(tài)偏離平衡點較遠，線性化后的模型與實際模型的差異將增大，導(dǎo)致控制器性能下降，甚至無法進行有效控制。水下滑翔機的俯仰轉(zhuǎn)換過程是一個角度變化很大的動態(tài)過程，此過程非線性因素多，線性化模型很難準(zhǔn)確描述系統(tǒng)行為，使用線性控制器進行俯仰轉(zhuǎn)換控制在大角度轉(zhuǎn)換過程中極有可能出現(xiàn)控制性能惡化甚至控制不穩(wěn)定。綜上，滑翔機是一個復(fù)雜的運動系統(tǒng)，想要實現(xiàn)滑翔機高精度的運動控制，傳統(tǒng)的線性控制器不是理想的選擇，非線性系統(tǒng)控制方法在滑翔機控制器設(shè)計過程中應(yīng)該得到更多應(yīng)用。

本文分別設(shè)計了基于輸入-輸出反饋線性化(Feedback Linearization Control,FLC)和反步法的水下滑翔機縱傾運動控制器，并分析對比2種典型的非線性系統(tǒng)控制方法在水下滑翔機縱傾運動中的控制效果。

1 水下滑翔機縱傾運動數(shù)學(xué)模型

Gaver JG與Leonard NE推導(dǎo)了具有內(nèi)部滑動質(zhì)量塊和壓在水囊水下滑翔機運動的動力學(xué)模型，該模型是一個具有六自由度的欠驅(qū)動非線性模型，在學(xué)術(shù)界得到了廣泛的認同和引用，本文用的是以此模型為原本的一個反饋線性化后的縱平面內(nèi)運動模型，并經(jīng)楊海[8]修正簡化，模型數(shù)學(xué)表達如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

模型使用Slocum電動版的參數(shù)，部分關(guān)鍵參數(shù)見表1。

表1 部分水下滑翔機系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Major parameter of gilder

2 滑翔機縱傾控制器設(shè)計

2.1 基于反步法的滑翔機縱傾控制器設(shè)計

反步法是由Kokotovic等提出的一種新的非線性控制方法，它是一種基于李雅普諾夫能量函數(shù)的遞歸設(shè)計方法，可以直接作用于非線性系統(tǒng)，處理一大類非線性、不確定性的問題[9]。反步法能有效減少在線計算時間，適合實時控制系統(tǒng)，這一基本特征使之能適用于水下滑翔機運動控制[10]。

第1步：考慮子系統(tǒng)：

θ=x1；

(8)

定義俯仰角跟蹤誤差：

z1=x1d-x1；

(9)

構(gòu)造第一個正定Lyapunov函數(shù)：

(10)

上式對時間的導(dǎo)數(shù)為：

(11)

式中v1為虛擬控制輸入量，通過引入恰當(dāng)?shù)膙1，z1的穩(wěn)定性將得以保證，取v1為：

(12)

將式(12)代入式(11)可得：

(13)

第2步：假設(shè)有如下虛擬子系統(tǒng)：

(14)

(15)

式中v2為引入的第2個虛擬控制輸入，對上式進行變量替換，令z2為：

(16)

構(gòu)造第2個正定Lyapunov函數(shù)：

(17)

上式對時間的導(dǎo)數(shù)為：

(18)

z2的穩(wěn)定性可由引入如下虛擬控制規(guī)律v2來保證：

(19)

式中A2≥0，將式(19)代入式(18)，有：

(20)

v2即為要求解的質(zhì)量滑塊加速度控制規(guī)律，即：

u2=v2。

(21)

定義壓載水囊質(zhì)量跟蹤誤差：

z3=mbd-mb，

(22)

參照式(9)～式(12)，可得虛擬控制輸入v3為：

(23)

u2=A3z3。

(24)

式中A3≥0。

2.2 基于輸入-輸出反饋線性化的滑翔機縱傾控制器設(shè)計

輸入-輸出反饋線性化是非線性系統(tǒng)控制器設(shè)計方法，與傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)線性化過程不同，反饋線性化過程沒有忽略系統(tǒng)的高階非線性項，因而在大范圍動態(tài)過程中不會出現(xiàn)模型大幅偏離實際的現(xiàn)象，基于此方法設(shè)計的控制器具有很好的動態(tài)品質(zhì)，水下滑翔機俯仰過程的轉(zhuǎn)變是俯仰角大范圍變化的動態(tài)過程，本節(jié)將使用輸入-輸出反饋線性化對滑翔機數(shù)學(xué)模型進行線性化，并用PD控制器加以控制。

與上文反步法推導(dǎo)過程類似，本文選擇俯仰姿態(tài)角和凈浮力質(zhì)量作為控制對象，即輸出量為：

y1=θ，

(25)

y2=m0。

(26)

要實現(xiàn)系統(tǒng)輸入-輸出反饋線性化，需要分別對輸出量y1，y2進行求導(dǎo)，直至出現(xiàn)輸入變量，對式(25)、連續(xù)求導(dǎo)2次，式(26)求導(dǎo)1次，可得：

(27)

(28)

以上兩式可得：

(29)

(30)

重新構(gòu)造系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，可得如下方程：

(31)

w4=u2。

(32)

式中u1，u2分別為輔助控制輸入變量。

將式(31)、 式(32)分別代入到式(2)、 式(7)中，可得：

(33)

(34)

不難發(fā)現(xiàn)，原系統(tǒng)已經(jīng)被解耦成為2個獨立的簡單系統(tǒng)，并且系統(tǒng)是線性的，至此，原非線性系統(tǒng)模型完成輸入-輸出反饋線性化，可使用線性控制器對其進行控制。本文的第3節(jié)使用PID算法對反饋線性化后的模型加以控制，并與反步法的控制效果進行對比。

3 控制器數(shù)值仿真及性能比較

本節(jié)使用表1的參數(shù)，在Matlab環(huán)境下對本文提出的控制方法進行數(shù)值仿真，并對2種控制方法的控制效果進行對比，性能對比主要考查控制策略3個方面的性能：

1)超調(diào)量(%OS)，輸出量的超調(diào)量越小越好；

2)系統(tǒng)穩(wěn)定時間(Ts)，穩(wěn)定時間越短越好；

3)穩(wěn)態(tài)誤差(Ess)，輸出量穩(wěn)態(tài)誤差越小越好；

仿真過程為滑翔機從給定滑翔機ξ由ξ=-30到ξ=30，v1=0.3 m/s的動態(tài)過程，由于攻角α的存在，滑翔角與俯仰角θ關(guān)系為ξ=θ-α，滑翔機在穩(wěn)定滑翔時，式(1)～式(7)等式左邊為0，可得到動態(tài)過程初態(tài)、終態(tài)狀態(tài)值(見表2)。

表2 動態(tài)過程初態(tài)、終態(tài)狀態(tài)值Tab.2 Status of beginning and ending of the dynamic process

滑翔機縱傾控制反步控制器中3個參數(shù)A1，A2，A3有待確定，3個參數(shù)對控制系統(tǒng)影響非常大，沒有系統(tǒng)的方法確定這3個參數(shù)，本文使用試湊法觀察數(shù)值仿真的結(jié)果，最終確定[A1A2A3]=[1.7 0.5 1]； 經(jīng)輸入-輸出反饋線性化后的模型使用PID控制器控制，使用Ziegler-Nichols方法整定PID參數(shù)發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)發(fā)散過程非常緩慢，無法準(zhǔn)確得到等幅振蕩的Kpcrit和Tcrit，因而使用手動整定方法，得到Kp=1，Kd=1.5，Ki=0.001。

仿真步長為0.1s，時長40s，為了便于觀察，在動態(tài)過程開始前加入了5s等待時間，仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 俯仰角輸出響應(yīng)Fig.1 Output response of pitch angle

圖2 俯仰角速度響應(yīng)曲線Fig.2 Pitch angular velocity response

圖3 滑動質(zhì)量塊位置響應(yīng)曲線Fig.3 Position variation of moving mass

圖4 質(zhì)量滑塊加速度響應(yīng)曲線Fig.4 Acceleration variation of moving mass

圖1直觀給出了俯仰角在反步控制器和FBLC-PID控制器作用下俯仰角的輸出響應(yīng)，二者都能穩(wěn)定控制俯仰轉(zhuǎn)換過程，相比之下，反步控制器具有更快的響應(yīng)時間、更小的超調(diào)量以及更小的靜態(tài)誤差(見表3)，控制性能優(yōu)于FBLC-PID。圖2～圖4顯示了反步控制器與FBLC-PID控制器在其他狀態(tài)變量上的控制結(jié)果，由于俯仰過程主要通過控制滑動質(zhì)量塊的位置實現(xiàn)，過大的加速度和移動距離會造成控制能量的增加。以上4圖表明，反步控制雖然在控制速度上更勝一籌，但控制過程滑塊加速度和運動距離都要高于FBLC-PID控制器，意味著有潛在的額外控制能量消耗。

表3 反步控制與FBLC性能對比Tab.3 Performance comparison of backstepping and FBLC

圖5 壓載水囊質(zhì)量變化動態(tài)曲線Fig.5 Comparison of ballast water output response

4 結(jié) 語

本文采用反步控制與輸入-輸出反饋線性化2種典型的非線性控制方法，設(shè)計了滑翔機縱傾俯仰轉(zhuǎn)換運動控制器，非線性控制器的引入使得在滑翔機大角度俯仰轉(zhuǎn)變這一非線性過程能更精準(zhǔn)的完成，反步控制器與FBLC-PID控制器均能完成這一過程的控制。在俯仰角控制中，反步控制器動態(tài)性能更為出色，對于壓載水囊質(zhì)量控制FBLC-PID則更勝一籌?？v平面內(nèi)的俯仰轉(zhuǎn)換是水下滑翔機運動過程中主要耗能過程之一，運動控制算法對這一過程的能量消耗影響顯著，本文的后續(xù)工作將結(jié)合能量耗散模型，對各個控制器作用下俯仰轉(zhuǎn)換過程的能量消耗進行分析研究與優(yōu)化。

[1]GRAVERJG.Underwaterglider:dynamics,control,anddesign[D].NJ:PrincetonUniversity,2005.

[2]NINAM,CRAIGW.Underwaterglidermotioncontrol[C]//Proceedingsofthe47thIEEEConferenceonDecisionandControl,2008:552-557.

[3]BACHMAYERR,GRAVERJD,LEONARDNE.Glidercontrol:acloselookintothecurrentglidercontrollerstructureandfuturedevelopments[C].In:Oceans2003.Piscataway,NJ:IEEE,2003：951-954.

[4]LEONARDNE,GRAVERJG.Model-basedfeedbackcontrolofautonomousunderwatergliders[J].IEEEJournalofOceanicEngineering,2001,26(4):633-645.

[5]KANL,ZHANGY,FANH,etal.MATLAB-basedsimul-ationofbuoyancy-drivenunderwaterglidermotion[J].JournalofOceanUniversityofChina,2008,7(1):113-118.

[6] 王延輝，張宏偉，陳超英.水下滑翔器LQR調(diào)節(jié)器設(shè)計[J].機械科學(xué)與技術(shù)，2009,28(10):1389-1392.

[7]NOHMM,ARSHADMR,MOKHTARRM.DepthandpitchcontrolofUSMunderwaterglider:performancecomaprisonPIDvs.LQR[J].IndianJournalofGeo-MarineSciences,2011,40(2):200-206.

[8] 楊海.水下熱滑翔機的溫差能熱機性能與運動控制研究[D].上海:上海交通大學(xué),2010.

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[10] 陳宇航.嚴衛(wèi)生,等.水下滑翔機縱傾運動的自適應(yīng)積分反演控制[J].兵工學(xué)報，2011,32(8):981-985.

Pitch control of underwater glider：performance comparison back steppingvs.input-output feedback linearization

ZHANG Kai，LIU Yan-ji，MA Jie

(State Key Laboratory of Marine Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China)

Underwater glider is a complex nonlinear system.The traditional linear control methods may show poor performance when a large change of pitch angle happens，such as longer settling time，worse control accuracy.By studying the equations of glider system and kinetic of the model, two nonlinear control methods based on back stepping and input output feedback linearization were applied to designing controller for glider pitch angle control.Numerical simulations show that both controllers succeeded in controlling the system with a sharp change of pitch angle.Comparison of time specification performance was taken to determine a better method.As a result, back stepping control method has better performance in pitch angle controlling while the input-output feedback linearization method is more suitable for ballast water control.

underwater glider；back stepping；input-output feedback linearization；pitching control；simulation and comparison

2014-11-18；

2015-06-24

國家自然科學(xué)基金資助項目(51179102)

張凱(1989-)，男，碩士研究生，研究方向為輪機工程及其自動化、機電控制系統(tǒng)。

U674.941

A

1672-7649(2015)12-0139-05

10.3404/j.issn.1672-7649.2015.12.029